Centrale Maths 2 PC 2016

Thème de l'épreuve Études d'opérateurs linéaires sur des espaces de polynômes et de fonctions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, polynômes, combinatoire
Mots clefs polynômes de Hilbert, surjections entre ensembles finis, opérateurs linéaires de R[X]
algibreliniaire

Corrigé

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Mathématiques 2
PC

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Dans tout le texte, N est l'ensemble des entiers naturels, [R l'ensemble des 
réels, n désigne un entier naturel
supérieur ou égal à l et [R,JX] est l'ensemble des polynômes à coefficients 
réels de degré au plus n.

Pour a < b dans Z, on note [[a, b]] l'ensemble (a, b] 0 Z. Pour le EUR D\l*, on note Pk le polynôme ka1. On rappelle que IRn(X] est un [R--espace vectoriel de dimension n+l dont la famille (Pk) kEUR[Ü'n +1l] est une base. Pour P EUR Gîan], on note deg(P) le degré de P et, lorsque P est non nul, cd(P) désigne le coefficient dominant de P, c'est--à--dire le coefficient du monôme Xdcg(P>.

k: le!
Pour le EUR N et j EUR [[0, le], le coefficient binomial _ vaut _.
] J!(k -- J)!

Pour un ensemble E et f : E + E, on définit par récurrence sur k; EUR Ù\l 
l'application fk : E --> E de la façon
suivante :
f() : ldE et fk+l : f 0 fk

Si f est bijective, on note fi1 la réciproque de f et pour le EUR N, on note 
fik : (fil))?

Pour p EUR N*, on note Mp(lR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille 
p.

I L'opérateur de translation et l'opérateur de différence

I.A -- L'opérateur de translation

L'opérateur de translation est l'endomorphisme T de [Ran] donné par

, . {MX} --> MX}
' P(X) |--> P(X+l)
I.A.1) Pour un polynôme non nul P EUR Üîn(X], exprimer deg(r(P)) et cd(r(P)) a 
l'aide de deg(P) et cd(P).
I.A.2) Soit P EUR [RÆX]. Pour le EUR N, donner l'expression de 7'k (P) en 
fonction de P.

I.A.3) Donner la matrice M : (M

...-)1 "?anl
' P(X) l--> P(X + 1) -- P(X)

I.B.1) Pour un polynôme non constant P EUR R,,]X], exprimer deg(ô(P)) et 
cd(6(P)) à l'aide de deg(P) et
cd(P).
1.8.2) En déduire le noyau ker(6) et l'image lm(ô) de l'endomorphisme 6.

I.B.3) Plus généralement, pour j EUR []l,n]], montrer les égalités suivantes :
ker(ôj) : [RJ--ÿl]X] et Im(cW) : [R...,--]X] (1.3)

I.B.4) Pour [EUR EUR IN et P EUR lR,,]X], exprimer 5'"(P) en fonction des Tj(P) 
pour j EUR ]]0, k]].
I.B.5) Soit P EUR [RnEUR1le- Montrer que

Î<--1>W(")PU> = 0 (L4)

j=0

I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas 
d'application linéaire u : R,, ]X ] % [Rn ]X ]
telle que u 0 u : 6 . On suppose, par l'absurde, qu'une telle application u 
existe.

a ) Montrer que u et 52 commutent.
b) En déduire que [Rl]X ] est stable par l'application u.
c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice A EUR M2(IR) telle que

2* 0 1
A --(0 o)
d) Conclure.

I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous--espaces vectoriels de R,, 
]X ] stables par l'application 5 .

a) Pour un polynôme non nul P de degré d < n, montrer que la famille (P, 6 P), 5d(P)) est libre. Quel est l'espace vectoriel engendré par cette famille '? b) En déduire que si V est un sous--espace vectoriel de [R,,]X ] stable par 5 et non réduit à {0}, il existe un entier d EUR ]]Û,n]] tel que V : Rd]X]. II Applications en combinatoire Pour tout couple (p, k) d'entiers naturels non nuls, on note S (p, [EUR) le nombre de surjections de ]]1, p]] dans ]]1, k]]. De façon cohérente, pour tout p EUR N*, on pose S(p, O) = O. II.A * Quelques cas particuliers II.A.1) Que vaut S(p,n) pour p < n ? II.A.2) Déterminer S(n, n). II.A.3) Déterminer S(n + 1,71). II.B * Recherche d'une empression générale II.B.1) Combien y a--t--il d'applications de []1, p]] dans []1, n]] '? II.B.2) Pour p 2 n, établir la formule nP= " (Z)S(p,k) (111) où S(p, O) = 0 par convention. II.B.3) En déduire une expression de S(p, n) pour p 2 n. II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour p < n. II. C -- Simplifier autant que possible les expressions suivantes : Z(_1)nfk (Z) ku et Z(_1)nfk: ("> kn+1
k=0 k=0 "'

2016--01--05 11:12:58 Page 2/4 ("à BY--NC-SA

III Étude d'une famille de polynômes

On considère la famille de polynômes
H0 : 1

k'+1
Hk : % H)(X--j) pour % EUR [[LTLl
]:

III.A + Généralités

III.A.1) Montrer que la famille (Hk)ke[[0.nfl est une base de Ûîn{X].

III.A.2) Calculer 5(H0) et, pour [EUR EUR [[1,n]], exprimer 5(Hk) à l'aide de 
ka1-

III.A.3) La matrice M définie à la question l.A.3 et la matrice M' de taille 11 
+ 1 donnée par

1 1 0 0
0 .. --. s

M': = 0
1

0 0 1

sont--elles semblables ?
III.A.4) Montrer que, pour k, l EUR [[O,n]],

ôk--{a

III.A.5) Montrer que, pour tout P EUR Rn{X],

P = (ôk(P))(0)Hk

k=0
III.B + Étude d'un eæemple

III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme X3 + 2X2 + 5X + 7 dans la base (H0, 
H1, H2, H3) de [Rng].
III.B.2) En déduire un polynôme P EUR [R5{X] tel que

62(P) : X3 +2X2 +5X+7
III.B.3) Déterminer les suites réelles (uk)kEURN telles que
uk+2--2uk+l+uk=k3+2k2+5k+7 (keN)

III.C + Polynômes à valeurs entières

III.C.1) Soit [EUR EUR Z. Calculer Hn (k). On distinguera trois cas : [EUR EUR 
[[O,n -- l]], le 2 n et [EUR < 0. Pour ce dernier cas, on posera k : --p. III.C.2) En déduire que Hn (Z) C Z, c'est--à--dire que H" est à valeurs entières sur les entiers. III.C.3) Soit P EUR Rn{X] à valeurs entières sur les entiers. Montrer que 5(P) est aussi à valeurs entières sur les entiers. III.C.4) Montrer que P EUR [R,JX] est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base (H k) kEUR[lÛml sont entières. III.C.5) Soit P EUR MX] de degré d EUR D\l. Montrer que si P est à valeurs entières sur les entiers alors d!P est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque. IV Généralisation de l'opérateur de différence et application Pour une application f : [Rî --> [R de classe 600, on définit l'application

[Rî-->[R
5U)îlm-->f(m+D--f@)

IV.A +
IV.A.1) Montrer que 5(f) est de classe 800 sur [Rî. Comparer (5(f)), et 5(f').

2016--01--05 11:12:58 Page 3/4 GQ BY--NC-SA

TL

_) et des f(oe+j) (où

IV.A.2) Pour 71 EUR N et a: > O, exprimer (6"(f))(oe) a l'aide des coefficients 
binomiaux (
.?

l'indice j appartient à [[O,n]]).
IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout a: > 0, il existe un 111 EUR ]0, li tel 
que

(5(f))(OE) = f'(OE + %)

IV.A.4) En déduire que pour tout 95 > O, pour tout 71 EUR D\l*, il existe un 
y,, EUR ]0, nl tel que

]

" (--1)"_j (?) f(OE+J') = f("'(æ+yn)- (IV-1)
=()

On pourra procéder par récurrence sur n EUR W et utiliser les trois questions 
précédentes.

I V.B * On considère dans toute la suite de cette partie un réel &. On suppose 
que pour tout nombre p premier,
pa est un entier naturel. On se propose de montrer que oz est alors un entier 
naturel.

IV.B.1) Montrer que pour tout entier le strictement positif, k°' appartient à 
D\l*.
IV.B.2) Montrer que oz est positif ou nul.

IV.B.3) On considère l'application fa définie sur [R*+ par fa (SC) : 33". 
Montrer que oz est un entier naturel si
et seulement si l'une des dérivées successives de ]",l s'annule en au moins un 
réel strictement positif.

I V.C * On applique la relation (l\/l) a la fonction fa et à l'entier n = La} + 
1 (où U désigne la partie
entière). On choisit désormais 33 EUR N*.

IV.C.1) Montrer que l'expression

.. (--1>"*fl'(">fi.<æ + j) -=O .] J est un entier relatif. IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l'expression fg"(oe + yn) quand 25 EUR IN* tend vers +oo '? IV.C.3) Conclure. oooFlNooo 2016--01--05 11:12:58 Page 4/4 ("à BY--NC-SA