CCINP Maths 2 PC 2007

 

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Les calculatrices sont interdites

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision 
et a la conci--
sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout l'énoncé de ce problème, ] désigne un intervalle ouvert de IR 
symétrique par rapport
a l'origine, et 90 une fonction paire, de classe C°° sur I .

Toutes les fonctions considérées dans ce problème prennent leurs valeurs dans 
IR.

On note (E) l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre en la 
fonction inconnue
y de la variable réelle 3: suivante :

(E) y"(âî) + @(OE)y(âî) = 0-
On note f0 l'unique solution de (E) sur ] vérifiant les conditions initiales 
fO(O) : 1 et fô(0) = O,
et f1 l'unique solution de (E) sur ] vérifiant les conditions initiales f1(0) : 
0 et f{(0) : 1.

PARTIE I

1.1. Montrer que si y est une solution de (E) sur [, alors y est de classe C00 
sur I .

1.2. Montrer que si y est une solution de (E) sur [, alors la fonction a: |--> 
y(--a:) est aussi solution
de (E) sur I .

1.3. Montrer que f0 est une fonction paire et f1 une fonction impaire.
Exprimer la solution générale de (E) sur I a l'aide de fo et fl.
Déterminer parmi les solutions de (E) sur ] celles qui sont paires et celles 
qui sont impaires.

1.4. On suppose que f0 ne s'annule pas sur I, et l'on pose u : f--ë.
1.4.1. Montrer que u' ne s'annule pas sur I, et exprimer î--î en fonction de 
--É.
1.4.2. En déduire qu'il existe une constante réelle B , que l'on calculera, 
telle que u' = %.
0
1.4.3. On note u0 la primitive de % qui s'annule en a: = O. Exprimer f1 a 
l'aide de f0 et u0.

0

1/4

2

. 7T 77 . .
1.5. Dans cette question, on suppose que I = } _5' +5 { et que la fonction 33 H 
cos a: est solution

de (E) sur [.
1.5.1. Déterminer g0(a:) et f0(a:) pour tout a: E [.
1.5.2. Déterminer u0(a:) pour tout a: E [. On pourra utiliser l'identité :

1 _ 1--l--tan2æ

cos4 a: cos2 a:

et exprimer u0(a:) comme fonction de tan 33.

1.5.3. En déduire la valeur de f1(a:) pour tout a: E I et expliciter la 
solution générale de (E)
sur I .

PARTIE 11

Dans cette partie on suppose que I : IR et qu'en plus des conditions imposées 
au début de
l'énoncé, @ est 277--périodique.
On s'intéresse aux éventuelles solutions 2%--péri0diquæ de l'équation (E).

11.1. Soit y une solution de (E) sur IR.
Montrer que la fonction 33 H y(a: --l-- 277) est solution de (E) sur IR.

11.2. En déduire qu'il existe des constantes réelles 1000, w..., w..., 1011, 
que l'on déterminera en
fonction des valeurs prises par f0, fé, fl, f{ en 277, telles que pour tout a: 
E IR on ait :

f0(33 + 277) = w00f0(33) + w10f1(33)7
f1(33 + 277) = w01f0(33) + w11f1(33)-

11.3. Soit W la matrice carrée d'ordre 2 définie par W = ( w... w... ).
w10 w11

Montrer que pour que (E) admette sur IR des solutions non identiquement nulles 
277--périodiques,
il faut et il suffit que W admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une 
telle solution g
en fonction de f0 et f1 puis utiliser la périodicité de g.

11.4. Montrer que si (E) admet sur IR des solutions non identiquement nulles 
277--périodiques,
alors l'une au moins des deux fonctions f0 et f1 est 277--périodique. On 
pourra, g étant une telle
solution, considérer les fonctions 33 H g(a:) --l-- g(--a:) et 33 H g(a:) -- 
g(--a:).

11.5. On suppose dans cette question que la fonction @ est définie par :
Va: EUR IR, g0(a:) : a -- k2 sin2 33,
où a et [{ sont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solution 
f0 sur IR de l'équation :
(E) y"<æ> + y<æ> = 0

soit 2%--péri0dique (on ne cherchera pas a démontrer l'existence de telles 
constantes & et lc).
+7r

Soit F la fonction définie pour tout a: E IR par F(a:) : / ek COS"COSOEfÜ(t)dt.

On note K la fonction définie pour tout (a:, t) E 1112 par K(a:, t) : 
ekCOSÉCOSOE.

11.5.1. Montrer que F est de classe C2 sur IR et paire.

2/4

II.5.2. Vérifier que pour tout couple (a:, t) E IR2 on a :

ÔZK ÔZK
Ê(aÿ, t) + (a -- k2 sin2 a:)K(a:, t) : Ê(aÿ, t) + (a -- k2 sin2 t)K(a:, 15).
En déduire que pour tout a: E IR on a :
+7T ÔZK +7T
F"(a:) + (a -- k2 sin2 a:)F(a:) =/ Ê(aÿ, t)f0(t)dt + / (a -- k2 sin2 t)K(a:, 
t)f0(t)dt,

puis, au moyen d'une double intégration par parties, que F est solution de (E) 
sur IR.

II.5.3. Déduire de ce qui précède qu'il existe une constante réelle À telle que 
pour tout a: E IR
on ait :

+7r
/ 6kcostc0soef0(t)dt= Àf0(ûî)

--7T

PARTIE III

77 77
Dans cette partie, on suppose que I = ]_5' +5] et que ça est une fonction 
constante sur I ,

2

égale a au , avec au > O.

III.1. Déterminer dans ce cas la solution générale de l'équation (E) sur I , 
ainsi que ses solutions

fo et f 1-
III.2. Soit 2 une fonction de classe C°° sur ] -- 1, +1]. Montrer que la 
fonction y définie pour tout
a: E I par y(a:) : z(sin a:) est solution de (E) sur ] si et seulement si 2 est 
solution sur ] -- 1, +1]

de l'équation différentielle :

(E') (1 -- X2)Z"(X) -- Xz'(X) + w2z(X) = 0.

III.3. Soit 2 une solution de (E') sur ] -- 1, +1], admettant sur ] -- 1, +1] 
un développement en
+oo

série entière z(X) : Z CLan.
n=0

III.3.1. Déterminer une relation de récurrence reliant an+2 a a,, pour tout n 
EUR IN. En déduire
pour tout 19 EUR IN" les expressions de CL2p en fonction de p, w et CL0, et de 
a2p+1 en fonction de 19, w
et al.

Pour quelles valeurs de w l'équation (E' ) admet--elle des solutions 
polynomiales non identique--
ment nulles ?

Montrer que quelles que soient les valeurs de CL0, ... et au, le rayon de 
convergence de la série
+oo

entière Z CLan est supérieur ou égal a 1.
n=0
III.3.2. On note 20 la solution de (E' ) développable en série entière sur ] -- 
1, +1] correspondant
au choix a0 : 1, a1 : O, et 21 la solution de (E' ) développable en série 
entière sur ] -- 1, +1]
correspondant au choix a0 : 0, a1 : 1.
Donner une expression, sur I , des fonctions a: |--> cos wa: et a: |--> sin wa: 
a l'aide des fonctions
Zg, 21 et sin.

3/4

III.3.3. Soit m un nombre entier strictement positif.

77 77
Exprimer cos 2ma: et sin(2m --l-- 1)a:, pour tout a: E i_î° --l--î [, sous la 
forme :

cos 2ma: : P...(sin a:), sin(2m --l-- 1)a: : Q...(sinæ),
où P... est une fonction polynomiale de degré 2m et Q... une fonction 
polynomiale de degré 2m--l-- 1.

Ces expressions sont--elles valides sur IR tout entier ?

Fin de l'énoncé

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