Centrale Maths 1 PC 2017

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unusuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Soit E un ensemble non vide.

On appelle partition de E tout ensemble U : {A1: ..., Ak} de parties de E tel 
que

-- chaque A,, pour i E [[1, k]] est une partie non vide de E;

-- les parties Al, ..., Ak sont deux à deuzt disjointes, c'est--à--dire que 
pour tous i # j entre 1 et [EUR, A, () Aj : ® ;

k
-- la réunion des A, forme E tout entier : E = U A,.
'=1

[
Si [[ une partition de E et si k est le nombre d'éléments de U, on dit aussi 
que Zi une partition de E en k parties.

I Nombre de partitions en le parties
I.A * Soit k et 71 deux entiers strictement positifs. Montrer qu'il n'existe 
qu'un nombre fini de partitions de
l'ensemble [[1, n]] en [{ parties.

Dans tout le problème, pour tout couple (n,/Æ) d'entiers strictement positifs, 
on note 501, [EUR) le nombre de
partitions de l'ensemble [[1, n]] en [EUR parties.

On pose de plus S(0,0) : l et, pour tout (n,/EUR) EUR N*2, S(n, O) : S(O, k) : 
0.

LE -- Exprimer S(n, [EUR) en fonction de n ou de [EUR dans les cas suivants :
I.B.1) [EUR > n ;

I.B.2) k : l.

I. C * Montrer que pour tous le et n entiers strictement positifs, on a

S(n,k) : S(n--l,k-- l) +kS(n--l,k)

On pourra distinguer les partitions de [[l,n]] selon qu'elles contiennent ou 
non le singleton {n}.
I.D *

I.B.1) Rédiger une fonction Python récursive permettant de calculer le nombre S 
(n,/t), par application
directe de la formule établie à la question LC.

n
I.B.2) Montrer que, pour n 2 1, le calcul de S (n, [EUR) par cette fonction 
récursive nécessite au moins (le)

opérations (sommes ou produits).

II Nombres de Bell

Dans toute la suite, on pose pour tout entier n 2 O,

Bn : S(n, k)
k=0

II.A -- Montrer que pour n 2 1, B,, est égal au nombre total de partitions de 
l'ensemble [[l,n]].

II.B -- Démontrer la formule

k=0

Vn EUR N, B,,+1 : Z (Z) Bk

B
II. C * Montrer que la suite (--"> est majorée par 1.
nEURN

71!
II .D * En dedu1re une mmorat10n du rayon de convergence R de la serie entiere 
Z --|z".
n.
7120
+00 B
Pour sa EUR ]--R,Rl, on pose f(x) : ;) fisc".
ILE f Montrer que pour tout 33 EUR ]--R,Rl, f'(æ) : eæf(æ).
II.F * En déduire une expression de la fonction f sur ]--R, Rl.

2017--01--30 08:44:20 Page 1/3 ÎCÔ BY--NC-SA

III Une suite de polynômes
On définit la suite de polynômes (Hk)kEURN dans [R(X] par HO(X) : 1 et, pour 
tout [EUR EUR N'",

Hk(X) : X(X --1)----(X -- k + 1)

III.A -- Montrer que la famille (HO, ..., H") est une base de l'espace R,,(X].

III.B --

III.B.1) Pour tout [EUR EUR N, établir une expression simplifiée de Hk+l(X) + 
ka(X).
III.B.2) En déduire que, pour tout entier naturel 71

TL

X" : Z S(n, k)Hk(X)

k=0

III.C-- SoitkEURN.

OEn

III. C. 1) Montrer que la fonction fk: x |_) â( S( n, le) )--| est définie sur 
]--1,1(.
71.

(EUR, -- ...

III.C.2) Pour [EUR EUR N, on considère la fonction gk : 33 r--> k'

Montrer que la fonction gk vérifie l'équation différentielle

/Ï (eoe_1)kf1
, --fi+ky

III.C.3) En déduire que pour tout [EUR EUR N et pour tout &: EUR ]--1, 1(,

e_(æk_1>kZSnk

III.D --

OEk

+oo
III.B.1) Pour 33 EUR ]--1,1( et o EUR [R, simplifier z Hk(a)Ü'

III.B.2) Montrer que pour u < ln2 +00 EUR" _ le C... : z Hk(a)@ k=0 k! IV Fonctions génératrices On se donne dans la suite un espace probabilisé (Q, %! , [P). Soit m un entier strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire Y: Q --> 
N admet un moment d'ordre m
fini si Yadmet une espérance finie, c'est--à--dire si la série Z nmP(Y : n) 
converge. On appelle alors moment
d'ordre m de Yle réel

-()Y... :Î nm[P(Y

I V.A * Montrer que si Y : Q % N est une variable aléatoire associée à une 
fonction génératrice GY de rayon
strictement supérieur a 1, alors Yadmet a tout ordre un moment fini.

I V.B * Réciproquement, soit Y : Q % N une variable aléatoire admettant a tout 
ordre un moment fini.
IV.B.1) Montrer que la fonction génératrice GY est de classe C°° sur (--1, l].

IV.B.2) Exprimer Gg'f' (l) a l'aide des polynômes H k(X ) et de la variable Y.

IV.B.3) La fonction génératrice GY a--t--elle nécessairement un rayon de 
convergence strictement supérieur a 1 '?

On pourra utiliser la série entière Zeffioe".
IV. C * On suppose dans cette question que Ysuit la loi de Poisson de paramètre 
1.

IV.C.1) Montrer que pour tout 71 EUR N, B,, : (.Y")

+oo
n
IV.C.2) En déduire que pour tout polynôme Q(X ) a coefiicients entiers, la 
série Z Q< ) est convergente et n=0 sa somme est de la forme Ne, où N est un entier. 2017--01--30 08:44:20 Page 2/3 (ce BY-NC-SA V Somme de puissances On fixe n E N. On pose l'application linéaire : A : R{X] --> nem
P(X) l--> P(X + 1) -- P(X)

p

V.A * À l'aide d'un encadrement par des intégrales, déterminer un équivalent de 
Un (p) : z k", a n 2 1
k=0

fixé, lorsque p tend vers +00.

V.B * Soit An l'endomorphisme induit par A sur le sous--espace stable RJX]. 
Déterminer la matrice A de

An dans la base (Ho: ..., H").

" [EUR
V.C * En déduire que Un(p) : î: î:F -->G
1300 '--> A(P(Q(X--1)))

est un isomorphisme.
V.D.3) En déduire que pour tout 7" EUR N, il existe un seul polynôme P,.(X ) 
tel que

V.E --
V.E.l) Déterminer le terme dominant dans PT(X )
V.E.2) Montrer que pour r 2 1, X2 divise P X).

7'

V.E.3) Expliciter les polynômes P1 (X ) et P2 (X )

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