X Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Principaux outils utilisés comparaisons de suites, séries numériques, polynômes
Mots clefs transformation d'Euler, séries, accélération de la convergence, suites complètement monotones
suites-et-siries-numiriques

Corrigé

 : 👈 gratuite pour tous les corrigés si tu crées un compte
👈 l'accès aux indications de tous les corrigés ne coûte que 5 € ⬅ clique ici
👈 gratuite pour tous les corrigés si tu crées un compte
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Dans ce problème, R désigne l'ensemble des réels, R+ est l'ensemble des réels 
positifs et R+
l'ensemble des réels strictement positifs. La notation N désigne l'ensemble des 
entiers naturels
et N l'ensemble des entiers naturels non nuls.
On note E l'espace vectoriel des suites réelles. On note u = (un )nN une suite 
réelle de terme
général un . On considère l'endomorphisme  de E qui à toute suite u = (un )nN 
associe la suite
de terme général (u)n = un+1 - un , n  N.
On pose, pour k et n dans N,
Ç å

n
k

Ç å

n
k

=

n!
si n  k. On convient que 0! = 1 et que
k!(n - k)!

= 0 si k > n.

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si 
cela n'est pas
explicitement demandé.
Première partie : suites complètement monotones
Pour tout p  N , on note p le p-ième itéré de  défini par p =   p-1 , et par
convention, 0 est l'identité de E.
On dit qu'une suite (un )nN est complètement monotone si pour tous entiers 
naturels p et n
on a
(-1)p (p u)n > 0.
1. Soit f une fonction sur R+ à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On 
considère la
suite de terme général un = f (n).

1

1a. Montrer que pour tout entier p  1 et tout entier n, il existe un réel x 
dans l'intervalle
]n, n + p[ tel que
(p u)n = f (p) (x).
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f (x + 1) 
- f (x) et la suite
de terme général vn = g(n).
1
. Montrer que (an )nN est complète1b. On considère la suite de terme général an 
=
n+1
ment monotone.
2a. Démontrer que pour tout p  1, on a
(p u)n =

p
X

(-1)p-k

k=0

Ç å

p
k

un+k .

2b. Soit b ]0, 1[. On considère la suite de terme général bn = bn . Calculer (p 
b)n pour tous
les entiers naturels n et p et en déduire que (bn )nN est complètement monotone.
Soit  une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. 
Jusqu'à la fin de
la première partie, on considère la suite de terme général un =

Z 1

tn (t) dt.

0

3a. Montrer que la série de terme général (-1)k uk converge et que
+
X

k

(-1) uk =

k=0

Z 1
(t)
0

1+t

dt.

3b. Montrer que la suite (un )nN est complètement monotone.
3c. Démontrer que
+
X

(-1)k uk =

k=0

X
1 +
2 p=0

Z 1Å
ã
1-t p
0

2

(t) dt.

3d. En déduire que l'on a
+
X

(-1)k uk =

k=0

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

4. Déduire des questions précédentes que
ln 2 =

5. On pose En =

n
1X
2 k=0

+
X

+
X
(-1)n
1
=
.
n+1
(p + 1)2p+1
n=0
p=0

Z 1Å
ã
1-t k
0

2

(t) dt.

2

5a. Montrer que
En =

n
X
(-1)p
p=0

5b. On pose S =

+
X

2p+1

(p u)0 .

(-1)k uk . Montrer que |S - En | 

k=0

S
.
2n+1

Deuxième partie : Transformée d'Euler
Dans cette partie, on se donne une suite (un )nN telle que la série de terme 
général (-1)n un
soit convergente, et l'on note S sa somme. On ne suppose aucune autre propriété 
particulière de cette suite (un )nN . Le but est de démontrer que
S=

+
X

(-1)k uk =

k=0

On dit que la série

X (-1)p

2p+1

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

(p u)0 est la transformée d'Euler de la série

X

(-1)k uk .

6a. Montrer que pour tout p  N, on a lim (p u)n = 0.
n

p
1 X p
rk = 0.
de limite nulle, on a lim p
p 2
k
k=0

Ç å

6b. Montrer que pour toute suite (rn )nN
7a. Montrer que pour tout n  N, on a
un =

Ç
+
X
p=0

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

7b. Montrer que pour tout p  N, on a
+
X
(-1)p p
(
u)
=
(-1)n
0
p+1
2
n=0

8a. On pose En =

n
X
(-1)p
p=0

2p+1

Ç

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

(p u)0 . Montrer que

En - S = -

1
2n+1

Ç
n+1
X
p=0

åÑ

n+1
p

8b. Conclure.

3

X

é

(-1)k uk

kp

.

Troisième partie : une amélioration de la méthode
Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction  continue
et positive
Z
1

sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général un =
on pose
S=

+
X

tn (t) dt et

0

(-1)k uk .

k=0

On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels (Pn )nN telle que 
pour tout n,
Pn (-1) 6= 0. Pour tout n  N, on pose
1
Tn =
Pn (-1)
9a. Montrer que S - Tn =

Z 1
0

9b. En déduire que |S - Tn | 

Z 1
Pn (-1) - Pn (t)

1+t

0

(t) dt.

Pn (t)
(t) dt.
Pn (-1)(1 + t)
SMn
où Mn = sup |Pn (t)|.
|Pn (-1)|
t[0,1]

10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - x)n 
. Donner une
majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - 2x)n 
. Donner
une majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
12a. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (Pn )nN 
vérifiant les conditions suivantes : pour tout n  N, pour tout t  R,
deg Pn = n,

Pn (sin2 t) = cos(2nt)

12b. Calculer Pn (-1) pour tout n  N.
12c. Donner une majoration explicite de |S - Tn |.
Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple
+
n
n
X
X
X
1
1
,S=
(-1)k uk , Sn =
(-1)k uk , En =
et
n+1
(k + 1)2k+1
k=0
k=0
k=0
Pn (-1) - Pn (t)
dt, où les Pn sont les polynômes de la question 12.
1+t

Dans cette partie, un =
1
Tn =
Pn (-1)

Z 1
0

13. Donner un équivalent de S - Sn et de S - En . Comparez la vitesse de 
convergence de Tn
avec celle de Sn et En . Donner un équivalent de S - Tn .

4