CCINP Maths 2 PC 2006

SESSION 2006 PCM2006

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction ; si un candidat est appelé à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il

le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

La partie III est indépendante des dent premières.

PARTIE 1

Soit (Pn)ngN la suite de fonctions polynomiales définies sur IR par :
Po(OE) = 1,

Vn & ]N*, P,.(oe) = H(a: + k).
k=l

1.1. Soient m EUR IN et n EUR IN. Donner une expression de P" (m) à l'aide de 
factorielles.

Soit @ un nombre réel qui n'est pas un nombre entier strictement négatif.
On définit la fonction fa de la variable réelle a: par :

+°° (_1)næ2n

fa(æ) : É 22"ann(a)'

n=0

1.2. Montrer que fcz est définie sur IR tout entier.

1.3. On considère l'équation différentielle linéaire homogène en la fonction 
inconnue y de la
variable réélle a: : - .
' (Eu) OEy"(æ) + (201 + l)y'(æ) + a:y(æ) : 0_

1.3.1. Montrer que fa est solution de (E.,) sur IR.

1.3.2. Réciproquement, soit y une solution de (E.,), paire, et développable en 
série entière de
la variable a: au voisinage-idea: : O. Exprimer y en fonction de fa et y(0).

On suppose à présent, et jusqu'à la fin de la partie I de ce problème, que a & 
%.

1.4. Soit ga la fonction définie sur ]0, +oo[ par :'
Va: EUR]O, +oo[, ga(x) : x"2af_a(æ).

1.4.1. Montrer que 904 est solution de (E,) sur ]0, +oo[.

1.4.2. En comparant les limites à droite en 0 de fa et g... montrer que ces 
fonctions sont
linéairement indépendantes dans C2 (]0, +oo[, IR).
En déduire la solution générale de (E.) sur ]0, +oo[.

1.4.3. Soit y une fonction de classe C2 sur ] ---- oo, 0[ à valeurs réelles.

Montrer que y est solution de (Eu) sur ] -- oo, 0[ si et seulement si la 
fonction a: +---> y(----æ) est
solution de (E..) sur ]0, +oo[.

En déduire la solution générale de (EQ) sur ] ---- oo, 0[.

1.5. Soit ja la fonction définie sur ]0, +oo[ par ja(æ) : æ"fa(oe).

1.5.1. Montrer que ja est solution sur ]0, +oo[ de l'équation différentielle :
(Ba) x2y"(OE) + æy'(OE) + (sa? -- a2)y(x) = 0-
Que peut--on dire de j_Cz ?

1.5.2. En déduire la solution générale de (Ba) sur ]0, +00[ puis sur ] ---' oo, 
0[.

PARTIE 11

Dans cette partie, oz désigne un nombre réel strictement supérieur à --l.

2
On définit la fonction ha de la variable réelle x par :

1 _
ha(æ) : /0 (1-- t2)°'"% cos xt dt.

11.1. Montrer que ha est définie et de classe C2 sur IR.
11.2. ' 1 ,
11.2.1. Montrer que pour tout a: E IR on a oehä(oe) + æha(æ) : / (l ---- 
t2)a+%æ cos xt dt.
0

11.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que ha est solution 
de (Ed) sur IR.

11.3. Montrer que ha est développable en série entière de a: sur IR, et que 
l'on a :

+oo ' «.
_ (--1)nIn(a)xzn
Va: & IR, ha(æ) ... % (Zn)! ,

, '1 1
où In(a) : / (1 -- t2)a"ît2n dt.
' 0

11.4. Exprimer ha en fonction de ha(0) et fa.

. 11.5. En déduire pour tout 77. EUR IN une expression de In(oz) en fonction de 
n, P,.(a) et IO(oz).

PARTIE III

Soit F : IR2 --- {(O, O)} --> IR une fonction de deux Variables réelles a: et y 
de classe 62 sur
lR2 - { (O, O)}. On lui associe la fonction F de classe 62 sur ]0, +oo[le 
définie par :

F(r, EUR) = F(r cos 9, 7" sin 9)

pour tout (730) EUR]0, +oo[le.

2 2
On note AF le laplacz'en de F, défini par AF = ê----F-- + (--9--IÎ.
85132 fifi

III.1. Montrer que pour tout (7°, 9) EUR]0, +oo{le on a :

2 " " 2 "
AF(rcosâ,rsin9) = %;â--(nâ) +}1- %EUR--(r,9) +;ä- %%(T,9).

On se propose de déterminer les fonctions F non identiquement nulles telles que 
F soit de la forme
F (r, 9) = f (r)g(9) et que AF + w2F = 0, où ca est un nombre réel positif ou 
nul, et f et g des
fonctions de classe C2 sur ]0, +oo[ et IR respeCtivement.

III.2. Soient F , F, f et g vérifiant les conditions ci--dessus.
III.2.1. Montrer que g est 27r--périodique.

III.2.2. Montrer qu'il existe un nombre réel A tel que l'on ait simultanément :
(i) V7" EUR]O, +oo[, r2f"(r) + rf'(r) + (T'2w2 -- À)f(r) = 0,
(ii) V9 EUR IR, g"(9) + Àg(9) = O.
III.2.3. Déduire de la questionllI.2.l. que le nombre réel A est nécessairement 
de la forme
À =p2, avecp EUR IN.

III.2.4. En déduire la forme générale de g.
On distinguera le cas où p = 0 et le cas où p ;é 0.

111.3. On suppose dans cette question que w = O.
III.3.1. Déterminer la forme générale de f dans le cas où p = O.

III.3.2. Déterminer la forme générale de f dans le cas où p # 0.
On pourra commencer par chercher les fonctions f qui sont de la forme f (7) = 
T".

III.4. On suppose dans cette question que a) # O_. ' _
« r
Soit f1 la fonction définie sur ]0, +oo[ par f1(r) = f (;)

Montrer que f1 est solution sur ]0, +oo[ de l'équation différentielle :

(Bp) T2y"(7") + ry'(7'l + (?"2 ---- p2)y(r) ==

Fin de l'énoncé