CCINP Maths 1 PC 2011

SESSION 2011 PCM1002

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites
Les parties I, II et III sont indépendantes.

Notations et définitions

Soit 73 = R2 le plan muni du produit scalaire canonique et du repère orthonormé 
R = (0, i, j)
avec O = (O, 0), i = (1,0) et j = (O, 1). La norme associée au produit scalaire 
canonique sera

notée H-H2 si bien que pour tout (æ,y) EUR R2, Hoe - i + y -jH2 = \/æ2 + y2.
Pour a et 19 deux réels donnés, on définit Da,b la droite d'équation dans R : y 
= au + b.

Si M EUR 73 a pour coordonnées (oe, y) dans R, on note pa,b(M) l'unique point 
de Da,b ayant,
dans R, la même abscisse oe que M.

On définit aussi D'a7b la droite d'équation dans R : oe = ay + b, et p'aÿb(M ) 
l'unique point de

D'a'b ayant, dans R, la même ordonnée y que M.

PARTIE I : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS UN CAS PARTICULIER

Soient A, B et C les trois points de 73 dont les coordonnées dans R sont 
respectivement :
(O, O), (O, 1) et (o, %) où oz désigne un réel non nul.

On définit deux applications f0 et f1 de R2 dans R en posant : pour tout (a, 
I)) E R2,

_ ) 2 ) 2 , 2
fo(a, b) = pa,b(A)A|)2 + |pa,b(B)B(|2 + | pa,b(0)c||2,
_), 2 _), 2 _), 2
f+ = pa,b(A)A|)2 + pa,b(B>B(|2 + pa,b(0)c||2.

1/6

1.1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.

1.2. 1 2
I.2.a. Montrer que f0(CL, b) = b2 + (b -- 1)2 + (aa + b -- î) .
, . 1 2 1 2 1
I.2.b. Vérifier que f0(CL, b) = aoz + b -- 5 + 2 b -- 5 + Ë'
1.2.0. En déduire que la fonction f0 admet un minimum sur R2 et que ce minimum 
est
atteint en un unique couple de réels (a, b) = (O, %) correspondant a la droite, 
notée Dg,
d'équation dans R : y = %.
1.3.
I.3.a. Déterminer l'expression explicite de f1(a, b) en fonction de a, b et oz.
2 1 2
I.3.b. Montrer que f1(a, b) = 3 (% + b -- %) + äa2 + äCY2.

1.3.0. En déduire que la fonction fl admet un minimum sur R2 et que ce minimum 
est
atteint en un unique couple de réels, noté (a1,b1), a déterminer. On note alors 
D1 la
droite d'équation dans R : oe = a1y + 191.

1.4. Montrer que DD et D1 sont orthogonales et se coupent en un unique point M 
EUR 73 qui est
l'isobarycentre de (A, B, C').

PARTIE II : RÉSULTATS SUR UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL

Soit E un espace préhilbertien réel non réduit a {0} et F un sous--espace 
vectoriel de dimension
finie de E. On note (--|) le produit scalaire sur E et H - H la norme associée 
a ce produit scalaire.

II.1. Donner la définition de F L. Énoncer (sans démonstration) une propriété 
vérifiée par F
et FL valable en général. Dans le cas où E est de dimension finie, que peut--on 
dire de plus ?

Pour X E E, on note pF(X) la projection orthogonale de X sur F.

11.2. Démontrer que injf HX -- ZH est bien défini et que cette borne inférieure 
est atteinte en un
ZE

unique élément z de F défini par z = pF(X).

Cette borne inférieure est notée d(X, F). On a donc d(X, F) = HX -- pF(X)H.
On dit qu'une application (X, y) |--> (X|y)F de E2 dans R est un produit 
subordonné à F
si elle vérifie les 4 propriétés suivantes :

i) VX E E, l'application y l--> (X|y)F est une forme linéaire sur E ;
ii) V(X7Y) EUR E27 (XIY)F : (YIX)F;
iii) VXEE,VyEF, (X|y)F=O;
iv) VX EUR FL, Vy EUR FL, (X|y)F = (X|y).

II.3.

II.3.a. Montrer que si (X, y) l--> (X|y)F est un produit subordonné a F, alors

. V(X7Y) EE27 (XIY)F= (X_ pFX( )ly_ pF(Y))?
- VX E E, (X|X)F = (d(X, 1F2°))
oVXEE, (X|X)p20,
OVXEE, (XIX)F=O (=> XEF.

II.3.b. Vérifier qu'il existe un unique produit subordonné a F. 2/6

On note alors (--|)F ce produit subordonné a F et pour X E E, on pose HXHF = 
\/(XlX)p.

II.4. Montrer que pour tout (X,y) EUR E2, |(X|y)F| S HXHF - HYHF ; a quelle 
condition sur X et
y peut--on dire que : |(X|y)F| = HXHF - Hpr ?
II.5.

II.5.a. Montrer l'existence d'un élément de E, noté u, tel que HuH = 1.

On note alors D = Vect(u) la droite vectorielle engendrée par u et pp la 
projection
orthogonale sur D.

II.5.b. Vérifier que pour tout X E E, pp (X) = (X|u)u.

Pour tout élément X E E, on pose mx = (X|u), 0X = HXHD.

Pour tout couple (X, y) EUR E2, on pose cov(x,y) = (X|y)D.

II.5.C. Montrer que ax = HX -- mqu et que cov(x,y) = (X|y) -- mxmy.

On suppose dans la suite de cette partie que X et y sont deux éléments de E 
tels que la famille
(u,x,y) soit libre.

II.6. Montrer que (IX et ay sont deux réels strictement positifs.

-- mxu -- m u co X,
On pose alors X* = X--, y* = y_y et p = M.
ax ay 0X0y
II.7.
II.7.a. Montrer que mx* = O, que 0X* = 1 et que ,a E] -- 1,1[.
II.7.b. Vérifier alors que (u, X*) est une base orthonormale de F = Vect(u, X).

II.7.e. Montrer que inf HY -- CLX -- buH est bien défini et vaut d(y, F).
(a,b)E 2

II.7.d. Établir que inf Hy -- CLX -- buH = Hy -- myu -- (y|X*)X*H.
(a,b)E 2

II.7.e. Vérifier que inf 2 Hy -- ax -- buH = ayHy* -- pX*H.
(a,b)E

II.7.f. Déterminer, en fonction de X, y et u, l'unique couple de réels (ag, bo) 
tel que :

inf 2 HY -- aX -- buH = HY -- CLOX -- b0uH.
(a,b)ER

Dans le plan 73, on définit DO comme étant la droite dont l'équation dans R est 
: y = a0oe + (90.

-- m oe -- m
II.8. Montrer que DO a pour équation dans R : y--y = p- X.

II.9. Montrer de même qu'il existe un unique couple de réels (a1,b1) tel que :

inf 2 HX -- ay -- buH = HX -- a1y -- b1uH.
(a,b)E

Dans le plan 73, on définit D1 comme étant la droite dont l'équation dans R est 
: oe = @@ + (91.

$ -- m -- m
11.10. Montrer que D1 a pour équation dans R : X = p- y " avec le même réel p
ax ay

défini précédemment. 3/6

11.11. Vérifier que D0 et D1 se coupent en un unique point M EUR 73 de 
coordonnées dans R :
(mx, my).

11.12. Montrer que les droites D0 et D1 sont orthogonales si et seulement si 
(X|y) = mxmy.

PARTIE III : BASE ADAPTEE À UN PRODUIT SOALAIRE DANS UN ESPACE
EUOLIDIEN

Soit En un espace euclidien de dimension n avec n > 1.
On note (--|) le produit scalaire sur En et H - H la norme associée a ce 
produit scalaire.

Soit B = (el, . . . ,en) une base de En. Pour tout élément z E E... on notera 
M3(Z) la matrice

de z dans la base B , et on posera Z = M3(Z). Ainsi Z est la matrice--colonne a 
n lignes donnée
21 n

par la relation Z = 3 EUR Mn,1(lR) si z = 2 z.-e.-.

Zn z=1

111.1. Vérifier que pour tout (X,y) EUR Eä, (X|y) = "XSY si X = M3(X), Y = 
Mg(ÿ) et
S = (