Centrale Maths 2 PC 2023

Mathématiques 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2023

Notations

R,, [X] désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n à 
coefficient réels.

j--1
(H;) jen désigne la famille de polynômes définie par H, = 1 et, pour tout j EUR 
N°, H; -- ï [Lx -- à).
® i=0
2 n | : : ; 0 n |
Pour (k,n) EUR N°, on note L le coefficient binomial k parmi n. On a ol = 1 et 
£] = Osik>n.

[a, b] désigne l'ensemble des entiers compris entre a et b. Ainsi, 
[a,b]={neZ|a0

Q 2. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle 
ù nx".

n2>0

n
Q 3. Pour k EUR N, montrer que la série entière ÿ | 1) x" admet 1 pour rayon de 
convergence et que, pour
n2>0

tout x E]---1,1|,
+00 k
n x
TE -------- (L.1)
DO
I.B - Utilisation d'une famille de polynômes

+00
Pour tout k EUR N, on note f,:x+ S[nkx.

n=0
Q 4. Montrer que, pour tout k EUR N, f, est définie sur [--1,1{.
Q 5. Soit 4 EUR N. Montrer que (H,,...,H,) est une base de R,[X] et qu'il 
existe une unique famille
k

(ago: axx) dans RTT telle que XY° = So, ;H;.
3=0
Q 6. Pour k EUR N, donner les valeurs de a} 5 et ag.
j-1 /.
Q 7. Pour tout couple (j,k) EUR N°? tel que 1 < j < k, montrer que A,j = 5 -- > 
() Ge
i=0

Q 8. Écrire une fonction Python alpha qui prend un couple d'entiers (k, j) en 
paramètre et qui renvoie la
valeur de a, ,. On supposera avoir accès à une fonction binome telle que 
binome(n, k) renvoie le coefficient

n
bi ial :
inomia | :)

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Q 9. Montrer que, pour tout # EUR N, il existe un unique polynôme réel P, tel 
que, pour tout x EUR |---1,1},
k

f(x) = a et que ce polynôme vérifie la relation

k
P,= DS ag XT(1- XF 5.
j=0

Q 10. À l'aide de la fonction Python alpha, écrire une fonction Python P qui 
prend l'entier k en paramètre
et qui renvoie la liste des coefficients de degré 0 à k de P,.

Q 11. Montrer que, pour tout kE N, P,,, = X(1-- X)P, +(k+1)XP,.
Q 12. Calculer explicitement P, et Pi.
Q 13. Déterminer, pour tout k EUR N, le degré de P, ainsi que son coefficient 
dominant.

Q 14. Montrer que, pour tout k EUR N* et pour tout x EUR |0,1[, x**tP, (3) = P, 
(x).

Q 15. En déduire, pour tout k EUR N* et pour tout j EUR ]0, k], un lien entre 
les coefficients de degré j et k+1-- 7j
de P,.

IC --- Une dernière formule

On s'intéresse d ie à la série enti 2 an a d
n s'intéresse dans cette sous-partie à la serie entière x" dont on note À le 
rayon de convergence.

n>0
2 /2n 1
Q 16. Déterminer À et montrer que, pour tout x EUR | --R, KR. LT = ------.
| | > n VI -- 4x

Q 17. Montrer que, pour tout x EUR | --R, R[\ {0},

Y fr] gt 1 VIe

(L.2)

ur n +l 2%

Q 18. En déduire que, pour tout x EUR |--R, R[ \ {0},
Dr 1 2n -- 2k mer 1 -1)
Es k +1 n -- k 24 \ V1--4x
Q 19. Montrer que, pour tout n EUR N,
_ 2k 2n -- 2k 2 2
Dell re )-5t) (13
k+IVE n -- k 2\n+1

II Étude de sommes doubles

On considère dans cette partie des familles de nombres réels indexées par N° 
c'est-à-dire du type (a jt pen?

+00 +00 +00 +00
Dans ce contexte, on se demande s'il est possible de définir les quantités D) 
&, et dd a, et si ces
i=0 j=0 j=0 i=0
quantités, lorsqu'elles sont définies, sont nécessairement égales.
On rappelle et on admet les deux résultats suivants.
+00 +00 +00 +00
eSia;,; > 0 pour tout (4,j) EUR N°, alors les deux sommes > > a; ; et > > a; ; 
existent dans [0, +] et sont
i=0 7--=0 j=0 ?--=0

égales. En particulier (cas d'une famille sommable de réels positifs), si l'une 
des sommes est finie, l'autre aussi
et elles sont égales.

e (Cas d'une famille sommable de réels quelconques.) Si (a; ;)t; jen est une 
famille de nombres réels telle que

+00 +00 +00 +00 +00 +00
la somme Ù | a; ;| est finie, alors les sommes Ù a a; et Ù > a; ; existent et 
sont égales.
i=0 7-- i=0 7-- Jj=0 ?--

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IT. À -- Applications

IL.A.1) Une première application

Soit x EUR | --1,1(.
nx" = nx" AA
Q 20. Montrer que la série > converge et que > -- na),
1 -- x" -- 1] -- x" --{ &
n>1 n=1l n=1l k=0
? xP / \ ; nx"
Q 21. Montrer que la série > ; Converge et que sa somme est égale à celle de la 
série >
Si (1--2?) il"

IL.A.2) Une seconde application

On admet que Ù =
es k (

+00
1
22. Montrer que l'on peut définir, pour tout n EUR N°, u, =n Ù --------.

Q 23. Montrer que la série Ù u, converge et calculer sa somme.
n>1l

II.B --- Contre-exemoples

IL.B.1) Un premier contre-exemple

0 Si? > 7,
On considère la famille (b; ;)4,5en2 définie, pour tout (i,j) EUR N°, par b, ; 
= ... " _ "
Dj Si? < 7. +00 +00 Q 24. Montrer l'existence de > > b; ; et calculer sa valeur.
i=0 j=0
+00 +00
Q 25. Montrer l'existence de > > b, ; et calculer sa valeur.
j=0 i=0
+00 +00 +00 +00
i=0 j--0 j=0 i--0
IL.B.2) Un second contre-exemple
0 sit > J,
On considère la famille (C; ; Ji pen définie, pour tout (1, j) EUR N°, par Gi À 
j __ sit),
--213 7 sit < 7. +O0 +00 Q 27. Montrer l'existence de > > C;,; et calculer sa valeur.
i=0 j=0
> 1351
Q 28. Soit 3EUR N. Montrer que la série dc, converge et que dc, oi
i>0 i=0
+00
Q 29. Quelle est la nature de la série > > Ci j ?
5>0 i=0

III Probabilités

Dans cette troisième partie, toutes les variables aléatoires considérées sont 
des variables aléatoires discrètes
définies sur un même espace probabilisé (Q,.4,P).

La lettre p désigne un nombre réel de l'intervalle |0, 1|.

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III. À -- Un conditionnement

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N* suivant la loi géométrique de 
paramètre 9 :
VneN*', P(X=n)=p(l-p}"t.

Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N telle que, pour tout n EUR N*, 
la loi conditionnelle de Y sachant
LX = n] est la loi de Poisson de paramètre n :
k

Vne N°, VkEeN. PY=kAIX=n)=e"T.

Q 30. Déterminer la loi conjointe de X et Y.

Q 31. Calculer P(Y = 0) et montrer que, pour tout k EUR N*,

ee)

où f, est la fonction définie en I.B.

+00
Q 32. Vérifier que l'on a bien > P(Y = k) = 1.
k=0

Q 33. Montrer que Y admet une espérance finie et calculer cette espérance.
Q 34. Montrer que Y admet une variance et calculer cette variance.

ITI.B -- Pile ou face infini

On considère la répétition infinie du lancer d'une pièce dont la probabilité de 
« faire pile » est p. Pour modéliser
cette expérience, on admet que l'on peut définir une suite (X,,),1+ de 
variables aléatoires indépendantes de
même loi de Bernoulli de paramètre p. Pour tout n EUR N°, [X,, = 1] désigne 
l'événement « le n-ième lancer donne
pile » et [X,, = 0] désigne l'événement « le n-ième lancer donne face ».

Par ailleurs, pour tout n EUR N*, on définit À,, et B,, par
-- À,, : « à l'issue des 2n premiers lancers, il y a autant de piles que de 
faces » :
-- _B,, : « à l'issue des 2n premiers lancers, il y a pour la première fois 
autant de piles que de faces ».

Par exemple si les six premiers lancers donnent dans l'ordre (face, face, pile, 
pile, face, pile), À, n'est pas réalisé
mais À, et À, le sont, B, est réalisé mais B; et B, ne le sont pas.

Enfin on définit ©, « au bout d'un certain nombre (non nul) de lancers, il y a 
autant de piles que de faces ».
On admet que, pour tout n EUR N", À, et B,, sont des événements, et que C' est 
un événement.
Q 35. Soit n EUR N°. Exprimer À,, à l'aide de la variable aléatoire X, +. + X,, 
et en déduire P(4,,).

Q 36. Montrer que les événements (B,,),en+ sont deux à deux incompatibles.

+00
Q 37. Montrer que C'est un événement et que P(C) = > P(B,,).
n=1I

Q 38. On pose À, = (. Montrer que, pour tout n EUR N*, P(A,,) = > P(B,)P(A, _»).
k=1

Tv

Q 39. À l'aide notamment de la formule (1.3), montrer que, pour tout n EUR N*,

P(B,) = À Fe _ 1 (PA --p))".

n\n--îIi
Q 40. On suppose que p + 5. montrer que P(C) = 1-- 4/1 -- 4p(1 -- p) (on pourra 
utiliser la formule (1.2)).

Q 41. On suppose que p -- : montrer que P(C) = 1.

ee oeFrINeee

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