Centrale Maths 1 PC 2022

Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On utilisera les notations matricielles classiques :

-- M,,,(R) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à 
coefficients réels et M,,(R) l'ensemble
des matrices carrées réelles à n lignes ;

-- 0,, désigne la matrice de M,,(R) dont tous les coefficients sont nuls ;

-- S,,(R) désigne le sous-espace vectoriel de M,,(R) formé par les matrices 
symétriques ;

-- diag(a;,.....,a,) désigne la matrice diagonale dont les coefficients 
diagonaux sont a,,......,a, dans cet ordre ;

-- AT désigne la transposée de la matrice À ;

-- sp(À) désigne le spectre réel de la matrice À, c'est-à-dire l'ensemble des 
valeurs propres réelles de À.

Les éléments de M,(R) sont assimilés à des réels.

Avec ces notations, le produit scalaire canonique de M, ,(R) est donné par (U | 
V) =U'V.

On note |U]|| la norme euclidienne canonique de U EUR M, 1 (R).

Les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé 
(Q, B,P). On suppose que, pour
tout p EUR ]0,1[, il existe une suite (X,,),eu de variables aléatoires de 
Bernoulli de paramètre p mutuellement
indépendantes définies sur Q.
Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur Q, on 
note E(X),V(X) et cov(X,Y)
respectivement l'espérance de X, la variance de X et la covariance de X et Y, 
lorsqu'elles sont définies.

On rappelle la formule

cov(X, Y) = E((X --E(X))(Y --E(N))) = E(XY) - EDEN).

Définition
Une matrice À de M,,(R) est dite orthodiagonalisable s'il existe une matrice 
diagonale D et une matrice ortho-
gonale P telles que À = PDP".

Orthodiagonaliser À revient à déterminer un couple de telles matrices (D, P).

I Généralités sur les matrices symétriques réelles

Q 1. Démontrer qu'une matrice À EUR M,,(R) est orthodiagonalisable si et 
seulement si elle est symétrique.
IA - Un exemple dans M;(R)
3 --2 4
On pose A,=| ---2 6 2 |.
4 2 3
Q 2. En observant la première et la dernière colonne de À,, déterminer un 
vecteur propre de À, et la valeur

propre À, associée.
Q 3. Déterminer le sous-espace propre de À; associé à la valeur propre À, et en 
déduire le spectre de À;.
Q 4. Orthodiagonaliser À.

I.B - Un exemple dans M,,(R)

1
Q 5. Montrer que l'application  : (P,Q) H @(P,Q) = | P(t)Q(®t) dt définit un 
produit scalaire sur
0

Ra_1 [X] °
Q 6. Écrire la matrice H de ce produit scalaire dans la base canonique de 
R,,_,[X], c'est-à-dire la matrice
de terme général h; ; = @(X*, X?) où les indices à et j varient entre 0 et n -- 
1.

Q 7. Soit UE M, ,(R). Exprimer le produit UTHU à l'aide de 6 et des 
coefficients de U.

Q 8. Montrer que H appartient à &,,(R) et que ses valeurs propres sont 
strictement positives.

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IC --- Rayon spectral
Pour toute matrice À EUR M,,(R) de spectre non vide, le rayon spectral de À, 
noté p(A), est défini par

A) = À.
p(A)= max AI

Q 9. Montrer que, si À est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe p EUR N° tel 
que 4? = (,,, alors le rayon spectral
de À est nul.

Q 10. On note C_ = {UE M, 1(R) | U'U = 1}. Démontrer que C est une partie 
fermée de M,, (R).
Q 11. En déduire que l'application : U + |U'! AU| admet un maximum sur C.
Q 12. Montrer que p(A) < max|U "AU. EUR I.D -- Rayon spectral d'une matrice symétrique Soit À EUR S,,(R). Q 13.  Démontrer que p(A) -- max[U "AU, EUR On suppose de plus que les valeurs propres de À sont toutes positives. Q 14. Montrer alors que p(A) = max(U" AU). EUR Q 15.  Démontrer que l'application p définit une norme sur 6,,(R). II Matrice de covariance Dans la suite du problème, on considère n variables aléatoires discrètes Y,,...,Y, définies sur (Q, B,P) à valeurs réelles et on définit la fonction Y de Q dans M, (R) en posant {, (w) | VueQ, Y(w) = Y,, (w) Tv Un tel vecteur aléatoire est dit constant si la fonction Y est constante. Si chacune des variables aléatoires discrètes Y: admet une espérance finie, on définit le vecteur espérance de Y en posant E(Y:) E(Y) = . a) Si toutes les covariances existent, la matrice de covariance de Y est la matrice de M,,(R), notée Y,., de terme général o; ; = cov(Y;, Y;). La variance totale de Y est définie par V(Y) -- > VOY.).
i=1
Dans la suite du problème, on suppose que E(Y) et 4; sont bien définies.

II. À --
On admet que Y est une variable aléatoire discrète sur (Q, B,P) à valeurs dans 
M, ;(R).

On admet aussi que (Y -- E(Y))(Y -- E(Y)). est une variable aléatoire discrète, 
à valeurs dans M,(R), dont
l'espérance, par définition, est également calculée terme à terme.

Q 16. Vérifier que },4- est une matrice symétrique, que
-
Sy =E((Y-E(Y))( -E(Y))")
et que, si U est un vecteur constant dans M, ,(R), alors

Dyau = dy.

Q 17. Soient p EUR N° et M EUR M, (R). On définit la variable aléatoire 
discrète Z = MY, à valeurs dans
M, 1(R). Justifier que Z admet une espérance et exprimer E(Z) en fonction de 
E(Y). Montrer que Z admet une
matrice de covariance », et que

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II.B -- Propriété des valeurs propres

On note P la matrice de passage de la base canonique de M, :(R) à une base 
orthonormée formée de vecteurs
propres de »,,.

À;
On définit la variable aléatoire discrète X = P'Y -- | : | |

À»
Q 18.  Démontrer que » + est une matrice diagonale.
Q 19. En déduire que les valeurs propres de X,; sont toutes positives.
Q 20.  Démontrer que la variance totale de X est égale à celle de Y.

II.C - Étude de la réciproque

Soit D = diag(ÀA,,..., À,) une matrice diagonale dont les coefficients 
diagonaux À, sont tous positifs.
Q 21.  Démontrer l'existence d'une variable aléatoire discrète Z à valeurs dans 
MW, ,(R) telle que Z, = D.
Soit À EUR 8, (R) une matrice symétrique dont les valeurs propres sont 
positives.
Q 22.  Démontrer l'existence d'une variable aléatoire discrète Y à valeurs dans 
M, 1(R) telle que X- = A.
a:
II. D -- Soit U -- | | dans M, ,(R). On définit la variable aléatoire discrète 
X -- U'Y.
Un

Q 23. Montrer que À admet une variance et que
V(X)=U'E,U.

IIE -- Image de »;

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que
P(Y --E(Y) EUR ImEy) = 1.

On note r le rang de la matrice de covariance de Y.

Q 24. Traiter le cas où r = n.

On suppose maintenant r < n. Q 25.  Démontrer que le noyau et l'image de X,- sont supplémentaires orthogonaux dans M, : (R). On note d = dimkerY, et on considère une base orthonormée (V,,..., V,) de ker »,.. Q 26.  Démontrer que Vie [14]. VE; (Y E(Y))) = 0, Q 27. En déduire que P(V/(Y --E(Y)) =0) =1. Q 28. Conclure. III Maximisation de la variance Les notations sont celles de la partie II. On cherche un vecteur U unitaire tel que la variance de U!Y soit maximale. Comme en I.C, on note C={UEeM,; (R |U'U=1}. On note qy l'application de C dans R définie par qÿ(U) = V(U'Y). IIT.A -- Un exemple dans M3 1(R) On pose À, = diag(9, 5,4). Q 29. Justifier l'existence d'un vecteur aléatoire dont À, est la matrice de covariance. Q 30. Dans cette question uniquement, on suppose que Y une variable aléatoire à valeurs dans M3 : (R) telle que > = À,. Déterminer le maximum de q$ sur C.

ITI.B --- Cas général

Q 31. Dans le cas général, démontrer que la fonction qg$ admet un maximum sur 
C. Préciser la valeur de ce
maximum ainsi qu'un vecteur U, EUR C tel que

V(UTY) = V(UTY).
max VU Y) = VU, Y)

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III.C --- Étude d'un exemple

On suppose, dans cette sous-partie IIL.C uniquement, que },- vérifie

Vieli,n], o,,= 0° et VGi,j)e[Lnf, #5 = 0,,=0°)

où © et y sont deux réels strictement positifs.
On note J EUR M,,(R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Q 32.  Démontrer que 7 < 1 et exprimer >, en fonction de J.

Q 33. Déterminer les valeurs propres de J et la dimension de chaque sous-espace 
propre associé. Déterminer
également un vecteur propre associé à sa valeur propre de module maximal.

Q 34. Préciser un vecteur U, unitaire tel que la variance de Z -- U, Y soit 
maximale.

/ / Le V(Z
Q 35. Calculer le pourcentage de la variance totale représenté par Z, 
c'est-à-dire le rapport y a
T
III. D -- On suppose, dans cette dernière sous-partie, que > présente n valeurs 
propres distinctes qu'on

classe par ordre strictement décroissant À, > + > À,,.

On se munit d'un vecteur U, tel que V(U, Y) -- max V(U'Y).
EUR

On note
C'={UEM, AR) | U'U =1et U,U = 0}.

Q 36.  Justifier que q, admet un maximum sur C".
Q 37. Déterminer la valeur de ce maximum et préciser un vecteur U, EUR C" tel 
que

VU!Y)=V(UIY).
max V(U Y) = V(U, Y)

Q 38. Calculer la covariance des variables aléatoires discrètes U, Y et U, Y 
(pour simplifier l'écriture, on
pourra supposer Y centrée, c'est-à-dire E(Y) = 0).

Ces questions de maximisation de la variance sont à la base de la méthode 
statistique d'analyse en composantes
principales. Îl s'agit de déterminer, à partir d'un certain nombre de variables 
aléatoires, des combinaisons
linéaires (composantes principales) concentrant le maximum d'information et 
décorrélées entre elles.

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