Centrale Maths 2 PC 2021

f =
Mathématiques 2 ra
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4 heures Calculatrice autorisée ON
Dans tout ce sujet, Z est un intervalle de R d'intérieur non vide et w est une 
fonction continue et strictement

positive de 1 dans R ; on dit que w est un poids sur 1.

Étant donnée une fonction continue f : I -- R telle que fw est intégrable sur 
1, on cherche à approcher l'intégrale

| f(æ)w(x) dx par une expression de la forme
I

3
PS
HR
--
Il
TT
>
S.
SH
TS
Q
S

3=0
oùnEN, (A5, X,) ER et x, < 21 << x, sont n +1 points distincts dans I. Une telle expression Z,(f) est appelée formule de quadrature et on note nm e(f) = | f()u(a) d2 -- S°À;f(x,) I j=0 l'erreur de quadrature associée. On remarque que e est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des fonctions f de 7 dans R telles que fw est intégrable sur I. On rappelle qu'un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est 1. Étant donné un entier m EUR N, on note R,,[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à m. On dit qu'une formule de quadrature 1, (f) est exacte sur R,,[X] si, VPER,[XL, e(P)=0, ce qui signifie que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à m, J Put) dx = 5 À;P(x;). I 0 Enfin, on appelle ordre d'une formule de quadrature I, (f) le plus grand entier m EUR N pour lequel la formule de quadrature Z,(f) est exacte sur R,, [X]. Les parties IT et III s'appuient sur la partie I et sont indépendantes entre elles. I Généralités sur les formules de quadrature I.A --- Exemples élémentaires Dans cette sous-partie, on se place dans le cas 1 = [0,1] et Vx EUR I, w(x) = 1. On cherche donc à approcher 1 | f(x) dx lorsque f est une fonction continue de [0, 1] dans R. 0 Q 1. Déterminer l'ordre de la formule de quadrature 1,(f) = f(0) et représenter graphiquement l'erreur associée e(f). Q 2. Faire de même avec la formule de quadrature 1,(f) = f(1/2). Q 3. Déterminer les coefficients À, À, À pour que la formule Z,(f) = ÀA,f(0) + À, f(1/2) + À f(L) soit exacte sur R,[X]. Cette formule de quadrature est-elle d'ordre 2 ? I.B - Construction de formules d'ordre quelconque On revient au cas général. Soit n EUR N. On considère n + 1 points distincts dans 1, notés x, < x, <- < %,, et une fonction continue f de I dans KR. M037/2021-03-15 14:28:25 Page 1/6 (cc) BY-NC-SA x = pr P HR  (P(xo), P(x;),...., P(x,) Q 5. Montrer que, pour tout à EUR 0, n], il existe un unique polynôme L, EUR R,,[X\] tel que Q 4. Montrer que l'application linéaire 6 : ) est un isomorphisme. O si 7 à, Vje Ï0,n|], Lit) = AE Q 6. Montrer que (L,,..., L,,) est une base de R,, [X]. Cette base est appelée base de Lagrange associée aux points (xo,.....,x,). k Q 7. On suppose que, pour tout k EUR N, x H x"uw(x) est intégrable sur Z. Montrer que la formule de Tr quadrature 1, (f) = > À; f(x;) est exacte sur R, [X] si, et seulement si,
j=0

Vje[0,n], À;=- | starue) de.
I

Q 8. On se place dans le cas 7 = [0,1] et Vx EUR I, w(x) = 1. Déterminer la 
base de Lagrange associée aux
points (0,1/2,1) et retrouver ainsi les coefficients de la formule de 
quadrature 1,(f) de la question 3.

IC --- Noyau de Peano et évaluation de l'erreur

Dans cette sous-partie, on suppose que l'intervalle 1 est un segment : 7 -- {a, 
b|, avec a < b. Pour tout entier naturel m, on considère la fonction 4,, : R? -- R définie par 9 ...L (x --1)" SiT Z, V(x,t) EUR R*, En rt) = À Si T  1 et discontinue si m = 0.

On considère une formule de quadrature 1, (f) = > À; f(x).
j=0

On note m EUR N l'ordre de cette formule et on cherche à évaluer l'erreur 
associée :

b
e(f) = | F(æ)u() de -- SE À f(x).
ÿ=0

On suppose que f est de classe CT sur I.
Q 9. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que e(f) = 
e(R,,), où R,, est définie par

vx EUR [a, D}, Pme: +) fur) (&) dé.

À
à
E
I
> |
se

Q 10. En déduire que, si m > 1,

où la fonction K,, : [a,b] -- R est définie par

Vt EUR |a, b|, K(t)=e(xk pv, (xt)) = J eme but) dx -- DA Pmlrt).
ÿ=0

a

On pourra utiliser le résultat admis suivant : pour toute fonction continue g: 
[a,b]? --R,ona

b b b b
Î | fu sr uw | fu x) à.

a a a a

La fonction K,, est appelée noyau de Peano associé à la formule de quadrature.

On admet que cette expression de e{f) reste valable pour m = 0.

M037/2021-03-15 14:28:25 Page 2/6 (cc) BY-NC-SA
I.D --- Exemple : méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on suppose que J est un segment et Vx EUR I, w(x) = 1.

On se place d'abord dans le cas 7 -- [0,1] et on considère la formule de 
quadrature

g(0) + g(1)
Hg) = TT,
qui est d'ordre m = 1 (on ne demande pas de le montrer).

Q 11. Calculer le noyau de Peano associé t > K,(t) et montrer que, pour toute 
fonction g de classe C* de
[0,1] dans R, on a la majoration suivante de l'erreur de quadrature associée :

1 1
e(g)| < -- sup |g"(x)| 12 xe[0,1] On se place maintenant dans le cas d'un segment quelconque 7 = a, b] (avec a < b), qu'on subdivise en n +1 points &p,...,a, équidistants : Vie [0,n], a; =a+ih, -- à où À -- est le pas de la subdivision. On considère alors la formule de quadrature b--a = J(a;) + f(a;11) 2 n T,(F) = 1 i=0 appelée méthode des trapèzes. L'erreur de quadrature associée est notée : b UP) = | fe) de 7, Q 12.  Représenter graphiquement 7,,(f). Q 13. On suppose que f est une fonction de classe EUR? de [a,b] dans R. Montrer que n Del), i=0 En(Y) où e est l'erreur associée à la formule de quadrature J, étudiée à la question 11 et les g, : [0,1] -- R sont des fonctions à préciser. Q 14. En déduire la majoration d'erreur (b E a)" /! n xe[a.b] en (FT < II Polynômes orthogonaux et applications Dans la suite, on note E l'ensemble des fonctions f continues de I dans R telles que f"w est intégrable sur JL. II.A -- Étude d'un produit scalaire Q 15. Montrer que, pour toutes fonctions f et g de E,, le produit fg w est intégrable sur J. On pourra utiliser l'inégalité V(a, b) EUR R°, [ab] < 4(a? + b?), après l'avoir justifiée. Q 16. Montrer que Æ est un K-espace vectoriel. Pour toutes fonctions f et g de EF, on pose (f,9) = | fatarute) dx. I Q 17. Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur Æ. M037/2021-03-15 14:28:25 Page 3/6 (cc) BY-NC-SA Dans la suite, on munit Æ de ce produit scalaire et on note |:| la norme associée. ITI.B - Polynômes orthogonaux associés à un poids On suppose que, pour tout entier k EUR N, la fonction x H x"w(x) est intégrable sur I. Cela entraine par linéarité de l'intégrale que Æ contient toutes les fonctions polynomiales. On admet qu'il existe une unique suite de polynômes (p,,),-n telle que (a) pour tout n EUR N, p, est unitaire, (b) pour tout n EUR N, deg(p,,) = n, (c) la famille (p,,),en est orthogonale pour le produit scalaire (-,-), autrement dit (p;,p;) -- 0, pour ifjeN. On dit que les (p,,) sont les polynômes orthogonaux associés au poids w. On s'intéresse aux racines des polynômes p,. On rappelle que Î désigne l'intérieur de J, c'est-à-dire l'intervalle J privé de ses éventuelles extrémités. On a donc 1 = ]a.,b[, où a = inf(1) E RU {--o} et b = sup(1) EUR RU {+}. Soit n EUR N*. On note x,,...,x, les racines distinctes de p, qui sont dans Î et m1,..,.m, leurs multiplicités respectives. On considère le polynôme k a(X) = II --æ,)%, avec EUR; = { 1 sim, est impair, i=1 0 sim, est pair. Q 18. En étudiant (p,,,q), montrer que p, possède n racines distinctes dans Î. ITI.C --- Applications : méthodes de quadrature de Gauss Considérons une formule de quadrature oOùnEN, A5, À, ER et x  n. Nous allons montrer que dans ces 
conditions, il existe un seul choix

des points (æ;)oc;<, qui permet d'obtenir l'ordre m le plus élevé possible. Tv Q 19. En raisonnant avec le polynôme I [4 -- x,), montrer que m < 2n + 1. i=0 Q 20. Montrer que m -- 2n + 1 si et seulement si les x; sont les racines de p,,,1. IT. D -- Exemple 1 On se place ici dans le cas où 7 = [---1,1] et w(x) = 1. On est donc bien dans les conditions d'application des résultats précédemment obtenus. Q 21. Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux (pp;P1,P2,p3) associés au poids w. Q 22. En déduire explicitement une formule de quadrature d'ordre 5 (on déterminera les points x; et les coefficients À;). IT.E -- Exemple 2 l V1 22 Q 23. Montrer que, pour tout entier k EUR N, la fonction x H 2*w(x) est intégrable sur J. Dans cette sous-partie, Î = ][--1,1[ et w(x) -- Cela entraine que Æ contient toutes les fonctions polynomiales. --1,1] -- R Dans la suite, on considère, pour tout entier n EUR N, la fonction Q,, : x +  cos(narccos(x)) M037/2021-03-15 14:28:25 Page 4/6 (cc) BY-NC-SA Q 24. Calculer Q,, Q, et pour tout n EUR N, exprimer simplement Q,,,, en fonction de Q,,,, et Q@,. Q 25. En déduire que, pour tout n EUR N, Q,, est polynomiale et déterminer son degré et son coefficient dominant. Dans la suite, on notera également Q,, le polynôme de R[X1] qui coïncide avec x + Q,,(x) sur [---1,1|. Q 26. On note (p,,),en la suite de polynômes orthogonaux associés au poids w. Montrer que Po = Qo: | 1 Q 27. Pour n EUR N, déterminer explicitement les points (x;)9<,<, de 1 telle que la formule de quadrature 1,(f) = > À;f(x;) soit d'ordre maximal.
ÿ=0

III Accélération de la méthode des trapèzes

On dit qu'une fonction $ définie sur une partie de EUR est développable en 
série entière au voisinage de 0 s'il existe

+00
un disque ouvert D non vide de centre 0 et une suite complexe (a, ),,-n telle 
que Vz EUR D, S(z) = > a,2".
n=0

III. A -- Nombres b,, et polynômes B,,

On considère une série entière Ù a, 2", de rayon de convergence À Æ 0 et avec 
a; = 1. On note S la somme
n>0
de cette série entière sur son disque de convergence : pour tout z EUR C 
vérifiant |2] < R, on a +00 S(z) = > a,2".
n=0

Q 28. Montrer qu'il existe un réel q > 0 tel que Vn EUR N, la,,| < q". 1 Q 29. On suppose que G est développable en série entière au voisinage de 0 et on note > 5,2" son déve-
n>0
loppement. Calculer 5, et, pour tout n EUR N°, exprimer 5, en fonction de 
&,,..,a,,/5,,..,/5, 1.

En déduire que

VnEN, [8,1 < (29). 1 Q 30. Montrer que G est développable en série entière au voisinage de 0. Q 31. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une unique suite complexe (b,,),en et un réel r > 0
tels que, pour tout z EUR C,

TE

Z
D <<  ---- -- TZ,
e* -- 1 n!
n=0

Q 32. En effectuant un produit de Cauchy, montrer que à, = I et, pour tout 
entier n > 2,

n--1l n

> by -- 0.

p=0 \?

Q 33. En déduire la valeur de b,, b,, b: et b.
. n utilisant un argument de parité, montrer que -- 0 pour tout entier p > 1.
Q 34. En utilisant t de parité t bay -- 0 tout entier p > 1

Dans la suite du problème, on considère les polynômes B,, définis par

VmEeN, B,,(x) = > fr) Da,

k=0

On remarque que chaque polynôme B,, est unitaire de degré m et que, pour tout m 
EUR N, B,,(0) = b
Q 35. Déterminer B,, B,, B, et Bà.
Q 36. Montrer que, pour tout entier m > 2, B,,(1) = b,,, puis que, pour tout 
entier m > 1, B°, =mB

m°

m--1:

M037/2021-03-15 14:28:25 Page 5/6 (cc) BY-NC-SA
ITI.B - Développement asymptotique de l'erreur dans la méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on utilise les nombres b,, et les polynômes B,, définis 
dans la sous-partie IIL.A pour
établir un développement asymptotique à tout ordre de l'erreur de quadrature 
associée à la méthode des trapèzes
(déjà étudiée dans la partie 1), pour une fonction suffisamment régulière.

Pour tout réel x, on note |[x]| sa partie entière.
On fixe un entier n EUR N* et on considère une fonction g : [0,n] -- KR de 
classe CT.
Q 37. Montrer que

nm nm

Jo arte ET Fait = Lehg/(e) de

0

Q 38. En déduire que pour tout entier m > 2,

k=0 p=2

Jo dx -- Y g(R) + g(k + 1) ) SC er D (gr D(n) -- g1(0)) + D" EC -- |xl)gt0 (x) 
dx.

On considère maintenant une fonction f : [a,b] -- R de classe C® et la formule 
de quadrature déjà étudiée à la
partie I:

T7) = 2 IE Fan)

(méthode des trapèzes), où À = -- et vie [0,n--1],a;, =a+ih.

Q 39. Montrer que, pour tout entier m 2 I,

b
[rar 27 (DE + ont)

où les coefficients 7, sont donnés par

EE HE) -- 87 (a)

et p2,(n) est un reste intégral vérifiant la majoration

Y2p --

/\
:

Pan
n

Où Com est une constante à préciser ne dépendant que de m, a et b.

On a donc établi, pour tout entier m > 1, le développement asymptotique

V2m 1
n- fre jdr+ ++ +40, (er):

où les coefficients 7, sont indépendants de n.

ee eFINeee

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