X Maths 2 MP 2003

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***
'I'rigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents

Notations. On désignera par K le corps des réels ou celui des complexes; pour 
tout entier
n > 1, on note M (n,K ) l'espace des matrices a n--lignes et n--colonnes à 
coefficients dans K
et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de K ". On note S O(n, R) le 
sous-ensemble de
M (n, R) formé des matrices orthogonales de déterminant 1.

La lettre E désignera toujours un K --espace vectoriel de dimension n > 1; L(E) 
désignera
l'ensemble des endomorphismes de E et GL(E ) désignera celui des endomorphismes 
inversibles.

On dit qu'une partie F de E est laissée stable par un endomorphisme T si l'on a 
T(F) C F.

On appelle commutant d'une partie X d'une algèbre Y l'ensemble des éléments de 
Y qui
commutent a tous les éléments de X.

Première partie

1. Soit A une matrice de M (n,R), diagonale avec coefficients diagonaux a1, . 
.. ,on; on
suppose qu'il existe deux indices i et j tels que ai # aj. Vérifier que si une 
matrice B commute
a A, on a b...-- = O.

2. Déterminer le commutant de SO(2, R) dans M (2, R).

3.a) Montrer que, si n > 3, le commutant de SO(n, R) dans M (n, R) est formé de 
matrices
diagonales.

b) Déterminer ce commutant.
Deuxième partie

Une partie W de L(E) sera dite irréductible si {0} et E sont les seuls 
sous--espaces vectoriels
de E laissés stables par tous les éléments de W.

4. Vérifier que, si E = R", n > 2, SO(n, R) est irréductible.

5. Vérifier que, si deux éléments A et B de L(E) commutent, tout sous--espace 
propre de
l'un deux est laissé stable par l'autre.

6. Montrer que, si K = C, le commutant d'une partie irréductible de L(E) est 
réduit aux
multiples scalaires de l'endomorphisme identité, id E.

7. Ce résultat subsiste--t-il lorsque K = R?
Troisième partie

Un élément A de L(E) est dit unipotent si A -- id E est nilpotent 
(c'est--à--dire s'il existe un
entier [EUR > 0 tel que (A -- idE)k = 0).

On se propose de démontrer que, si K = C et si G est un sous--groupe de GL(E) 
formé
d'éléments unipotents, E admet une base dans laquelle tous les éléments de G 
sont représentés
par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 
1.

8. Montrer que tout élément unipotent A est inversible, et déterminer la somme
Z (id E -- A)".

n20

9. Traiter le cas où n = 2 et où G est l'ensemble des puissances d'un élément 
go. Dans ce
cas, est--il nécessaire de supposer K = C ?

On suppose maintenant n > 1. On rappelle que K = C.

10. Vérifier que le sous--espace vectoriel W de L(E) engendré par G est une 
sous--algèbre de
L(E).

11. Calculer Tr (g ---- idE), Tr (g), Tr ((g -- idE)g') pour g,g' E G.
12. Supposant en outre G irréductible, montrer que G est réduit à id E, et 
préciser la valeur
de n. '

[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième 
partie : si
K = C et si W est une sous--algèbre de L(E), irréductible et contenant id E, 
alors W = L(E)].

13. Ne supposant plus G irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non 
nul a: de E tel
que g(oe) = :c pour tout 9 E G.

14. Conclure.
Quatrième part ie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. 
Procédant par
l'absurde, on suppose W # L(E).

On fixe une base (el, . .. ,en) de E et on identifie les éléments de L(E) a 
leurs matrices

représentatives dans cette base. Pour tout z' = 1, . . . ,n on désigne par
-- V.- l'ensemble des matrices A telles que a... = 0 si EUR # i;

-- L.- l'application de E dans V}; définie par
(Li(oe))k,EUR = 673,EUR 9% ;
---- P.; l'application de L(E) dans V.; définie par
(Pi(A))l--c,£ = 51,5 Ak,i --
Enfin on note (1) l'application linéaire de L(E) dans L(L(E)) définie par
(A), A E L(E) et OE(A)(Lz(oe)) = L.(A(oe)).
b) (A) 0 PL-- = R- o (A).
c) W n V.- est nul ou égal à Vi.

16. Construire un sous--espace vectoriel W' de L(E), supplémentaire de W et 
laissé stable
par tous les <Ï>(A), A EUR L(E).

On note 7r le projecteur de L(E) sur W parallèlement à W'; pour i,j = 1, . .. 
,n, on pose
A...- =L;10PjO7r0Li & L(E) .
17. Montrer que A...-- est un multiple scalaire de id E, que l'on notera &... 
id E.
18. Vérifier les égalités suivantes :
&) 7r(idE) = idE.

b) 2 L.)--(ei) = idE.

C) Pz(ldE) = Li(EURz')-
19. Déterminer a....

20. Conclure.