CCINP Physique MP 2022

SESSION 2022 MP5P

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. -_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est composé de quatre parties et d'un document en fin d'énoncé. Les données nécessaires sont regroupées en début de sujet. 1/14 Rayonnement, réaction de rayonnement et décalage de Lamb L''atome d'hydrogène est un des systèmes physiques les mieux connus en tenant compte des corrections relativistes et des corrections liées à la théorie quantique des champs. Le décryptage des propriétés d'émission ou d'absorption de l'atome d'hydrogène a constitué un examen de passage pour la théorie quantique. Dans ce sujet, nous en évoquerons une étape clé qui est le mythique décalage de Lamb. Willis Eugene Lamb fut le découvreur, avec son étudiant Robert Retherford, du décalage de Lamb (ou Lamb-shift) en 1947. Ce décalage est un exemple de l'impact des particules virtuelles en physique fondamentale. || s'agit d'un très faible écart entre deux niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène qui trouve son origine dans l'interaction entre le seul électron de cet atome et les photons virtuels qui apparaissent et disparaissent en permanence dans le vide qui l'entoure. Ses travaux lui ont valu le prix Nobel en 1955. Le décalage de Lamb a depuis joué un rôle important, à travers la Photographie extraite de validation des fluctuations de l'énergie du vide, dans la découverte du Reflet de la physique, rayonnement de S. Hawking émanant des trous noirs. n° 36, 2013 Le sujet, constitué de quatre parties, s'intéresse au rayonnement d'un électron, à la force dite réaction de rayonnement qui traduit l'interaction de la particule avec l'onde électromagnétique qu'il crée et à une de ses manifestations le " Lamb shift". Certaines redites de l'énoncé sont délibérées pour rendre les parties indépendantes, tout en introduisant un lien logique entre elles. La partie | sur le rayonnement du dipôle oscillant fait essentiellement appel à l'électromagnétisme. La partie Il sur la résonance de la puissance rayonnée fait essentiellement appel à la mécanique. La partie III sur l'étude de la courbe de résonance fait appel au programme d'Informatique Pour Tous. La partie IV sur le " Lamb-shift " fait essentiellement appel à la physique quantique. 2114 Données Constantes physiques Constante de Planck : h=6,62:10 *J.s Constante de Planck réduite : ñ = -- 105.10 % J.s IT Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00 108 ms" Permittivité du vide : £&, = 8,85: 10 2F.m° Perméabilité du vide : 49 =47-10/H:m! Relation entre ces trois constantes : EnloC° = Charge élémentaire de l'électron : e=1,60.107!° C Masse de l'électron : m, =9,10-10 °kg Énergie au repos de l'électron : m,c* =511keV Rayon de Bohr : a, =5,29-10 'Tm 2 Constante de structure fine : & = EUR .: L 2E)hC 137 22 m,c°a Constante de Rydberg énergétique : À, = = 13,6 eV Valeur : [ (sin) du = 4/3 0 Notation : des crochets () indiquent les valeurs moyennes temporelles : par exemple, 1 _ 2 UT (cos(wt)) =0 et (cos (at)) =. Informations Nomenclature des premiers états d'énergie applicable à l'atome d'hydrogène dans l'ordre du remplissage selon la règle de Klechkowski : 15, 25, 2p, 35, 3p, 4s, 3d, 4p. La notation s correspond à la valeur / = O0, la notation p correspond à / = 1 et la notation d à / = 2. Dans le modèle semi-classique de Bohr, le rayon de l'orbite circulaire de l'électron autour du noyau , 13,6 R C d'un niveau fs vaut Fr, = n'&, l'énergie vaut &, = --- eV - + et sa vitesse vaut V=a--. n n n Spectre électromagnétique Fréquence (Hz) 104 10 109 10/0 10/2 1014 10/6 10/8 1020 1072 1024 | 1 l 1 | | | | 1 | Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î 1 Microonde Lumière visible Rayons X : < - > +  --7 < >
Radio Infrarouge Ultraviolet Rayons gamma
| 1 1 1 | | 1 1 ]
Î Î Î Î | | Î Î Î Î
104 10? 10° 10? 104 10% 10% 10 10/2 10 4 1o té

Longueur d'onde divisée par 3 (m)

3/14
Partie | - Rayonnement par un dipôle oscillant

On rappelle qu'un dipôle oscillant, constitué d'une PA /
charge fixe +e au point O et d'un électron mobile au ,° S ,"

point P animé d'un mouvement forcé sur Oz, tel que ,* Se
OP =dcos(wt)e,, est caractérisé par son vecteur

moment dipolaire p{t)=-eOP(t).
Le champ électrique " lointain " créé par ce dipôle, |
en un point M" très éloigné "repéré en coordonnées /

sphériques (r = OM, 6,6) (figure 1), est donné par :
_ 2 sin(@ --_
E = ed ( 2cos[ oft- Le, (1)

C

AreC" r

\
Y

Figure 1 - Coordonnées sphériques d'un point M

Q1. Préciser ce que signifie " très éloigné ".

Q2. Justifier par des considérations de symétrie la direction du champ 
magnétique.

_ edw sin(@ _
Q3. On donne l'expression du champ magnétique B - ee © ( Lcos| a -{) s;) 
Pourquoi
TC r C

dit-on que l'onde est localement plane ?

Q4. Écrire le vecteur de Poynting /7 associé à l'onde.
Q5. Calculer le flux de celui-ci à travers une sphère de centre O et de rayon 
rtrès grand.
Q6. En déduire quelle est l'énergie moyenne temporelle rayonnée par l'électron.

Q7. a) Montrer que la puissance moyenne, appelée puissance de Larmor P,, 
rayonnée par cet
électron oscillant, peut s'écrire P, =K, (77) en appelant > l'accélération de 
la particule

chargée et mobile.
b) Donner l'expression de la constante K, en fonction de c, e et de «&, et 
indiquer sa

dimension, puis son unité.

4/14
Partie Il - Mise en évidence d'une résonance de puissance

L'interaction de l'électron, d'accélération y, avec le champ électromagnétique 
qu'il crée, peut être
_. A | LL , . -- dy
décrite par une force appliquée à la particule appelée réaction de rayonnement 
égale à ay = K, dr"

Q8. a) Donner la définition de la puissance instantanée F,,, associée à cette 
force.

b) Calculer la valeur moyenne sur une période de cette puissance, pour le 
mouvement forcé
d'un électron mobile placé au point P tel que OP = dcos(ot )e, .

Dans un premier temps, on considère que l'électron de masse m, est soumis à un 
ensemble de

2 forces : la force de réaction de rayonnement Foy = K, o et une force de 
rappel de type élastique

f

rappel = -- m,@$ OP. Le mouvement de l'électron se fait uniquement le long de 
Oz(OP(t) = z(t))

Q9. Écrire l'équation différentielle du mouvement z(t) de l'électron.

Q10. On cherche des solutions complexes sous la forme exp(iQt) avec i? =-1 et Q 
complexe.

hi parrotoont K
Ecrire l'équation liant Q,oe, et 7 = --<. me # ! " 1 On peut alors écrire Q = +w, +i--- avec 7,@, > 1.
T
0

" " 1 K #
Q11. Dans le cadre de cette approximation, on trouve -- = OfT = D --<.. Que représente le T m 0 e temps 7, ? Pour évaluer la" pulsation " &,, on peut supposer que cette force " élastique " modélise l'interaction entre le proton et l'électron, par exemple dans un modèle de Thomson. Dans cette modélisation, on considère la charge du proton +e uniformément répartie dans une boule sphérique de rayon égal au rayon de Bohr à. Q12. En utilisant le théorème de Gauss, qu'on énoncera, indiquer quel est le champ électrostatique auquel est soumis l'électron en P (OP < &) Q13. a) En déduire ce que vaut la pulsation &, définie par f,,,, = -M,@ OP. On l'exprimera en fonction de e,m, et de a, b) Évaluer numériquement la longueur d'onde associée. Commenter. Dans un second temps, on considère que l'électron de masse m, est soumis à un ensemble de 3 forces : la force de réaction de rayonnement Foy =K, D. la force de rappel de type élastique 5/14 f __ 21 7 " 7 " » r 7 rappel = = Me OP et une force électrostatique supplémentaire créée par un champ extérieur oscillant uniforme E;,, = E, cos(wt)e, . Le mouvement de l'électron se fait toujours uniquement sur Oz(OP = z(t)). Q14. a) Écrire l'équation du mouvement. b) En utilisant les notations complexes, déterminer la solution (t) " forcée " de pulsation «© -------- - imposée par le champ extérieur. Écrire l'accélération (t) de l'électron en fonction de o,,e,m,,7t etde E;. On rappelle que la partie réelle d'une grandeur complexe est la grandeur physique associée : 7(t)=Rely(t)} et z(f)=Re(z(t)). Q15. a) En admettant que la formule de la puissance de Larmor P, =K, (7-7) peut être utilisée, établir la puissance rayonnée P par l'électron. b) Que vaut la puissance notée F, pour w=«, ? Comment s'exprime la puissance P(w) pour © < «, et pour © > &@, ? Que vaut-elle pour w = 0 et pour « tendant vers 
l'infini ?

On observe donc un phénomène de résonance de la puissance P en fonction de la 
fréquence.
L'expression de la puissance P peut se mettre sous la forme P =P, g (oe)

Q16. On peut montrer que cette fonction g(æ) peut s'écrire au voisinage de © = 
«&, sous la forme
1

T
@$ _ o?
1 + 3
TO

a) En admettant que les pulsations de coupure haute et basse sont suffisamment 
proches de
«, pour que la forme approchée de g() convienne et que æ,r «1, en déduire la

approchée g{)=

pulsation de résonance, la largeur à mi-hauteur A et le facteur de qualité Q.
b) L'application numérique de la formule obtenue en Q7b donne K, =5,75.10 °* 
(SI) : que

valent la largeur de bande passante Aw et le facteur de qualité Q dans le 
domaine
optique ?

6/14
Partie Ill - Étude de la résonance (/nformatique Pour Tous)
Dans cette partie, on travaillera avec les valeurs de 7 = 6,3.10 #s et de w, 
=4,0:10!°rd.s"!.
1

@Ë -- ©?
140
TO

voisinage de la résonance, de telle sorte qu'on puisse visualiser la largeur à 
mi-hauteur. On
écrit en Python le programme suivant :

Q17. On cherche à tracer la courbe de la fonction g{w)=

: définie en Q16, au

import matplotlib.pyplot as plt

n 10000

a = 4*10**x15-10**%x8

b = 4*XI10*X*x*15+10*X%8

omega 0 = 4*IO**I5

tau = 6.3*10**x*(-24)

X = [a + (b-a)*k/(n-1) for k in range(n)] # valeurs réqulières
Y = [1/(1+((omega 0**2-x**x2)/(tau*omega 0**3))*%x2) for x in X]

pit.plot(X,

plt.xlimi(a,

plt.vlim(-1,
( Y
(

"b-'",linewidth=2)

pit.xlabel
pit.ylabel
pit.show)

a) Que représente la variable nommée " n " ?
b) Sur quelle plage de valeurs de « la fonction g() est-elle tracée si on 
utilise ce

programme ?
c) Peut-on visualiser la bande passante (telle que calculée à la Q16b) ?
d) Que contient la variable nommée " X " ?

Q18. On cherche également à déterminer les pulsations de coupure «, et &,. On 
les définit comme
les deux seules valeurs qui annulent une fonction supposée continue h(o)

On écrit en Python le programme suivant :
def dicho(f,a,b,epsilon = 10** (6) ):

1f f(a)*£(b)>0
return None

Uu = à
v = D
while abs(v-u) > 2*epsilon
wW = (u + v)/2
1f f(u)*£(w) <= 0 V = W else U = Ww return (u + v)/2 def (x): omega 0 = 4*IO**I5 7114 tau = 6.3*10**x*(-24) return (1/(1+((omega 0**2-x**2)/(tau*omega 0**3))*x2)-17/2) omega 0 = 4*IO**I5 m = 10**8 min = dicho(h, omega 0 - m , omega OÙ) max = dicho(h, omega 0 , omega 0 + m) a) Donner l'expression de la fonction h(w). b) Quel est le rôle des deux lignes du programme écrites ci-dessous ? 1f f(a)*£(b)>0
return None

c) L'exécution de ce programme conduit aux valeurs suivantes :

min = 3999999949218 750
max = 4000000050781250

Avec quelle précision cet algorithme dichotomique fournit-il ces résultats ?

d) Calculer la bande passante avec ces résultats. En déduire le facteur de 
qualité.

Q19. On peut chercher les racines d'une fonction en utilisant la méthode de 
Newton. On écrit le
programme Python suivant :

def qg{(x):
omega 0 = 4*IO**I5
tau = 6.3*10**(-24)
return (1/(1+((omega 0**2-x**2)/(tau*omega 0**3))*x2)-17/2)

def inconnue (x):
return expressionA

def methode newton(f, d, x, epsilon = 10**(6)) : # x : valeur de départ
dif = 2 * epsilon
while dif > epsilon
x1 = x --- f(x) / dx)
dif -- abs(xIl -- x)
expressionB
return x

omega 0 = 4*IO**I5

m = 10X*8
min = methode newton(g, inconnue, omega 0 - m)
max = methode newton(g, inconnue, omega 0 + m)

a) Dans la fonction nommée
1 d 1 7?

b) Remplacer " expressionA " par une instruction en Python.

c) Remplacer " expressionB " par une instruction en Python.

méthode newton()", que représente le paramètre nommé

8/14
Partie IV - Déplacement de Lamb des niveaux d'énergie de l'électron
dans l'atome d'Hydrogène

Q20. Écrire les expressions des champs électrique Æ et magnétique B, associés à 
une onde plane
progressive harmonique de pulsation w, Se propageant dans le vide dans la 
direction des x

croissants et dont le champ électrique est polarisé rectilignement selon e,.On 
notera E,
l'amplitude du champ électrique E eton exprimera en fonction de E; l'amplitude 
du champ

magnétique B. Quelles sont les densités d'énergie moyenne associée au champ E, 
au
champ B et au champ électromagnétique ?

On suppose que ces expressions sont valables dans la suite dans laquelle on 
effectue un calcul
semi-classique : les fluctuations dites quantiques du vide sont décrites par 
des champs électriques
(et magnétiques) oscillants à toutes les fréquences possibles. Le champ 
électrique fluctuant est à
valeur moyenne temporelle nulle et sa valeur quadratique moyenne est finie.

De plus, l'hypothèse quantique implique que les oscillateurs de pulsation & 
sont des oscillateurs
harmoniques d'énergie ñw/2 . On suppose que les champs sont confinés dans un 
espace de volume

V. On note ÔE l'amplitude d'une composante harmonique de pulsation © créée par 
les fluctuations
du champ électromagnétique.

Dans les questions suivantes de Q21 à Q23, on s'intéresse à une composante 
harmonique de
pulsation © et on suppose que toutes les grandeurs f qui dépendent du temps 
sont en régime forcé

de même pulsation. On écrira donc la relation, valable en ordre de grandeur, 
|--- = loef| et

f
dt

réciproquement.

Q21. L'énergie électromagnétique moyenne correspond à celle d'un oscillateur de 
pulsation ©. En
déduire l'expression de SE dans la boîte en fonction de V, ñ« et de &,.

Q22. Écrire le principe fondamental à un électron soumis uniquement au champ 
électrique. En
déduire que, pour les fluctuations de la vitesse de celui-ci, on peut écrire 
l'amplitude de la

vitesse ôv - @E En déduire ce que vaut le déplacement moyen noté GE, des niveaux

m,oe@

d'énergie cinétique d'un électron en fonction de EUR, ñ, w,m,,,#, et de V.

Q23. L'accélération 7 ainsi induite provoque une force de réaction de 
rayonnement égale à
2

_

----

e

4 panores M
. On admettra pour la suite l'égalité --= =K,..

ray 3

= K, dy avec la constante K, -
dt Grec To®

Montrer que la puissance moyenne Pay correspondante peut " équilibrer" GE, sur 
une durée

à comparer à 7% défini par l'égalité ci-dessus.
Q24. On introduira 2 fréquences de coupure w_ et «,, telles que: ñoe_--

E,;-E;|, pour la

transition entre 2 états d'énergie "interne" EË,; et E, de l'électron et ño, = 
m,c° à la limite

relativiste.

9/14
Donner l'expression finale de la fluctuation totale d'énergie 6E moyennée sur 
les

C,tot ?

fréquences de cette bande passante, en supposant que pour tout domaine entre 
«&, et w,,
2

6, to S'Écrit | GE, (wo)
4

©) -- W,

Q25. C'est cette fluctuation qui conduit au déplacement de type Lamb.
a) Comparer la pulsation de coupure haute w, et la pulsation de coupure basse w 
_ du niveau

2s en considérant que la transition d'énergie interne vaut 20R,. En déduire que 
la

2
. 4 . . 4 LT 1 1
fluctuation totale d'énergie GE... est sensiblement égale à 7 Lun g ]
| 2M,E)V ©, \10a

Le Rydberg énergétique À, et la constante de structure fine & sont définis dans 
les
données en début du sujet et leurs valeurs numériques sont indiquées.

b) On prendra ici comme volume utile : V =(4a, \ avec le rayon de Bohr a,. 
Exprimer la

fluctuation totale d'énergie GE, ,, sous la forme 6E h(constante). En quelle 
unité

ctot --
peut-on exprimer la constante "?
c) Commenter sachant que la valeur obtenue expérimentalement est d'environ 1 
058 MHz

pour le GE, ,, du niveau 2s de l'Hydrogène. Comment pourrait-on améliorer le 
modèle ?

L'évaluation proposée ci-dessus est en fait beaucoup trop approximative. Si on 
utilise la théorie
complète adéquate, on obtient bien 1 058 MHZ pour la fluctuation d'énergie du 
niveau 2s. On se
propose ici de se rapprocher de ce résultat théorique.

Il faut d'abord tenir compte de la densité des états dans le volume du cube des 
modes
électromagnétiques du vide, dont nous n'avions pas tenu compte en Q24 et Q25. 
Pour ne pas faire

du semi-classique, il faut utiliser la fonction d'onde stationnaire Y(r, 0,9) 
de l'électron (solution de
l'équation de Schrôdinger). Le fait que l'énergie ne dépende que du nombre 
quantique principal n
n'est pas remis en question dans les solutions de l'équation de Dirac qui 
remplace l'équation de
Schrôdinger en tenant compte du spin de l'électron et de la relativité 
restreinte. Donc, sans tenir
compte de l'électrodynamique quantique, les niveaux 2s et 2p sont de même 
énergie, faute de
fluctuations des champs. Inversement, tout se passe comme si les champs 
électromagnétiques
aléatoires poussaient l'électron plus loin du proton en moyenne, ce qui 
augmente son énergie.

À l'issue de calculs très complexes, on peut établir que la fluctuation 
d'énergie totale vaut alors :
ÔE

constantes fondamentales de la physique e,c,h,m, et &,.

otae = (expression)-[#' (r =0)° dans laquelle la partie (expression) ne dépend 
que de

Q26. On rappelle (figure 2) que les probabilités de présence de l'électron au 
centre ne sont non
nulles que pour les orbitales ns et nulles pour toutes les autres (qui ne sont 
pas à symétrie
sphérique). Les caractéristiques du modèle de Bohr sont indiquées dans les 
données en début
de sujet.

a) En déduire que le déplacement de Lamb ne concerne donc que les niveaux ns.

b) Le calcul complet de (expression)-|#,. (r = 0) en unités h donne la valeur 
1058 MHz.

Comparer cette énergie avec celle de la transition désexcitatrice qui fait 
passer l'électron
de 2p à 15.

c) L'électron 2s du modèle de Bohr est-il relativiste ? Pourquoi faudrait-il 
faire tout de même
une correction relativiste ?

d) La raie & du spectre de Lyman correspond au retour d'un état n =2 à l'état 
fondamental.
Quelle est la longueur d'onde et le domaine spectral du photon émis ?

10/14

Seuls les états s ont une probabilité
non nulle d'être à l'origine.

y (r,6,p)f de autour de r = 0 pour les 6 premières orbitales de

Figure 2 - Représentations

l'électron dans l'atome d'hydrogène

Q27. À cause de l'interaction entre le spin de l'électron et le champ 
magnétique du proton
(interaction spin-orbite) le niveau 2p est en fait constitué de deux états 
notés 2P42 et 2P3/2

dont la différence d'énergie vaut À = 4,5 .10 eV.
Quelle est la longueur d'onde et le domaine du photon émis quand l'électron 
passe de l'état
2P3/2 a l'état 2P42 ?

Quelle conséquence cet effet de structure fine aura-t-il sur la raie & du 
spectre de Lyman ?

En présence d'un champ magnétique Bex extérieur suffisamment intense, 
l'interaction entre le
dipôle magnétique de l'atome d'hydrogène L et le champ Bext modifie l'énergie 
de +uB,,, suivant

que le moment magnétique aligné sur les lignes de champ est de sens contraire 
ou de même sens
que le champ magnétique.
En conséquence, en présence d'un champ magnétique, en notant 4, le magnéton de 
Bohr :

- le niveau 2s,, va donner deux niveaux séparés de ZuLB,,;,

- le niveau 2P42 Va en fait donner 2 niveaux d'énergie séparés de 3 "BBext

- etle niveau 2P32 va donner 4 niveaux séparés de + HeBox . Cet effet s'appelle 
l'effet Zeeman.

Q28. Sur la figure 3, le schéma des niveaux successifs d'énergie du modèle de 
Bohr est représenté
sans que les échelles soient respectées par commodité de représentation. Après 
avoir recopié
la figure 3 sur sa copie, le candidat devra remplacer chaque "" ? " soit par un 
nom d'orbitale,
soit par la longueur d'onde émise quand l'électron passe du niveau supérieur au 
niveau
inférieur, soit par le nom du domaine de rayonnement associé.

11/14

Orbitales ? 7

2=7?

10,2 ev Domaine ?

| Orbitale 1s nes

Figure 3 - Modèle de Bohr

Q29. Sur la figure 4, le schéma des niveaux successifs d'énergie, obtenus par 
l'équation de Dirac
en tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté 
sans que les
échelles soient respectées par commodité de représentation. Après avoir recopié 
la figure 4
Sur Sa copie, le candidat devra remplacer chaque " ? " soit par un nom 
d'orbitale, soit par une
longueur d'onde émise quand l'électron passe du niveau supérieur au niveau 
inférieur, soit par
le nom du domaine de rayonnement associé.

Orbitale 2pa2 M

À= 7?
4,5 : 10° eV Domaine ?
: te ? À ? Orbitale ?
mer ---- --
| mms Orbitale ? --

Figure 4 - Niveaux n = 2 sans présence de champ magnétique

Q30. En figure 5, le schéma des niveaux successifs d'énergie, obtenus par 
l'équation de Dirac en
tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté (sans 
que les
échelles soient respectées par commodité de représentation) en présence d'un 
champ
magnétique B,,, qui engendre un effet Zeeman. Sur cette figure 5, on a 
représenté deux

différences de niveau d'énergie entre deux flèches (en gros pointillés). Le 
candidat les
exprimera en fonction du décalage Lamb noté ÔE de la quantité 4,B.,, et de 
l'énergie

de structure fine notée A.

totale

12/14

Avec champ
Sans champ magnétique
magnétique

Orbitale Te
2p3/2 EE

[

[

[

[

Ï

Orbitale ? |
Orbitale ? TT Le -

Figure 5 - Déplacements par champ magnétique

Q31. Le document en fin de sujet présente l'expérience historique de 1947.
Pourquoi les expérimentateurs ont-ils utilisé un champ magnétique ? Pourquoi 
ont-ils introduit

un champ électromagnétique micro-ondes ? Quels paramètres font-ils varier ? 
Pourquoi le
détecteur mesure-t-il une intensité de courant ?

Q32. On revient au modèle semi-classique du modèle de Bohr dans lequel 
l'électron décrit une
orbite circulaire de rayon » autour du noyau. On exprimera les réponses en 
fonction de

e, p, & etde m,.

a) Que vaut l'accélération de l'électron ?
b) Que vaut l'énergie potentielle ? Que vaut l'énergie cinétique ? Que vaut 
l'énergie ?

Un traitement semi-classique de l'atome d'hydrogène permet une approche 
énergétique de la
modification du rayon en écrivant un bilan de la forme :

Ki _e 1} df-e 1
°lAreom, p2) dt\8xre p})
Q33. a) interpréter ce bilan.

b) En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit p(t).

c) Établir le temps de retour At pour un électron d'un état excité sur une 
orbite de rayon
Ph = n'a à un état moins excité sur une orbite de rayon p, ; =(n- 1 &o:

d) Application : évaluer le temps de désexcitation d'un niveau 2 au niveau 1. 
Comparer à la
valeur indiquée dans le document.

13/14

Document - L'expérience de 1947

Champ magnétique Émission
Atomes Atomes |} champ électrique Atomes | d'électrons
d'hydrogène # d'hydrogène radiofréquence d'hydrogène Auger

(2)
État |

/ / Transitions |
Etat Etat 25, --2p Détecteur
Four 1, 25,, 12 12 s» Feuill
25,,--2p,, euille

de tungstène

Durée de vie de 2p,,, et 2p., &10°s

Faisceau -- Les atomes se désexcitent rapidement vers 15,
d'électrons et ne peuvent pas éjecter d'électrons de tungstène.

1. Schéma de l'expérience de Lamb et Retherford. Les atomes d'hydrogène, 
obtenus par
dissociation thermique de H, sont préparés dans l'état 1512, puis excités dans 
l'état métastable 2s:2
par un faisceau d'électrons. L'application d'un champ magnétique lève la 
dégénérescence des
niveaux par effet Zeeman, et un champ radiofréquence de fréquence adaptée 
induit des transitions
à partir de l'état 2s:2 vers les états 2p12 et 2p32. Après avoir traversé la 
région où règne le
rayonnement électromagnétique, les atomes d'hydrogène métastables 2s:2 entrent 
en collision avec
une cible de tungstène. Des électrons de la cible sont éjectés et recueillis 
par un détecteur. Les
atomes se trouvant dans les états 2p12 et 2p32 ayant une durée de vie très 
courte (--- 10° s), se
désexcitent très rapidement (avant d'atteindre la feuille de tungstène) vers 
l'état fondamental 1s:2
et ne peuvent pas éjecter des électrons de tungstène, d'où une baisse de 
courant dans le détecteur
observée à la résonance quand on fait varier la fréquence ou le champ 
magnétique. La variation
mesurée par Lamb et Retherford était de l'ordre de 10° ampères !

Effet Zeeman (champ magnétique)

m = 3/2
| m = 1/2

Transitions 2p,, -- 2p,, 2p,, |
4,5 10° eV sr m = -1/2

-- m-3/2

Lamb shift Transitions micro-ondes

4,372 10*eV

= 1058 MHZ a
bn m me 2 -- m-12
E 25, -------- m=-1/2 2P,; nn: es m = -1/2

2. C'est l'excitation de la transition entre sous-niveaux Zeeman de 2s:2 et de 
(2p12, 2p32) qui a
permis à Lamb et Retherford, grâce aux formules de l'effet Zeeman, d'accéder au 
décalage en
énergie de 2s12 (on connaît exactement la position relative d'un sous-niveau 
Zeeman par rapport à

son niveau « parent »).
Source : Reflets de la physique n° 36, 2013

FIN
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