Centrale Maths 1 PC 2003

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Plan du problème

Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur 
les
applications intégrables; Elles sont illustrées par la partie I et utilisées 
pour
établir les résultats de la partie Il. Dans les parties III et IV, on étudie le 
com-
portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui
précèdent.

Rappels et notations

Si de plus Zun est convergente, on note (R")

Soient f et g deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annu--
lant pas au voisinage d'un élément b e IR u {+oo, --oo} , sauf éventuellement en
ce point. f et g sont dites équivalentes en b si et seulement si leur quotient
tend vers 1 en b . On notera alors f ... g en b . f est dite négligeable devant
g en b si et seulement si le quotient f / g tend vers 0 en b . On notera alors

f : o(g) en b.
Soient (un) et (Un) deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un cer--

tain rang. Les suites (un) et (un) sont dites équivalentes si et seulement si la

un

su1te (wn) defin1e pour n assez grand par wn : converge vers 1 ; on note

7
alors un ... Un . La suite (un) est dite négligeable devant (vn) si et seulement

si (wn) converge vers 0 ;on note alors un : o(vn).

Pour une série E"n de nombres réels, on note (Sn) la suite de ses som-

n & IN
mes partielles :

n
pournelN,Sn : Zak.
k=0

la suite de ses restes :
n 6 IN

+oo
pournelN,Rn : 2 uk.

k=n+l

ln désigne le logarithme népérien.

Préliminaires

Soit a & IR et b e ]a, +oe[ u {+oo} , f et g deux applications continues par 
mor--
ceaux sur [a, b[ à valeurs strictement positives.

1) On suppose que g est intégrable sur [a, b[.
a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne

b b
! f = 00 g)-
h) Montrer qu' en b ,la relation fN g entraîne Jî f LÎ g
(on justifiera l'intégrabilité de f sur les intervalles [x, b[ considérés).

2) On suppose que g n 'est pas intégrable sur [a, b[ .

a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne Jîf : io(Jîg).

Montrer à l'aide d'exemples que l'on ne peut en général rien dire de 
l'intégrabi-q
lité de f sur [a, b[.

b) Montrer qu'en b , la relation f ... g entraîne Jîf ... Jî g.

Que dire de l'intégrabilité de f sur [a, b[ ?

Partie I -
I.A -

I.A.l) Déterminer un équivalent simple de

et
dt enO

xArc sint
2 t

I.A.2) En déduire un équivalent simple de JS dt en 0+ .

I.B -

I.B.1) À l'aide d'une intégration par parties, montrer qu'en +oo , on &
xi ... x
l21n(t) ln(x)

3 Arc sint

I.B.2) Plus généralement, si n est un entier naturel, établir le développe-
ment asymptotique suivant en +oo :

x dt " k!x x
: + .
J21n(t) këol nk+l(x) O(lnn+l(x))

LC -

I.O.1) Justifier le xdéveloppement asymptotique suivant en +oo :

t

x x
I d+=-- +%++(EUR--.)
113 +1 x x_

I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une

procédure permettant d'obtenir le terme d'indice n (n 2 2) du développement

asymptotique en +oo (par rapport aux----- ,.>.k 2 ) de:

xk
et

dt

xl_>"ltze +1

(on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II -
Soit a un nombre réel et f une application de classe C sur [a, +oo[ à valeurs
strictement positives. On suppose que le quotient xÂÂ)) tend vers une limite

finie ou en +oo.

1n(f (x))

,. ln(x) tend vers ce

II.A - Montrer à l'aide des préliminaires qu'en +oo
(on peut distinguer le cas oc : 0 ).

II.B - On suppose dans cette question oc < --1 . H. B. 1) Montrer que f est intégrable sur [a, +oo[ . ... --xf(x) IIB.2) Montrer qu'en +oo ,ÇonaJ oef a+1 (on peut considérer '(Îîx 1) et utiliser les préliminaires). II.C - On suppose dans cette question oc > --1 .
II.C.1) Étudier l'intégrabilité de f sur [a, +oe[.
II.C.2) Montrer qu'en +oo , 'on a

fo ... xf(x)

oc+1' ,

II.C.3) Donner un exemple d'application f de classe C1 sur [a, +oe[ à valeurs

strictement positives telles qu' en +oo le quotient ln(f(x)) tende vers une 
limite

oc > --1 , mais telle que l'on n'ait pas la f"

oc + 1
ILD -
ll.D.1) Étudier l'intégrabilité sur [2, +oo[ des applications x 1----> B' selon
[3 & IR . x(ln x)

H.D.2) Étudier, à l'aide des questions précédentes, l'intégrabilité sur [2, +oo[

des applications x 1--> selon Be IR et y e ]R.

xy(ln oc)B ,
ILE - Que conclure quant à l'intégrabilité de f sur la, +oo[ dans le cas oc : 
----1 ?

Partie III -

. . \ . . 1 \
Dans cette part1e, on cons1dere une appl1cat10n f de classe C sur IR+ , a 
valeurs
strictement positives.

f_'(_x)

(96)
On considère la série dTe-- terme général f(n ). On note (S ) la suite de ses

n n & IN
sommes part1elles et (Rn)n EUR IN la suite de ses restes quand la sér1e 
converge.

. \ . . . +
On assoc1e a f deux apphcat10ns u et v continues par morceaux sur IR et
définies par :

On suppose qu'en +oo, tend vers oc EUR IR.

pour tout n e ]N* et tout xe [n-- 1,n[, u(x) : f(n) et v(x) : Jn1f(t)dt.

On pose enfin pour tout x e IR+ , h(x) : e"°'x f(x) .

HLA - Soit 8 > 0 fixé.

Montrer l'existence de n'0 & ]N* tel que pour tout entier n 2720 et tout
te [n--l,n],on ait:

lh(t) -- h(n)l s