Mines Maths 2 MP 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L' AÉRÇNAUTÏQUE ET DE L ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT , TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie:
MATHÉMATIQUES 2-F111ere MP

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au Cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le *
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet du problème est l'étude de méthodes analytiques (méthodes du gradient, 
du
Lagrangien) pour résoudre l'équation linéaire A.x = b oùA est une matrice 
symétrique positive,
inversible, b un vecteur donné de R" et x un vecteur inconnu de R" ou d'un 
sous--espace vectoriel
F de R".

Dans tout le problème, l'entier n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 
(n 2 2) ; la base
canonique de R" est notée el, ez, ..., e,, ; le produit scalaire de deux 
vecteurs x et y de R" est noté *
(x | y). La norme d'un vecteur x est notée ||): II.

Les matrices considérées sont réelles ; l'espace vectoriel des matrices carrées 
réelles d'ordre n
est noté M ,,(R). Il est admis que l'application qui, à une matrice M de M 
,,(R), associe la borne
supérieure N (M) des normes des images parM des vecteurs unitaires de R" est 
une norme :

N(M) =5up llM--xll-
nxn=l

Une matrice symétrique A est dite positive lorsque, pour tout vecteur x de R", 
le produit
scalaire des vecteurs A.x et x est positif ou nul (A.): | x) 2 O.

Première partie

Le but de cette partie est la résolution de l'équation A.): = b où A est une 
matrice carrée
d'ordre n symétrique positive et inversible, b un vecteur donné de R" et x un 
vecteur inconnu.

Résultats préliminaires :

Soit M une matrice carrée symétrique d'ordre n.

1. Démontrer qu'il existe un plus grand réel p et un plus petit réel q tels 
que, pour tout vecteur
x de R", le produit scalaire (M.): | x) vérifie l'encadrement suivant :

p ||x||2 S (Mx | x) 5 q lle2.
Préciser ces deux réels p et q en fonction des valeurs propres de la matn'ce M.

2. Montrer que, pour que cette matrice M soit inversible et positive, il faut 
et il suffit que toutes
ses valeurs propres soient strictement positives.

3. Démontrer que la norme N (M) d'une matrice M symétrique est égale àla plus 
grande valeur
absolue des valeurs propres À,-- (1 5 i 5 n) de la matriceM :

N (!'/I) =5"P Mil--

1_<_iSn Étant donnés la matrice carrée, d'ordre n, symétrique positive A et le vecteur b, soit a un réel strictement positif strictement majoré par 2/2... (0 < a < 2/À,,) où A,, est la plus grande valeur propre de la matrice A ; soit (x" ) keN la suite définie par un premier vecteur x° choisi arbitrairement dans R" et par la relation de récurrence suivante : pour tout entier naturel k, ):"+1 = x" + a (b ----A.x"). Étude de la suite (x" ) keN : 4. Démontrer que la suite (x" ) keN IR", solution de l'équafimA.x : b . est une suite convergente de limite le vecteur 2 de l'espace Soit f la fonction réelle, définie dans IR", par la relation : f(x) = --â--Ax1+'Byl : b.

21. Soient xl un vecteur du sous--espace vectoriel F et y1 un vecteur de R". 
Démontrer qu'une
condition nécessaire et suffisante pour que le couple (xl , y1 ) soit un point 
selle du Lagrangien L

est que le vecteur xl réalise le minimum de la restriction de la fonction f à F 
et que les vecteurs x1
et y1 vérifient la relation suivante :

Ax1 + tBy1 = b.

La suite logique est la recherche d'un point selle du Lagrangien L.

Algorithme d'Uzawa : soit toujours (x*, y*) un point selle, supposé exister ; 
étant donnés
un vecteur y° arbitraire de R", une suite (pm )...ä de réels, qui seront 
précisés plus loin, soient
(x'" )meN et (y'" )mËN les deux suites de vecteurs définies par les conditions 
suivantes :

. Pour tout entier naturel m, le vecteur x'" est le vecteur qui rend minimum la 
fonction
x +--» L (x, y'" )
. Pour tout entier naturel m, le vecteur y'"+1 est défini par la relation 
suivante :

ym+l =ym +Pm me_

Existence des deux suites (x'" )meN et (y"' )meN :

22. Démontrer que les conditions énoncées permettent de déterminer tous les 
termes de ces
deux suites (x'" )mGN et @" )...N et que les vecteurs de ces suites vérifient, 
pour tout entier naturel
m, les relations suivantes :

A(x'" --x*) + 'B(y"' --y*) = O,
ym+l _y* =ym _y* +])": B(xm _x*)_
où x* et y* sont les deux vecteurs d'un point selle de L.

23. En déduire l'égalité ci--dessous :

"ÿ"... --y* Il2 = Il)!" --y* Il2 --2 Pm (A(x"' --x*) | (x"' --x*)) + (m»)2 
IIB(X'" --x*) "2-

Convergence de la suite numérique de terme général Hy'" -- y* || 2, m & N :
24. Un résultat préliminaire : démontrer l'existence d'une matrice carrée 
d'ordre n symétrique
positive inversible, notée A ", telle que :

(Al/Z)2 =A.

Soit C la matrice définie par la relation suivante
C : A""2.'B.B...»4""2

où la matrice A'"2 est la matrice inverse de la matrice A 1/2.

25. Démontrer que la matrice C est une matrice symétrique positive. Établir 
qu'il existe une
constante v telle que, pour tout vecteur u de R", l'inégalité ci--dessous soit 
vraie :

"Eu"2 5 v (Au | u).

Soient a et B deux réels tels que le segment [a, fl] soit contenu dans 
l'intervalle ouvert
]0, 2/v [, (0 < a < 5 < 2/v). La suite des réels p... est supposée vérifier pour tout entier naturel m l'inégalité suivante : aSpm_<_fl. 26. Démontrer que la suite de tenue général ||y'" --- y* || 2, m G N est monotone décroissante ; utiliser, pour simplifier, la suite (um) dont le terme général est définie par la relation suivante : me"-N Convergence de la suite (x'" )meN : 27. En déduire la convergence et la limite de la suite (x") meN ' FIN DU PROBLÈME