CCINP Maths 2 PC 2014

SESSION 2014 PCM2006

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

\ Les calculatrices sont interdites \

Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

On s'intéresse a des opérateurs définis sur l'espace des fonctions continues et 
2n--périodîques,
en introduisant sur cet espace une loi dite produit de convolution.

Partie I : ETUDE D'UN PREMIER OPERATEUR

m@>|--

I.1.a Donner l'allure de la représentation graphique de go sur le segment 
[--27T, Zn].

1.1. Soit go : R --> K définie par :
Vt E R, go(t) :

I.1.b L'application go est--elle continue sur R ? De classe C1 sur R ? De 
classe C1 par mer--
ceaux sur R ? On justifiera brièvement les réponses.

1/4

1.2. Série de Fourier de go.

1.2.a Déterminer les coefficients de Fourier (dits exponentiels) de go : cn(gp) 
pour tout
71 EUR Z. Préciser la convergence de la série de Fourier de @.
+00 1 +00 1
1.2.b Justifier la conver ence et calculer les sommes _ et _.
g nî=:1 4712 -- 1 nî=:1 (4712 -- 1)2

Dans la suite de cette partie, ainsi que dans la partie suivante, on considère 
E l'espace
vectoriel réel des applications de R vers R qui sont continues sur R et 
2w--périodiques.

3+2w
1.3. Soient h E E et H : R --> R définie pour 8 E R par H(s) =/ h(t) dt.

Justifier que H est une application constante sur R.

1.4. A toute fonction f E E, on associe g : <1>(f) définie par :
7T -- t
VOEER, g(oe)=/ sin (f). Montrer que g' : ©(f').
1.6.b Soit h E E, h étant supposée de classe C2 sur R.

h
En utilisant g : ©(h), montrer que : (1) (b" + X) = h.

1.6.c Montrer que (1) établit un isomorphisme (d'espaces vectoriels) entre E et 
son sous--
espace noté E2 constitué des applications de classe C2 sur R (et 
2w--périodiques).

1.7. Exemples de résolution.

4
1.7 .a Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = -- --f ; pour 
cela, on justifiera

que f E E2 et que f est solution d'une équation différentielle du deuxième 
ordre que
l'on résoudra.

1.7 .b Déterminer les fonctions f dans E telles que <1>( f ) = f.

2/4

Partie II : ETUDE D'UN DEUXIEME OPERATEUR

Soit 7° EUR]O, l[ fixé.

II.1. Pour tout 71 E N*, on définit la fonction pn par :
Vt E R, pn(t) : 7°" cos(nt).

II.1.a Montrer la convergence normale sur R de la série de fonctions de terme 
général pn.

II.1.b Pour tout réel t, on pose alors P(t) : 1 + 2 an(t).
n=1
1 -- 7°2

7°2 -- 27° cos(t) + 1'

En remarquant que 2 cos(mî) : e_'"t+emt, justifier l'égalité P (15) :

II.2. Soit f : R --> R une application continue sur R et 27r--périodique.

II.2.a Justifier que f est bornée sur R.

1
IIZb801tæEURRfixeOndéfinitalorsg(æ)=2--/î(P()fæ--tf(t)dt.
77
On note aussi g0(a: =à/î f(t) d-t -- c0(f) et pour tout 71 E N*
1 TF
an : --/ cos(nt)f(t )dt bn -- --lî/ sin(nt)f(t)dt, gn(a:) : 7°" (an cos(næ) + 
bn sin(na:)).
7T _7T 71-- _7T

Justifier alors l'égalité : g(a:) : Zgn(aî)

II.2.C Montrer que la fonction g ainsi définie est de classe C1 sur R : pour 
cela, on précisera
l'usage du théorème du cours concernant la classe C1 d'une fonction somme d'une
série de fonctions.

II.2.d g étant 27r--périodique, on veut calculer ses coefficients de Fourier. 
Soit ]? EUR Z.
Montrer que cp(g) : r|plcp(f), où cp(g) et cp( f ) désignent les coefficients 
de Fourier
(exponentiels) de f et g respectivement. Pour cela, on justifiera d'abord 
l'intégration
terme--à--terme dans l'intégrale définissant cp(g).

II.3. On considère E l'espace vectoriel réel des applications de R vers R, 
continues sur R et
qui sont 2w--périodiques. A toute fonction f E E , on associe g = H( f ) 
définie par :

1 71"
Va: E R, g(a:) : 2--/ P(a: -- t)f(t) dt.
7T --7T
En procédant comme dans la question 1.4, on montre que l'application H ainsi 
définie
est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E , ce que l'on admettra sans 
avoir a en

faire la démonstration.

II.3.a Grace a ll.2.d, déterminer les réels À tels qu'il existe f E E non 
nulle. vérifiant
H(f) = V-
II.3.b L'endomorphisme H : E --> E est--il injectif ? Est--il surjectif ?

3/4

Partie III : PRODUIT DE CONVOLUTION, OPERATEURS ASSOCIES

On considère ici l'espace vectoriel complexe noté C27T des applications 
continues de R vers @,
qui sont 2w--périodiques.

On rappelle que l'on définit sur C27T un produit scalaire noté ( l) et la norme 
associée notée ici
H" \ la par =

w,gec2... =i Ægdt, WEURCQ... HfHa= i lf(î)l2dt
277 _7T 27T _7T

Par ailleurs, on considère la norme usuelle H.HOO, définie aussi sur C27T par :

VfEC27T7 llflloe=sup{lf(t)l,tEURR}.

III.1. Pour f et g dans C2... on définit h = f * g (dit produit de convolution 
de f et g), par :

Va: EUR n, h(æ) : à/Ï f(æ --t)g(t) dt.

Montrer que h ainsi définie est dans C27r.

III.2. Pour la suite de cette partie, on admettra sans démonstration la 
relation entre les coeffi--
cients de Fourier de f * g et ceux de f et g :

V" E Za Cn(f * 9) : Cn(f)Cn(g)-

III.2.a Montrer que pour f et g dans C2... on a : f * g = g * f.
III.2.b Montrer qu'il ne peut pas exister 8 EUR C2... telle que pour tout f E 
C27T on ait

f*e=f.

III.3. Soit @ donnée dans C27T.
A toute fonction f E C2... on associe @(f) = w * f.

III.3.a Montrer que l'application @ ainsi définie est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel

complexe C27T.

III.3.b Montrer que S$ : {cn(w), 71 EUR Z} est borné, que M : sup{lcn(zÿ)l ,n 
EUR Z} existe et
vérifie M { HOEHOO.

III.3.C Justifier que :
W EUR Cg... ll®(f)ll2 < Ml...l2- Comment peut--on interpréter ce résultat ? III.3.d Montrer que S$ est exactement l'ensemble des nombres complexes À tels qu'il existe f non nulle dans C2... vérifiant @( f ) = A f . Comment peut--on interpréter ce résultat ? III.3.e Caractériser a l'aide de S$ l'injectivité de @. Fin de l'énoncé 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE -- 141313 -- D'aprèsdocumentsfournis