Centrale Maths 1 PC 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant 
d'un paramètre. Cette intégrale
provient de l'étude du << noyau de Poisson >>

z+-->Re(l+Z)

1 -- z
défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un 
lien entre séries entières et séries
de Fourier.

Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue 
d'un même résultat. Elles
doivent être traitées comme indépendantes entre elles.

On utilise les notations habituelles pour les ensembles N , Z, R et C.

I Règle de convergence d'Abel

I.A -- Soit (an)neN* une suite réelle décroissante qui converge vers 0, et 
(bn)nEURN* une suite complexe telle
que la suite (Bn)neN* définie pour tout H E N* par B,, : 191 + - - - + b,, est 
bornée.

I.A.1) Montrer que, pour tout entier n > 2,

n n--1
î: akbk = Clan + Z(% -- ak+1)Bkz
Iç=1 k=1

I.A.2) En déduire que la série z a,,bn converge.

I.A.3) Application

EUR177.0

Montrer que, pour tout 9 E R \ 27rZ, la série Z
7121

sin noe
I .B -- On considère la série de fonctions 2 ( )

7121 \/H

I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur R.

converge.

, où 96 est une variable réelle.

I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction 
27r--périodique continue par mor--
ceaux.

On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval.

I. C' -- Soit 19 la fonction de R dans R définie par

_+ cos(noe)

I.C.1) Montrer que p est bien définie, continue et 27r--périodique.

n=1

I.C.2) Déterminer la série de Fourier de p.
I.C.3) Montrer que la fonction 19 n'est pas de classe C1.

in9

II Étude de la série entière Z 6--32"
n

II.A -- Soit 9 E R.

EUR177.0 n
OE .

II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière 2
n

II.A.2) Soit g la fonction de ]--1, ll dans @ définie par

+oo -
EUR1719

9(fIJ) = z

n=1

$

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a) Montrer que g est de classe C1 sur ]--1,1[ et que, pour tout 515 EUR ]--1,1[,

ele--oe

oe2 --2oecos9+1

9'(OE) =
b) Montrer que, si 35 EUR ]--1,1[,

1 oesin9
=__1 2_2 1 ° _
Mac) 2 n(oe oecos9 + )+1 arctan (1 _ oecos9)

est bien défini et que h(oe) : g(oe).

II.B -- Soit 9 E R \ 27rZ.
II.B.1) Montrer que, pour tout H E N*,

" "39 1 . 1-- e19t "
0

k 1--ë%
k=1

+OO eik0 1 619
2 k 0 1 -- e19t

k:=1

II.B.2) En déduire que

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée.
II.B.3) En déduire que
+00 eik9

k
k=1

1 ° 9
= _5 ln(2 -- 200s9) +i arctan(ä)

II.B.4) Montrer que, pour tout 9 EUR ]0, 7r[,

+Î sin(k9) _ 7r -- 9
k 2

k=1
7r--9
2 .

II.C -- Soit 7° : R --> R, une fonction 27r--périodique, impaire, telle que V9 
EUR ]0, 7r], 7°(9) :

II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de r.

II.C.2) Déterminer la série de Fourier de 7".

+00 1 7r2

II.C.3) En déduire que _ = --.
% (271 + 1)2 8

III Calcul de / ln(a:2 -- 2513 cos9 + 1) 019
0

III.A -- Intégrales impropres
III.A.1) Montrer que si 35 est un réel différent de 1 et de --1, alors 5152 -- 
2oe cos9 + 1 > 0 pour tout 9 E R.

III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres
/ ln(sin @) d9 / ln(1 -- cos 9) d6' / ln(1 + cos @) dB
0 0 0

En déduire que, pour tout 515 E R, l'intégrale / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 
converge.
0

III.A.3) Montrer que, quand oe tend vers +oo,
27rln(oe) --/ ln(ac2 -- 2515 cos9 + 1) dB
0

admet une limite, que l'on déterminera.

III.A.4) Montrer que 515 i--> / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 est une fonction 
paire de la variable 35 E R.
0

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III.B -- Première méthode de calcul : séries de Fourier
III.B.1) Soit 515 EUR ]--1,1[.
Déterminer la série de Fourier de la fonction fi : R --> R définie par Îi(9) : 
ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1).

On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2.

III.B.2) En déduire que, pour tout 515 EUR ]--1,1[, on a / ln(ac2 -- 2oe cosô' 
+ 1) d9 : O.
0

En déduire la valeur de / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) d9 dans le cas ioe} > 1.
0

7T/2
III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre / ln(cos @) d9 converge.
0
7T/2

III.B.4) Montrer que] ln(sin 9)d9 : 2/
0

7T/2
ln(sin @) d6' : 2/ ln(cos @) dB.
0 0

III.B.5) En déduire que / ln(sin 9) d9 : --7r ln 2.
0

III.B.6) En déduire que / ln(2 -- 2cos @) d9 : / ln(2 + 2cos @) d9 : O.
0 0

III.C -- Une deuoeième méthode : intégrale dépendant d'un paramètre
Soit f la fonction de R dans R définie par f(oe) : / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) 
dB.
0

III.C.1) Montrer que f est dérivable sur R \ {--1, 1} et que

2oe--2cosô'
oe2 --2oecosô'+ 1

Vac @ R\{--L1} f'<æ> = /
0
III.C.2) En déduire que Vac E R \ {--1, 1}

/ _ +oo (oe+1)t2+(oe--1)
f ... _ 4/0 (($ + 1)2t2 + (:D -- 1)2)(752 + 1)dt

III.C.3) En déduire que

f(OE) : {27rln(ioei) si ioe} > 1

0 si}oei<1 1 T -- 1 On déterminera d'abord des coefficients A et B fonctions de 95 tels que ((æ +(1î2Ë13-- (oe+_(Î)2)(à" + 1) = A + B t t T E R t | f t' ' t défn'es -- our ou e ue ces rac ions sooen | | . (ac+1)2T+(ac--1)2 T+1p q III.C.4) Montrer que f est continue sur R et que f(1) : f(--1) : 0. On pourra montrer que Vac E R, 952 -- 295 cosé' + 1 ; sin2 9 et utiliser le théorème de la convergence dominée. III.D -- Troisième méthode : racines de l'unité III.B.1) Montrer que Vac E R \ {--1, 1} 27r 2 n 2k' / ln(ac2 -- 2515 cosô' + 1) d6' : lim (W Z ln (oe2 -- 2515 cos --7T + 1)) 0 n-->+oo n n

k=1

III.B.2) Montrer que, pour tout 515 E R et pour tout n E N*,

77;
2h
(oe" -- 1)2 = H (352 -- 2oecos --7T + 1)
n
k=1

III.D.3) En déduire que

47rln(ioei) si ioe} > 1

27T
2 -- =
/0 ln(oe 2oecosô' + 1)d9 {0 si M < 1 III.D.4) En déduire / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) dû pour 515 E R \ {--1, 1}. 0 2013-04--16 14:28:45 Page 3/4 @C) BY-NC-SA III.D.5) Montrer que Vac E R et Vn E N* n--1 n--1 H(oe2 --2accos2kÎ7T +1) : (Zoek)2 k=1 k=O n--1 k7r \/ñ III.D.6 M t ' -- = . ) on rer que ,}:[1 sin 2 III.D.7) En déduire que n/2 ] 2 / ln(sin @) d9 : --7rn-- 0 Retrouver alors le résultat de la question III.B.6. IV Théorème de convergence radiale I V.A -- Soit (an),,eN une suite complexe. On suppose que la série Zan converge. Pour n E N, on note +OED n +OED T,, : î: ak et on définit les fonctions $,, et 3 de [O, 1] dans (C par $,,(æ) : Zakoek et s(oe) : Zakoek. k=n--i--1 k=0 k=0 IV.A.1) Justifier l'existence de s. IV.A.2) Soit 96 E [O, 1] et n E N*. Montrer +OED s(oe) -- $,,(æ) : rnoen+1 -- î: r;,(oek -- oek+1) k=n+1 IV.A.3) Montrer que 3 est continue sur [O, 1]. Pour la continuité en 1, fixer 5 > O et montrer que si l'entier naturel N 
vérifie [rn] < 5 pour tout n ; N, alors [s(oe) -- 3N(oe)[ < 25 pour tout 96 E [O, 1]. Majorer ensuite le module de s(oe) -- 3(1) : (8(OE) -- SN(OE)) + (SNCB) -- 8N(1))+(8N(1) -- 8(1))- IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3. I V.B -- Soit 9 E R. Déterminer le développement en série entière de la fonction 1--962 F+ oe oe2--2oecos9+1 sur un intervalle que l'on précisera. I V.C -- Soit f : R --> R une fonction 27r--périodique et de classe C 1. On 
considère la série de Fourier de f en
cosinus et sinus, notée

00 + 2 (an cos(nt) + bn sin(nt))

n21
IV.C.1) Montrer que, pour tout 96 EUR ]--1,1[ et tout t E R,

+OED
. .. 1 % (1--oe2)f(U)
Co+îÏ(anoes)oe =ä 0 oe2_2oe008(t--u)+1

n=1

IV.C.2) En déduire que, pour tout t E R,

1 /27T (1 -- OE2)f(U)

t : l° --
f( ) oel>ril-- 27r OE2 -- 296 cos(t -- u) + 1

oooFINooo

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