Mines Maths 2 MP 2006

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. - '
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS-DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES '
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : (
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur 
d'énoncë il
7 7 7
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

Le but de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique fin
des racines de la dérivée du polynôme de degré n + 1,

Pn(X) =X(X--1)...(X --n),

lorsque n tend vers l'infini.
On notera cot la fonction définie sur ]0, 7r[ par

cos(oe)

cot (a:) : sin(oe) .

Cette fonction est une bijection de ]O, 7T[ sur R. On notera Arc cot sa fonction
réciproque. Pour tout réel a:, [a:] désignera la partie entière de :s. On 
rappelle
la formule de Stirling:

n! ... v27rn . (fi)" quand n ----> +00.
EUR

Les parties I ethI sont indépendantes.

1. Quelques propriétésdes racines de PÂ

1) Montrer que, pour tout n _>_ 1, PQ admet exactement une racine a:...k dans
chacun des intervalles ]k, k + 1[, pour k = O, . . . ,n -- 1.

Notons ozn,k : a:...k -- k 6 ]0,1[, la partie fractionnaire de :cn,k. '

2) Pour 77. > 1, en calculant les coefficients de degré n -- 1 et n de P,;,
- ' n---1 - n--l --
expr1mer Zk=0 :un, k, pms Zk=0 a...k en fonct10n de n.

3) En comparant Pn(X ) et Pn(n -- X), exprimer xn,n_1_k en fonction de
oe...;...pour toutn21,et pour toutk=0,....,n--l. *

4) Déterminer la valeur de an,k + an,n_1_k.

Le but des questions suivantes est de montrer que, n étant fixé, la suite
des a...k croît lorsque k croît de 0 a n --- 1.

5) Pour tout n 2 1, dresser, en fonction de la parité de n, le tableau de
variations de P.,,

On y fera apparaître les réels a:...k pour k = O, 1, . . . , n -- 1 ainsi que 
les
entiers O, 1, . . . ,n. On pourra s'inspirer du modèle de la figure 1.

6) En déduire le signe de (--1)""'"Pn(æn,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 1.

7) En utilisant la relation P,,(X ) = (X -- n)Pn__l(X ), déterminer le signe de
(--1)""kPâ(oen_l,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 2.

8) En déduire que pour k = O, 1, - -- ,n -- 2, on & oen__1,k > a:n,k.

9) En utilisant l'idendité P,,(X ) = X Pn_1(X --- 1), déterminer, en fonction
' de k et n, le signe de (--1)""'°P,Ç(1 + oen_1,k._1) pour k = 1, - --- ,n -- 1.

10) En déduire que pour k = 1, - --- ,n -- 1, on & a:...k > 1 + æn_1,k_1. '

11) Conclure.

II. Un développement asymptotique
Pour 3: E R, on considère la fonction h,, définie sur Rj_ par hæ(t) = tm"le--t.

12) Déterminer 8 = {a: EUR R | h,, est intégrable sur ]0, + oo[}.

Pour 3: EUR 8, on pose

13) Montrer que I' est strictement positive sur 8 .
14) Montrer que P est deux fois dérivable sur 8 .

15) Exprimer pour tout a: 6 8 , I'(oe + 1) en fonction de :r et I'(a:).

On admet que la fonction P satisfait, pour tout a: E]0,1[, la formule:

. 7r
. I'(oe) F(1 ---- a:) -- sin(m:) (A)
Désormais, on pose, pour tout :1: EUR 5,
["(CE)
. \Il(oe) - F(oe) .

16) Montrer que 'Il est strictement croissante.

17) Établir, que pour tout a: EUR EUR , _
_ _ . _ 4 1
\I/(cc +1) : OE'(oe) + --.

[C

Le but des questions suivantes est de montrer que, pour tout a: > O,

1

_----lnm =D.
a:+y

m----++oO

lim \Il(a:) + z
j=0

On pose pour tout a: > O,

$(OE) = OE(OE) --1n(OE)-

18) Montrer que la série de terme général (çb(n + 1) -- çz5(n)) converge.

19) Montrer que la suite (@(n), n 2 1) converge lorsque l'entier n tend vers
l'infini. Soit G sa limite.

20) Établir que l'on a aussi:

lim çb(oe) = o.

æ---++oo

21) Montrer que si C # 0,

+00

/æ çb(t) dt ... 0:13.
1

22) Montrer que C = O.

23) Conclure en considérant \I/(a: + m + 1).

III. Comportement asymptotique des an,k-

PI
24) En considérant la fraction É"--, montrer que
le 1 n--k--1 1
j=0 an,k+ ] j=0 (1 _ an,k) + .7

25) Pour t EUR]0,1{ fixé, on pose un : an'[nt] pour t EUR]0, 1[. Démontrer que

n----++OO t

lim {XI/(un) -- xp(1 -- un) + In (1---- " t)) = o_.

26) Démontrer que la suite (a... n 2 1) est convergente et calculer sa limite,
que l'on notera F(t)

(En 2k: 2k+1 :L'n 2k+1 2k+2 . . .

FIG. 1 -- Modèle de tableau de variation.

FIN DU PROBLÈME