CCINP Maths 2 PC 2009

 

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SESSION 2009

A PCM2006

CONCOURS (OMMUNS POIYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la 
précision et a la conci-
sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout ce problème, on note F la fonction sur IR ><(D, F(a:, z) : exp <--zæ -- %) , et f la fonction sur IR à valeurs dans IR définie par : 2 V3: EUR IR, f(sc) : F(æ,0) : exp (--%--) . PARTIE I 1.1. Soit z 603 un nombre complexe fixé, quelconque. I.1.1. Ecrire les développements en série entière de la variable réelle 3: des fonctions :1: +--> exp(--zæ) et w +----> exp _? . On prec1sera les rayons de convergence 
des ser1es ent1eres

obtenues.

I.1.2. A l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que l'on peut écrire, pour tout 
33 EUR IR :
+oo
F(æ, z) : ZA,,(z)æ" ,
n--O

où A,, est une fonction polynomiale de degré n.
Pour tout n EUR IN on définit la fonction polynomiale H,, par H,, : (--1)"n!A...
Donner les expressions de H0(z) et de H1(z) en fonction de z.

I.1.3. Calculer la dérivée de la fonction æ +-----> F (a:, z) à l'aide de F.
En déduire que pour tout 77. EUR IN et tout 2 EC on a Hn+2(z) : an+1(z) -- (n + 
1)H,,(z).
Donner les expressions de H2(z), H3(z) et H4(z) en fonction de 2.

1/3

1.2

1.2.1. Montrer que pour tout 513 EUR IR on a f"(a:) + a:f'(:E) + f(îlï) =
dn+2f

En déduire que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a (a:) + a:

----1 " d"
1.2.2. Pour tout 77. EUR IN on pose Kn : ( ) f .
f dai"

Montrer que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a Kn+2(æ) -- æKn+1(æ) + (n 
+ 1)Kn(æ) : O.
Exprimer K0(æ) et K1(æ) pour tout 55 EUR IR. En déduire que Hn : K" pour tout 
71 EUR IN.

1.3.
1.3.1. Montrer que pour tout 71 EUR IN et tout 55 EUR IR on a H;L+1(a:) : (n + 
1)Hn(æ).
1.3.2. En déduire que pour tout n EUR IN et tout 3: EUR IR on a HZ(CE) --- 
a:Hâ(æ) + an(æ) : 0.

1.4. Pour tout n EUR IN on définit la fonction go,. de la variable réelle 3: 
par :

5132
V3: EUR IR, gan(a:) : (--1)"Hn(æ) exp (--î> .
5132
Montrer que pour tout 513 EUR IR on a ng(a:) -- Îgan(æ) : Àngon(æ), où )... est 
un nombre réel que

l'on déterminera.

1.5. Pour tout couple (p, q) EUR IN2 on pose :
+00 +00
Ip,q : Iq,p =/ SÛp dt.

OO "OO
11.1. Montrer que f est définie et continue sur IR.

11.2. Montrer que f est de classe C1 sur IR.

11.3.

11.3.1. Montrer que f'(1/) : --47r2yf(y) pour tout 1/ EUR IR.
On pourra par exemple, entre autres méthodes, utiliser l'égalité --t : 2i7rv + 
(--2i7w -- t).

2/3

II.3.2. Calculer f(0). En déduire l'expression de f(u) en fonction de V.

PARTIE III

On considère la série de fonctions de terme général u,, défini par :

uO=f et VnEURlN"', Va:EURIR, u,,(cc) =f(æ--2nw)+f(oe+2nw).

Pour tout n EUR IN soit U,, la fonction définie par U,, -- --îî: u,,.

On remarquera que pour tout a: E IR on a U,,( =Î f( a: ---- 2k7r).

k=--n

III.1. Soit A un nombre réel strictement positif.

A
III.1.1. Soit n EUR IN tel que n 2 -2----. Etudier les variations sur le 
segment [--A,+Al des
7r

fonctions 3: »----> f(a: -- 27m) et a: 1--+ f(a: + 271%).

(27...-- _ A)?)

En déduire que pour tout a: E [--A, +A], on a 0 S un(ïlî) S 2exp ("'

2
+OED
III.1.2. Montrer que la série de fonctions î: u,, converge normalement sur 
[-----A, +A].
n=0
III.2.
+oe>
III.2.1. Déduire de la question précédente que la série de fonctions 2 u,, 
converge simplement
n=O

sur IR tout entier. On note U sa somme.

III.2.2. Montrer que U est continue sur IR. On admettra que U est de classe C1 
sur IR.

III.2.3. Montrer que U est paire.

III.2.4. Exprimer, pour tout a: E IR, U,,(â: + 27r) au moyen de U,,(æ), f(a: + 
2(n + 1)7r) et
f (a: ---- 2n7r). En déduire que U est périodique de période 277.

III. 3. Soita -- 20+ Î a,, cos ...: la série de Fourier de U.

III.3.1. .] ust1fier l égalité de U avec la somme de sa série de Fourier.

% (2k+J)w
III.3.2. Montrer que l'on a / U;,(æ) cos næ dæ : / f(æ) cos m: da: pour tout 
77. EUR IN
'--W --(2k+l)w
et tout k EUR IN.
III.3.3. Pour tout 71 EUR IN, justifier l'égalité / U(a:) cos ...: dæ : klim 
U;,(æ) cos na: dæ.
% +OE) _" _fi
En déduire que / U (33) cos na: da: : . f(æ) cos na: da:.

III.3.4. Déduire de ce qui précède une expression de a,,, pour tout n EUR IN, a 
l'aide de f et de
n, puis exprimer a,, en fonction de n.

Fin de l'énoncé

3/3