Centrale Maths 1 PC 2020

Mathématiques 1

T

PC
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

Étude de certaines matrices symplectiques

L'objet du problème est de définir et étudier la notion de matrice 
symplectique, et d'établir des résultats de
réduction dans certains cas particuliers.

Vocabulaire et notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul et J,, la matrice 
carrée de M,,(R) définie par blocs

par
on £,
me (où)

nm

où 0, est la matrice nulle à n lignes et n colonnes et 1,, est la matrice 
identité de même taille.
Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, la matrice transposée de toute 
matrice Mde M,, q(R) est notée MT.

On dit qu'une matrice M de M,,(R) est symplectique si et seulement si M'J,M = 
J,. On désigne par Sp, (R)
l'ensemble des matrices symplectiques de taille 2n x 2n.

On note O,,(R) le groupe orthogonal de M,,(R), S2,(R) l'ensemble des matrices 
symétriques de M,,(R) et
An (R) l'ensemble des matrices antisymétriques de M,,,(R).

Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur E toute 
application v définie sur E x E et à valeurs
dans R telle que pour tout Y EUR E,

XH d(X,Y) et XH v(Y,X)
soient toutes les deux linéaires sur E.

Soit d une forme bilinéaire ; 4 est dite alternée si et seulement si, pour tout 
X EUR E, d(X, X) = 0 ; v est dite
antisymétrique si et seulement si, pour tout (X,Y) EUR E?, (X,Y) = --#(Y,X).

Si i et j sont deux entiers naturels, on note 6; ; le nombre qui vaut 1 si i -- 
j et qui vaut 0 sinon.
On note e; la matrice colonne élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut 
1 et est placé sur la ligne numéro i.

On munit M2, 1(R) du produit scalaire canonique noté (-,-) et de la norme 
euclidienne associée, notée ||-|. En
identifiant M,(R) et R, on a, pour tous X et Y dans M, 1 (R),

(X,Y)=XTY et  |X|2=XTX.

Si X EUR Mona(R), X1 désigne l'orthogonal de X, c'est-à-dire l'ensemble des 
éléments Y de M, 1(R) tels que
(X,Y) = 0. Si Fest un sous-espace vectoriel de M, 1(R), F+ désignera 
l'orthogonal de F c'est-à-dire l'ensemble
des éléments de M, 1(R) qui sont orthogonaux à tous les éléments de F°

Si À est une matrice de M,,,(R), on notera sp, (A) l'ensemble des valeurs 
propres réelles de A.

Si À est une matrice de M,,(R) et À est une de ses valeurs propres, on notera 
Æ\ le sous-espace propre de À
associé à la valeur propre À.

Soit E un espace vectoriel et X,,...,X,, des vecteurs de E. On note 
Vect(X,,....,X ) l'espace vectoriel engendré
par X1,...,X,.

Soit À une matrice de M,,(R) et F une partie de M,,,1(R). On dit que Fest 
stable par A si et seulement si,
pour tout X dans F, AX est un élément de F.

2020-02-13 00:51:26 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA
I Cas des matrices de taille 2 Xx 2

Q 1. Dans cette question uniquement, n est un entier naturel non nul 
quelconque. Déterminer J° et montrer
que J, EUR Sp, (R) N A2, (R).
Dans la suite de cette partie, n = 1.

Q 2. Montrer qu'une matrice de taille 2 X 2 est symplectique si et seulement si 
son déterminant est égal

à 1.

Q 3. Soit M une matrice orthogonale de taille 2 x 2. On note M, -- (e | et M, = 
( | les deux colonnes
2 2

de M. Montrer l'équivalence
M est symplectique = M, = --J, M.

Q 4. Soit X1, EUR Mo(R) de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée 
des colonnes X, et --J,X;
est à la fois orthogonale et symplectique.

Q 5. Soit M une matrice de taille 2 X 2 symétrique et symplectique. Montrer que 
M est diagonalisable et
que ses valeurs propres sont inverses l'une de l'autre. Montrer qu'il existe 
une matrice P à la fois orthogonale et
symplectique telle que P {M P soit diagonale.

Q 6. Déterminer les matrices de taille 2 X 2 à la fois antisymétriques et 
symplectiques et montrer qu'elles
ne sont pas diagonalisables dans KR.

II Cas des matrices symplectiques et orthogonales
Soit K une matrice antisymétrique et 4 l'application de (M on 1(R)) dans R 
telle que
VOX, Y) EUR (Mona(R)) PA Y) = XTKY.

(On identifie de nouveau M, (R) et R.)

Q 7. Montrer que 4 est une forme bilinéaire sur M, 1(R).
Q 8. En calculant de deux manières &(X, X )'. montrer que & est alternée. 
Montrer de même que & est
antisymétrique.

Dans toute la suite du sujet, K = J,.

T] Vi
Q 9. Pour tout X -- "2 EUR Mon i(R) et pour tout Y -- 72 EUR Msn 1(R), montrer 
l'égalité
Ton Von

nm

PIX, Y) -- D (TrYpin -- TinY)-
k=1

Q 10. Montrer que pour tout (1,5) EUR {1,..,2n}°, w(e;, Cj) = dyim.j -- di,jin 
(ON POUrra commencer par le cas
où (i,j) EUR {1,...,n}° puis généraliser).
Q 11. Montrer que pour tout X EUR Mo, 1(R), J,X EUR X-- et calculer &(J,X, X).
Q 12. SiYe M,,1(R), on note Y"» l'ensemble des vecteurs Z de M, 1(R) tels que 
&(Y,Z) = 0. Montrer
que X7r =(J,X)+.
Q 13. Soit P une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont 
notées X,,...,X,,. Montrer
que, pour tout (2,3) EUR {1,..,2n}?,

IX] = 1
pX;, X;) -- dit. -- dijin

Q 14. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout à EUR {1,...,n}, X?" -- 
Xe,

Q 15. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout à EUR {1,...,n}, X,,, = 
--J,,X,;.

III Quelques généralités sur les matrices symplectiques

Q 16. Montrer que le déterminant d'une matrice symplectique vaut soit 1 soit 
--I.
Q 17. Montrer que l'inverse d'une matrice symplectique est une matrice 
symplectique.

Q 18. Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice 
symplectique. L'ensemble
Sp.,, (R) est-il un sous-espace vectoriel de M, (R) ?

2020-02-13 00:51:26 Page 2/4 FO) 8y-Nc-sA
IV Réduction des matrices symétriques et symplectiques

Le but de cette partie est de montrer que, si M EUR 82, (R) N Sp, (R), il 
existe P EUR O3,(R) N Sp. (R) tel que
P'MP est diagonale de coefficients diagonaux d,,...,d>, avec pour tout k& EUR 
{1,...,n}, dyin = 1/dy:

IV.A -- Propriété
Soit M EUR S,,(R)N Sp, (R).

Q 19. Montrer que si À est valeur propre de M, 1/À cest également valeur propre 
de M. Donner un vecteur
propre associé.

Q 20. Soit À EUR sp_(M) et p = dimE,. Soit (X,,...,X,) une base de E,\. Montrer 
que (J,X,,...,J,X,) est
une base de E;,, et que

Q 21. Soient Y,,...,Y, des vecteurs de M,,, ,(R). Soit Y EUR M, 1(R). Montrer 
l'implication

Ye (Vect(V,., Vies DV) = JAY EUR (Vect(M,, VV Ji Vin)

Yo dn JY Y;
Q 22. Dans cette question À -- 1. Montrer que Æ, est de dimension paire et 
qu'il existe une base de Æ,
orthonormée de la forme (X5,..,X,,J,X,..,J,X,) où 2p est la dimension de FE.

Q 23. Qu'en est-il pour E , ?

Q 24.  Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.

IV.B --- Mise en application sur un exemple

Dans la fin de cette partie, on note À la matrice

9 1 3 3
1[1 9 3 3
AZ 3x3 3 9 1
3 3 1 9

Q 25. Montrer que À EUR 8,(R) N Sp, (R).

Q 26. Construire une matrice orthogonale et symplectique P telle que P' AP soit 
diagonale.

V Étude du cas des matrices antisymétriques

V.A --- Un peu de théorie

Soit M EUR A3, (R) N Sp. (R). Soit m l'application linéaire canoniquement 
associée à M.
Q 27. Montrer l'égalité sp_(M) -- ().

Q 28. Montrer qu'il existe P EUR O,,(R) N Sp, (R) tel que P'M*P soit diagonale 
de coefficients diagonaux
d,.....,d», avec pour tout k EUR {1,...,n}, dy, = 1/dy.

Dans toute la suite de cette sous-partie, X désigne un vecteur propre de M° de 
norme 1 associé à une certaine
valeur propre À.

Q 29. Montrer que MX, J,X et J,MX sont des vecteurs propres de M? et donner les 
valeurs propres
associées à chacun de ces vecteurs.

Q 30. Dans cette question et dans la suite, on note F = Vect(X,MX,J,X,J,MX). 
Montrer que F est
stable par M7 et par J,.

Q 31. Montrer que toutes les valeurs propres de M? sont strictement négatives.

Q 32. Justifier que si À £ --1, Fest un espace vectoriel de dimension 4. 
Montrer que, dans ce cas,

_] 1
X,==MX,--J,X. MX)
| V--} =

est une base orthonormée de F. Donner alors la matrice de l'application m} 
induite par m sur F dans la base
obtenue.

Q 33. Montrer que F + est stable par M et par J,.

2020-02-13 00:51:26 Page 3/4 FO) 8y-Nc-sA
Q 34. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul q et des sous-espaces 
vectoriels de M,, 1(R), notés
F,..,Æ, tels que

(a) F@6-68Fr, = Ms,:1(R);

b) Vie {1,..,q}, F, est stable par M et par J, :

) Vie {1,..,q}, F- est stable par M et par J, :

d) Vije{l,..,q},i£j = VY,2)EF x F;,(Y,Z)=0=4%(Y,2);

e) Vie {1,..,q}, dimF, EUR {2,4}:

f) Vi EUR {1,..,q}, la matrice de l'application m F, induite par m sur F; dans 
une certaine base est de la

forme
V --ÀJ, 0: 9
J ou l .
' 02 2 7":

Q

PROS OT OST

V.B - Mise en application

Dans la fin de cette partie, on note B la matrice

0 --5 0 --3
115 0 3 0
B= 310 -3 0 5
3 0 5 0
1
Q 35. Calculer B? .:
1
Q 36. Déterminer un réel a et une matrice P tels que
0 a 0 0
T __ | --a 0 0 0
P EUR O,(R) N Sp,(R) et P'BP = o o 0 L/a
0 O0 --1/a 0

ee erFINee.e

2020-02-13 00:51:26 Page 4/4 CJEXES