SESSION 2020 PCIM
(INP
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
MATHÉMATIQUES
Lundi 4 mai:8h-12h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a êté amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en évidence
des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont autorisées
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
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EXERCICE 1
Calcul de l'intégrale de Dirichlet
L'objectif de cet exercice est de démontrer la convergence de l'intégrale de
Dirichlet :
1 - [ *® sin(f) di
0 t
et de calculer sa valeur. On considère la fonction f : [0,+co[X]0, +co[-- R
définie par :
V(x, ft) EUR [0, +oco[X]0, +co[, f(x, rf) = Det.
On définit également la fonction 4 : [0,+co[X]0, +co[-- KR par :
XSIN(f) + COS(f) _,,
e.
V(x, 1) EUR [0, +oo[X]0, +co[, u(x,t) = -- 1 + x
Dans l'exercice, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité | sin(?)| < {f| valable pour tout f EUR KR. Partie I - Préliminaires Q1. Soit x > 0. Montrer que la fonction f + f(x, f) est intégrable sur ]0, +col.
Q2. En utilisant par exemple une intégration par parties, montrer que
l'intégrale Z est convergente si
et seulement si l'intégrale :
+00
Ï -- cos(f
[ 17 cos(),
[2
0
est convergente. En déduire que l'intégrale 7 converge.
--X{
Q3. Soit x > 0. Montrer que f H u(x, ft) est une primitive de la fonction f +
sin(fje " sur ]0, +cof.
Dans la suite de l'exercice, on définit la fonction F : [0,+co[-- KR par :
Vx EUR [0,+oo[, F(x) = [ Cf, t)df.
0
Partie II - Calcul de F sur 10, +co[
Ï
Q4. Montrer que |[F(x)| < -- pour tout x > 0. En déduire la limite de F en +c.
X
Q5. Soit a > 0. Montrer que la fonction F est dérivable sur [a, +! et que l'on
a :
+00
Vxela,+oo![, F'(x) = - [ sin(f)e "df.
0
Q6. En déduire que la fonction F est dérivable sur ]0, +c[ et déterminer une
expression de F"(x)
q P
pour tout x EURÏ0, +. Conclure que :
Vx>0, F(x) = ; -- Arctan(x).
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Partie III - Conclusion
On considère les fonctions F; : [0,1] -- R et F; : [0, 1] -- KR définies par :
1 +00
VxEef0,1], F;(x) -- [ f(x,t)dft et F)(x) = [ f(x, t)dr.
0 1
Q7. Montrer que la fonction F, est continue sur [0, 1].
9
[2
xsin(l) + cos(1l) k [ u(x, f)
I
Q8. Soit x EUR [0, 1]. Montrer que la fonction ft + 7 est intécrable sur [1, +
et que :
q £ q
F35(x) = df.
1 + x? {2
Q9. Montrer que la fonction F; est continue sur [0, 1].
Q10. En déduire que la fonction F est continue en 0, puis déterminer la valeur
de l'intégrale Z.
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EXERCICE 2
Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée
On se donne un entier n > 2. On rappelle que la norme euclidienne usuelle || -
|| sur R" est définie par :
n
VxeR", x=(x,....,x,), [xl = > x
k=1
On note B, = {x e R"|||xl| < 1} la boule unité fermée de R". On fixe des réels a; ; pour 1 <1 < j < n et on considère l'application f : B, -- R définie par : V(xi,...,xXn) ER", f(x1,..., Xn) = Y > a) -- > Gi jXiX ;.
i=1 V j=i 1 0, déterminer le maximum et le minimum de f sur B,.
Partie IIT- Application des résultats
Dans cette partie, on suppose que n > 3 et que l'application f : B, -- KR est
définie par :
n
V(x1,...,Xn) EUR B;, fai... x) = x > 2X;x;.
k=1 1 0.
Partie I- Calcul de p,
On fixe un entier n EUR N.
Q23. Que représente la variable aléatoire S , ?
Q24. Calculer po, p1 et po.
Q25. Justifier que si n est impair, alors on a p, = (0.
X; +!
On considère pour tout k EUR N° la variable aléatoire Y, définie par Y} = . On
admet que (Y4 rev:
est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.
1
Q26. Soit k EUR N°. Montrer que Y, suit une loi de Bernoulli de paramètre 5
Q27. Pour n > 0, donner la loi de Z, = Y, + --- + Y, et exprimer S, en fonction
de Z,.
Q28. On suppose que n = 2m avec m EUR N. Déduire de la question précédente que :
2m\ |
P2m --
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Partie II - Fonction génératrice de la suite (p,),eN
On note À, le rayon de convergence de la série entière > phx" et f la somme de
cette série entière sur
n>0
son intervalle de convergence.
Q29. Montrer que R, > 1.
Q30. Montrer que pour tout m EUR N°, on a :
Q31. Déterminer un nombre a EUR KR tel que f(x) = (1 -- ») pour toutxe]l-]I1,11.
Partie III - Loi de la variable aléatoire T
On note À, le rayon de convergence de la série entière > gx et g la somme de
cette série entière sur
n>0
son intervalle de convergence. Pour tout n EUR N, on considère également la
fonction g, : R -- R définie
par g,(x) = g,x" pour tout x EUR KR.
Q32. Calculer g; et q».
Q33. Montrer que la série > gh converge normalement sur [--1, 1]. En déduire
que R, > I.
n>0
Dans la suite, on admet la relation :
Vne N', Pn -- D Piqn-t-
k=0
Q34. En utilisant un produit de Cauchy et la relation admise ci-dessus, montrer
que :
Vxe]--1,1f f()8@) = f@ -- 1.
Q35. En déduire que g(x) = 1 -- VI -- x? pour tout x EUR] -- 1, 1[, puis
calculer le développement en série
entière de la fonction x + 1 -- V1 -- x° en précisant son rayon de convergence.
Q36. En déduire une expression de q, pour tout n EUR N°.
Q37. En utilisant Q33 et Q35, déterminer la valeur de P(T = +co). Interpréter
le résultat.
Q38. La variable aléatoire T admet-elle une espérance ?
FIN
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