ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2020
MARDI 21 AVRIL 2020 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 3
MATHEMATIQUES B
(X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Les trois parties sont indépendantes.
Notations
Dans tout le sujet, (Q,.7, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront
définies les
différentes variables aléatoires. On notera P[A] la probabilité d'un événement
À EUR Q et EÏX]
l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.7, P) à valeurs réelles.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :
Si Y1,...,Y, sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement
indépendantes et
intégrables, alors
EM :.-Yh] = EM]... EfY,|.
On note log la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose log 0 =
--0co.
Première partie
Soit n > 1 un entier naturel, et soient (X1,..., X,) des variables aléatoires
réelles discrètes
mutuellement indépendantes telles que, pour tout k EUR {1,...,n},
PIX% = 1] = P[Xz = -1] = =.
On définit
1 mm
Sn = --
5x
k=1
ainsi que, pour tout À EUR R.
(À) = log Ge + je) |
1. Soit Z une variable aléatoire réelle discrète telle que exp(AZ) est
d'espérance finie pour
tout À > 0. Montrer que pour tout À>0ettEeR.
PIZ > | < exp(--M)Elexp(AZ)|. 2. Montrer que P[S, > 0] >
NI
3. Montrer que pour toutt{tER.ona
1
-- log P n À < inf HE ' 7 108 PlSn 2 #1 < inf (W(A) -- At) Pour chaque À > 0, on pose
EL EX; exp(AX:)]
mA) = Elexp{\X:)] *
ainsi que
Dh) = exp (AnSn -- n#(À)).
4. Montrer que la fonction m est strictement croissante sur R., et que pour
tout t EUR [0,1{,
il existe un unique À > 0 tel que m{(A) = t.
5a. Pour n 2 2 et À > Ü, montrer que
EX -- m(A))(X2 -- m(N)D, (À) = 0:
5b. En déduire que, pour n > 1 et À > O,
Ej(S, -- MN) DA(N] < Pour tous n Zz1, À >0ete > 0, on note 1,(À,EUR) la variable aléatoire définie
par
1 sil -mi\l EfL,(À,E)exp(An(S, -- m(À) -- EEUR)|,
7. Montrer que
ELA ED (N > 1-- -
8a. En déduire, pour chaque À > 0 et EUR > 0, l'existence d'une suite
(uh(EUR))n>1 qui tend
vers 0 quand n tend vers l'infini et telle que
1
-- log PIS, > m(À) -- EUR] > (A) -- Am(A) -- À +u,(E).
n
8b. Conclure que pour tout t EUR [0,1/,
lim Log PIS, > #] = inf (W(À) -- M).
n--+0o n X>0
8c. La formule précédente est-elle encore valide pour t = 1 ?
Deuxième partie
On admet l'identité
| | exp (2?) de = VF.
Soient a < b deux réels et f : [a,b] -- R une fonction infiniment dérivable. Appelons (H) l'hypothèse suivante : il existe un unique point +9 EUR [a, b] où f atteint son maximum, on a a < x0 < b, et f""(xo) É 0. 9. Montrer que sous l'hypothèse (H), on a f"(x0) < 0. 10. Sous l'hypothèse (H), montrer que pour tout à > 0 tel que Ô < min(xo -- a, b -- +0), on a l'équivalent, quand { -- +co, b To+Ô | ef) Ar « | etf(x) qx. a To --ÙÔ 11. Sous l'hypothèse (H), montrer l'équivalent, quand t -- +oo, b 27T eti@) qe à etf@o) [27 l t|f"(xo)| 12a. Montrer que pour tout entier nEN,ona +oo n! -- | e't'dt. 0 12b. En utilisant les résultats précédents, retrouver la formule de Stirling donnant un équivalent asymptotique de n!. Troisième partie 13. Montrer que a--+oo lim | |sin(x*)| dx = +00. 0 14. Montrer que pour tout a EUR KR, a ) +00 ar t3 sin(x") dx -- --1)" fe snedr = LOT 15. Montrer que les limites a a lim sin(x")dæ et lim cos(x°) dx a--+ +00 0 a--++00 0 existent et sont finies. On admet les identités : a a [9 lim sin(x*) de -- lim cos(x?) dr -- NT. A-- +00 0 a--+Oo0 0 À 16. Montrer qu'il existe des nombres réels c,c' EUR R tels que, pour a -- +, on a ® V2 / 1 | sin(x°) dx -- ---- JL = cos (4?) + = sin(a?) + © (a) On admettra qu'il existe des nombres réels d, d' EUR R tels que, pour a -- +co, on a a / ) 27 dd. ,, d ) 1 cos(x") dt = ---- + --sin(a -- COS(a OT -- }. [cote ar = VE + Pain(a?) + É cos(a?) + 0 (4 À partir de maintenant et jusqu'à la fin de l'énoncé, f désigne une fonction infiniment dérivable de [0,1] dans R. On suppose qu'il existe un unique point x9 EUR [0,1[ où f' s'annule. On suppose également que f"(x0) > 0. On se donne également une fonction g :
[0,1] -- R
infiniment dérivable.
17. Montrer qu'on a, pour t -- +oo,
1
f g(x) sin(tf(x)) dx = g(xo) | sin(tf(x)) dx + O G)
0 TO
Pour tout x EUR [10,1], on définit
hx) = V1f(x) -- f(xo)|.
18a. Montrer que la fonction h définit une bijection de [x0, 1] sur [0,A(1)|.
18b. Montrer que l'application À est dérivable en x9 à droite, et que h'(x0) --
Po),
On admet que la bijection
T
hi to, 1 ? 0, A(1)]
nm
admet une application réciproque ht : [0,h(1)] -- [xo, 1] qui est infiniment
dérivable.
19. Montrer que, pour t -- +0,
[ sin(éf(x)) dx = sin (Lf(xo) + 1) HG) +0 () |
0
20. On suppose que x9 EUR ]0,1]. Montrer que, pour t --+ +,
[ g(x)sin(£f(x)) dr = g(ao) sin (£f(0) + T) es +0 () |
