X Maths B MP 2018

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Samedi 5 mai 2018, 9h00 ­ 13h00

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Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux 
entiers naturels
distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter 
les notations
de l'énoncé.
On désigne par Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de 
degré inférieur ou égal à n.
Le sous-espace de Rn [X] formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant P 
(-X) = P (X)) est noté n , et
celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant P (-X) = -P (X)) est noté 
Jn .
On définit l'ensemble AN formé des P  RN [X], tels que P (-1) = P (1) = 1, qui 
satisfont de plus
P (x) > 0 pour tout x dans l'intervalle [-1, 1]. On définit sur RN [X] une 
forme linéaire L par
L(P ) =

Z

1

P (x) dx.
-1

L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure aN sur le sous-ensemble 
AN :
aN = inf{L(P ) | P  AN }.

Questions préliminaires
1. (a) Vérifier que AN est une partie convexe de RN [X].
(b) Montrer que l'expression
kP k1 =

Z

1

|P (x)| dx
-1

définit une norme sur RN [X].
(c) Montrer que AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ).
2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur AN est atteinte.
Dans la suite, on notera BN l'ensemble des P  AN tels que L(P ) = aN .
(b) Montrer que BN est une partie convexe compacte.
(c) Vérifier que BN contient un polynôme pair.

Première Partie
On munit Rn [X] du produit scalaire défini par
hP, Qi =

Z

1

P (x)Q(x) dx,
-1

et de la norme associée
kP k2 =

p
hP, P i

(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une 
norme).
Pour j  N, on définit le polynôme
Pj (X) =

1
dj  2
(X - 1)j .
j
j! dX

2j

Par convention, P0 = 1.

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3. (a) Quel est le degré de Pj ?
(b) Montrer que Pj est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j.
(c) Montrer que Pj (1) = 1 et Pj (-1) = (-1)j .
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille (Pj )06j6n est 
orthogonale dans Rn [X].
5. On note
gj =

Z

1

Pj (x)2 dx,

Ij =

-1

Z

1

(1 - x2 )j dx.
-1

(a) Établir une relation entre gj et Ij .
(b) Trouver une relation entre Ij et Ij-1 - Ij , et en déduire une relation de 
récurrence pour la suite
(Ij )jN .
(c) En déduire la valeur de Ij , puis celle de gj .
6. (a) Montrer que la famille (Pj )06j6n est une base de Rn [X].
(b) En déduire que la famille (P2j )06j6 n2 est une base de n , tandis que la 
famille (P2j+1 )06j6 n-1 est
2
une base de Jn .

Deuxième Partie
On choisit un polynôme pair dans BN (voir la question 2.c), et on le note RN .
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers r, s, t > 0, des nombres réels c1 , 
. . . , cr différents de ±1, des réels
non nuls 1 , . . . , s et des nombres complexes w1 , . . . , wt qui ne sont ni 
réels ni imaginaires purs, tels que
RN (X) =

s
t
r
Y
X 2 - c2j Y
X 2 + 2k Y X 2 - w2 X 2 - w 2
·
.
1 - c2j
1 + 2k
1 - w2
1 - w 2
j=1
k=1
=1

8. On décide de remplacer tous les k par des zéros. On remplace donc les 
facteurs correspondants de RN ,
X 2 + 2k
,
1 + 2k
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme SN de même degré 
que RN .
Montrer que 0 6 SN (x) 6 RN (x) pour tout x  [-1, 1], puis que SN  BN .
9. De même, dans la liste des cj , on décide de remplacer ceux qui 
n'appartiennent pas à [-1, 1] par des
zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de SN ,
X 2 - c2j
,
1 - c2j
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme TN .
Montrer que 0 6 TN (x) 6 SN (x) pour tout x  [-1, 1], puis que TN  BN .
10. Soit w  C un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur.

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(a) Montrer que l'équation
z-1
w-1
=
z+1
w+1
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que 
l'intervalle ] - 1, 1[ coupe ce
cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du 
nombre
=

w-1
.
w+1

(b) Montrer l'inégalité
1-w
> 1.
1-y
(c) Montrer que l'équation
1-w
z-w
=
z-y
1-y
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1.
En déduire que, pour tout x  [-1, 1] \ {y}, on a
w-x
w-1
w+1
>
=
.
y-x
y-1
y+1
11. Conclure que RN a toutes ses racines dans l'intervalle [-1, 1].

Troisième Partie
On note n la partie entière de

N
2.

On poursuit l'étude du polynôme RN .

12. Montrer que deg RN = 2n.
13. Montrer que RN est le carré d'un polynôme : RN (X) = UN (X)2 où UN (1) = 1 
et UN (-1) = ±1. Que
peut-on dire de la parité de UN ?
14. On suppose dans cette question que UN est pair ; on a donc UN  n . Dans n , 
l'équation P (1) = 1
définit un sous-espace affine noté Hn .
(a) Montrer que
kUN k2 = min{kP k2 | P  Hn }.
(b) En déduire qu'il existe un nombre réel µ tel que pour tout entier 0 6 j 6 
n2 , on a hUN , P2j i = µ.
(On pourra considérer des polynômes P  Hn de la forme UN + t(P2j - P2k ) avec t 
 R.)
(c) Exprimer UN dans la base des P2j . En déduire que
X 1
1
.
=
µ
n g2j
06j6 2

(d) Établir dans ce cas la formule

aN = 

X

06j6 n
2

-1

1 
g2j

.

15. On suppose maintenant que UN est impair. Exprimer encore aN en fonction des 
g .
16. Discuter, en fonction de la parité de n, la valeur de aN . On en donnera la 
valeur explicite.
17. Donner la formule explicite de RN , en fonction des polynômes Pj .

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