CCINP Maths 2 PC 2000

SESSION 2000 PC007

A

CONCOURS COMMUNS POlY'I'ECIINIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.
Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.

EARÉÜEJ

Z

+.»
1.1 On considère la série entière 2 de la variable complexe z .

":o (n + 1)!
1.1.1 Déterminer son rayon de convergence.
1.1.2 Calculer sa somme S(z) . On distinguera les cas 2 = 0 et z # 0 .

1.2 Soit la fonction f de la variable complexe z définie sur C -- {2ki7r / k & 
Z*} par:

Z

f(z) = pour 2 e 2i7rZ ,

e'--1
f(Û)=1-

4--
Nous admettrons qu'il existe une série entière ZBnZ--' de rayon de convergence 
R > 0 dont la
n=0 "'
somme sur son disque ouvert de convergence est égale à f(z) .
1.2.1 Montrer que R S 27: . Nous admettrons que R = 27r.
1.2.2 Calculer B0 .
1.2.3 Donner pour tout n 2 1 l'expression de B_ en fonction de B0 , ..., B,__ 1 
(on pourra

remarquer que pour Izl < 27: , on a l'égalité S(z)f(z) = 1 ). En déduire que B,_ est un nombre rationnel pour tout n e [N . 1.2.4 Calculer B1 , BZ, B3 , 84. 1.2.5 Calculer f(z) - f(-z) . En déduire que Bu+1 : 0 pour tout k 2 1 . Tournez la page SVP ] . 0996 1.3 f (42) -- f (22) Z 1.3.1 Exprimer 1+ en fonction de e". 1.3.2 En déduire l'expression en fonction des B,_ des développements en série entière des fonctions thx et taux de la variable réelle x . Quel est le rayon de convergence des séries entières obtenues ? 1.4 On considère la fonction h des deux variables complexes x et z définie par: h(x, 2) =f(Z) 8" - 1.4.1 Montrer qu'il existe une suite ( B,, (x))»EN de polynômes à coefficients rationnels telle que, pour tout couple (x, z) de nombres complexes tel que Izl < 27: , on ait : +... Z" (1) h(x.z) = Zfl.(x)î . n=0 ' Déterminer le degré de Bn(x) , n e [N . Exprimer B,,(O) en fonction de B". 1.4.2 Calculer fl," 1(x + 1) - Bh1(x) pour k 2 0 . En déduire une expression de la somme 1" + 2" + 3" + +N" en fonction de ,Bhl(N + 1) , ,BkH(O) et k. 1.4.3 Comparer h(1--x,--z) à h(x, z) . En déduire que l'on a B,.(1--x) : (--1)"B,(x) pour tout n e [N . Exprimer B,_(l) en fonction de B,, . 1.4.4 On suppose dorénavant que x est réel. On admettra que l'on peut alors dériver terme à terme le deuxième membre de l'égalité (1) par rapport à x . Montrer que pour tout n & N on a B:... (x) = (n + 1)fl,(x) . En déduire que J; B,.(x)dx = 0 pour tout n 2 1 . PARTI 11 Les résultats de la question 1.4 permettent de définir la suite de polynômes ([3,.),£eN introduite àla question 1.4.1 par la récurrence suivante : @) 5006) = 1 , (ii) VkelN , B,Ç+,(x)= (k+1)fl.(x) et J;Bk+l(x)dx = o. Pour tout nombre entier k 2 0 , on note $.(x) la fonction 27c--périodique de la variable réelle x qui coïncide avec fik(-2£) sur l'intervalle [O, 27r[. 75 11.1 Calculer Bl(x) , Bz(x) et flg(x) . On vérifiera en particulier que B2(x) = x2 -- x +% . 11.2 II.2.1 Vérifier que % est paire et continue sur IR . 11.2.2 Développer % en série de Fourier réelle. 11.3 11.3.1 Montrer que pour tout k 2 3 la fonction d>k est de classe C'" sur IR , 
et que :

, k
$k : Ë$k-l '
ki
(lc--2) _ -
k _ 2k--1flk--2 %

11.3.2 En déduire le développement en série de Fourier réelle de «pb pour p 
entier
supérieur ou égal à l .

11.3.3 Exprimer, pour p entier supérieur ou égal à 1 , la somme 2% en fonction 
de

n=1 "

sz(O) et p .

ARTIE 111

+°° z--l

.. ,. , [
Oncon51dere11ntegrale J ' 1
0 EUR _

dt , où x est un nombre réel.

x--1

111.1 Montrer que la fonction n--> est intégrable sur 10, +°°[ pour tout x > 1 .

!

e--1

"" x--l

111.2 Montrer que la fonction F(x)= J EUR 1
0 EUR _

dt est de classe EUR" sur ]1, +oo[.

Tournez la page SVP

111.3 On suppose x fixé, strictement supérieurà 1 .

III.3.1 Vérifier que pour tout t > 0 on peut écrire 1 = Et e

--M

III.3.2 Montrer que la fonction t l--> t"'e est intégrable sur [O, +°°[ pour 
tout n 2 1 .

On pose F(x) = ...t"'e"dt et, pour tout n22 , 1300 = +"t""e""dt .
° 0

111.3.3 Calculer, pour tout n 2 2 , I'n(x) en fonction de n , x et F(x) .

, . +" 1 F (X)
III.3.4 En dedu1re que pour tout x > 1 on a Z-- = ------- .
..=1 n' F(X)

III.4 Soit k un nombre entier supérieur ou égal à 2 .

III.4.1 Exprimer F(k) en fonction de k et F(k - 1).

'°°1

III.4.2 En déduire la valeur de F(k) et l'expression de 2-- en fonction de k et 
F(k).

k
n=1 "'

Fin de l'énoncé