X Maths 1 MP 2006

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Étude des solutions d'une équation fonctionnelle

Ce problème a pour but l'étude des solutions de l'équation

f'(æ) = f WL") (Cv)

Où l'inconnue ]" est une fonction réelle dérivable d'une variable réelle et Où 
fy est un nombre réel
fixé non nul. On considérera aussi le système

fI(OE) : f(7oe) 7 f(0) : Oz (C7,a)

où 05 est un nombre réel fixé.

Première partie

Dans cette première partie, la variable a: varie dans R et on suppose ... < 1. 1. Résoudre le système (CWX) dans le cas Où v = 1. 2. Même question dans le cas Où fy : --1. n(n--l)/2 OE_n ' est absolument convergente pour tout n. +oo 3.a) Vérifier que la série entière OZ cy n=0 réel au et que sa somme est solution du système (07,04)- 3.b) En serait-il de même si l'on supposait |7l > 1 ?

4. Étant donné un nombre réel A > 07 on désigne par E A l'espace vectoriel des 
fonctions réelles

continues sur l'intervalle [--A,A] et on le munit de la norme || || définie par 
HgH : sup |g(oe)|.
' læ|<æ> = a + ]: g(vt)dt .

4.3) Vérifier que l'application TA est continue.

4.b)Vérifier qu'une fonction dérivable f sur R est solution de (07,05) si et 
seulement si, pour
tout A > 0, la restriction de f a [--A, A] est un point fixe de T A--

4.c) Vérifier que, pour tout entier n > 0, tout réel A > 0, tout a: E [--A, A] 
et tous g, h EUR EA,

n n n-- oe n
|OElg)(w) -- (TA h><æ)| < ... < 1WU--Hg -- hu . 4.d) Déterminer un entier n(A) > 0 tel que l'on ait, pour tous g, h EUR EA,
n:4 A
HTA( & -- TX' 'hH < ng -- hll avec une constante k < 1. 4.e) Démontrer l'unicité de la solution du système (Uma). 5. On pose, pour tout 32 réel, n! +00 1 233n n<æ> = z »yn/ ---- .
n=0

5.a) Déterminer la limite de f7(cc) lorsque 7 tend vers 0.

5.b) Montrer que la fonction (msn) +--> F (7,33) = f7(oe), définie maintenant 
sur l'ensemble
[--1, 1] >< R, est de classe C°°. 5.0) On suppose ici 7 > 0 et on s'intéresse à la fonction f7 restreinte à 
l'intervalle [--1,+oo[.
Déterminer son signe, son sens de variation et sa limite lorsque :E --+ +oo.

Deuxième partie

Notations. Etant donné une suite de nombres réels u où n arcourt l'ensemble Z 
on dira ue
TL) 7

la série E un est absolument convergente si les deux séries Ë un et E u_n le 
sont; dans ce
nEZ n20 n>0

cas on posera
Zw=Zw+Zwm

nEZ n20 n>0

Dans cette partie, on suppose 'y > 1 et on s'intéresse au système (Uma) où a: 
parcourt l'intervalle
] ---- oo, O].

6. Étant donné un nombre réel co, trouver des nombres réels e... n EUR Z, 
possédant les pro--
priétés suivantes :
(i) }: lcnlv" < +00 , Z lc...lv" < +oo, n>0 _ n>O

(ii) la série 2 en e'7nOE est absolument convergente pour tout a: E]---- oo, 
O], et sa somme g0(oe)

nez
est solution de (C7).

N .B. On ne demande pas de prouver l'unicité des en.

7. Déduire de la question 6 une solution de (C...) sur l'intervalle ]-- 00, O].

8. Que se passe--t--il si l'on suppose ac E [O, +oo[ au lieu de :c EUR]-- oo, 
O], et si l'on remplace la
série z cn 87% par la série 2 (:n e"'7noe, mais en conservant les conditions 
(i) ?
nEZ nEURZ

Troisième partie

Dans cette partie, on suppose fy > 1 et on note G7 l'espace vectoriel des 
solutions de (C.,)
définies sur l'intervalle ]O, +oo[. Pour tout p EUR Z, on pose [@ = [vp , 7p+1].

9. Vérifier que, si f E G,, on a
f(n) (:D) : 7kn--k(k+l)/2Jc(n--k) (7%)

pour tous entiers k et n tels que 0 { k < 77. et tout a: EUR]O, +oo[. Pour toute fonction f définie sur ]0, +oo[, on note f(p) la restriction de f a I (p). 10. Vérifier que l'application 'Il : G, --> 600 (I (O)) définie par \11( f ) : 
f(0) est injective.

11. Étant donné un élément g de C°°(I(O)), donner une condition nécessaire et 
suffisante,

portant sur les dérivées de g aux points 1 et fy, pour que g appartienne au 
sous--espace image
de \I!.

12. On se donne un élément f de G7 et on fait l'hypothèse que f (qi--P) est nul 
pour tout
entier p > 0. On se propose de démontrer que f est nulle.

12.a) Vérifier que, pour tout p > 0, on a
fÊÎ',,)(OE) = 7p(p_1'/2f(0)(vpoe) » 96 EUR Ï(--p)
et
f((ï)(fy_p) = 0 , pour tout [EUR < p . 12.b) Déterminer pour tout p > 0 un nombre réel qp tel que l'on ait, pour tout 
oe EUR I (_p) :

33

f(--p)(OE) = %] (îE -- t)p_1f(0)(Wpt) dt--

f7_P

[On pourra utiliser la formule de Taylor.]
' 1
12.c) Montrer que l'on a / (7 -- t)p_ f(0) (t) dt : 0 pour tout 19 > O.
1 ,

12.d) Oonclure.