Mines Maths 1 MP 2020

A2020 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des R-espaces vectoriels de dimension finie. 
Soit
FE un tel espace vectoriel et u un endomorphisme de Æ. On dit que u est 
nilpotent
lorsqu'il existe un entier p > 0 tel que w? = 0; le plus petit de ces entiers 
est
alors noté v(u) et appelé nilindice de u, et l'on remarquera qu'alors u* -- 0 
pour
tout entier k& > v(u). On rappelle que u° = idx. L'ensemble des endomorphismes
nilpotents de Æ est noté N(E).

Un sous-espace vectoriel V de £L(E) est dit nilpotent lorsque tous ses éléments
sont nilpotents, autrement dit lorsque V EUR W(E).

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses 
coefficients
diagonaux sont nuls. On note T}T(R)) l'ensemble des matrices triangulaires supé-
rieures strictes de M, (R)).

L'objectif du problème est d'établir le théorème suivant, démontré par Murray
Gerstenhaber en 1958 :

Théorème de Gerstenhaber

Soit E£ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel
nilpotent de £(ÆE). Alors, dim < nm). Si en outre dim) -- RCE 1) alors il existe une base de Æ dans laquelle tout élément de V est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte. Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie IT, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie IIT, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme A), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme B). Dans l'ultime partie IV, les résul- tats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur la dimension de l'espace FE. I Généralités sur les endomorphismes nilpotents Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n > 0.

1. Soit u EUR N(E). Montrer que tru* -- 0 pour tout 4 EUR N*.

2. On fixe une base B de E. On note NB l'ensemble des endomorphismes de E
dont la matrice dans B est triangulaire supérieure stricte. Justifier que VB est
un sous-espace vectoriel nilpotent de £(E) et que sa dimension vaut nn 1),

3. soit B une base de E. Montrer que

{v(u) lu E NB} = {v(u) [u E N(E)} = [nl].

4. Soit u EUR L(E). On se donne deux vecteurs x et y de E, ainsi que deux 
entiers
p > q > 1 tels que w(x) = ul(y) = 0 et uw? l(x) Æ 0. Montrer que la
famille (x,u(x),...,uP-l(x)) est libre, et que si (u?-l(x),u9!(y)) est libre
alors (æ,u(x),...,uP-1(x),y,u(y),...,u1l(y)) est libre.

5. Soit u EUR N(E), de nilindice p. Déduire de la question précédente que si p 
> n--1
et p > 2 alors Im UP = Imu N Ker u et Imu?-{ est de dimension 1.

IT Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien
On considère ici un espace vectoriel euclidien (E,(-- | --)). Étant donnéae E

et x EUR FE, on notera a Q x l'application de Æ dans lui-même définie par :

6.

VzEURE, (a@x)(z) = (a|2).x

On fixe x EUR E \ {0}. Montrer que l'application a EUR E + a @ x est linéaire et
constitue une bijection de E sur {u EUR L(E) : Imu C Vect(x)}.

7. SoitaecEetxeE\{0}. Montrer que tr(a x) = (a | x).

IIT Deux lemmes

On considère ici un R-espace vectoriel E de dimension n > 0. Soit V un sous-
espace vectoriel nilpotent de £(E) contenant un élément non nul. On note

pi mar

appelé nilindice générique de V (cet entier est bien défini grâce à la question 
3).
On notera que p > 2.
On introduit le sous-ensemble V° de E formé des vecteurs appartenant à au
moins un des ensembles Im uw?! pour u dans V : on introduit de plus le 
sous-espace
vectoriel engendré

K(V) := Vect(V"°).

Enfin, étant donné x EUR E, on pose
Vx := {u(x) |vE V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme A. Soit u et v dans V. Alors tr(u*v) -- 0 pour tout entier naturel k.

Lemme B. Soit x dans V° \ {0}. Si K(V) EUR Vect(x) + Vzx, alors v(x) = 0 pour 
tout
v dans V.

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires uw et v de V.

8. Soit k EUR N*. Montrer qu'il existe une unique famille CL .., fn) d'endo-
morphismes de Æ telle que

k
VER, (u+tv)" -- SH.
i=0

k=1 .
Montrer en particulier que FL = uf et f®) = Suvur ti,
i=0

pl.
9. Montrer que D u'uuP? 1? -- 0.
i=0

10. Étant donné & EUR N, donner une expression simplifiée de tr( FD), et en
déduire la validité du lemme A.

11. Soit y EUR E. Démontrer que PDG) EUR K(Y). À l'aide d'une relation entre
u(f PV (y) et v(u?1l(y)), en déduire que v(x) EUR u(K(V)) pourtoutx EUR Imu?"t.

12. Soit x EUR V° \ {0} tel que K(V) EUR Vect(x) + Vx. On choisit u EUR V tel 
que
x ElmuPr"t
Étant donné y EUR K(V), montrer que pour tout k EUR N il existe y, EUR K(V) et
X EUR R tels que y = Ag x + u*(yr). En déduire que K(V) EUR Vect(x) puis que
v(x) = 0 pour tout v EUR V.

IV Démonstration du théorème de Gerstenhaber

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème de Gerstenhaber par
récurrence sur l'entier n. Le cas n = 1 est immédiat et nous le considérerons 
comme
acquis. On se donne donc un entier naturel n > 2 et on suppose que pour tout
espace vectoriel réel Æ" de dimension n -- 1 et tout sous-espace vectoriel 
nilpotent

3
V' de £(E'), on à dim} < (LC) et si en outre dim V' -- (= 1)(n=2) alors il existe une base de E" dans laquelle tout élément de V/ est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte. On fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n, ainsi qu'un sous-espace vec- toriel nilpotent V de L(E). On munit Æ d'un produit scalaire (-- | --), ce qui en fait un espace euclidien. On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire x de E \ {0}. On pose, H := Vect(x)*, Vr:={u(x)|veY} et W:={veV: v(xr) =0}. On note x la projection orthogonale de E sur H. Pour u EUR W, on note u l'endomor- phisme de H défini par Vz EUR H, üu(z) = r(u(z)). On considère enfin les ensembles V:=falueW} et Z:={ueW:a--=0t. 13. Montrer que Vx, W, V et Z sont des sous-espaces vectoriels respectifs de E, V, £L(H) et y. 14. Montrer que dim V = dim(Vx) + dim Z + dim Y. 15. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel L de E tel que Z={a@xrlaeL} et dimL=dimZ, et montrer qu'alors x EUR L--. 16. En considérant u et a @ x pour u EUR V et a EUR L, déduire du lemme A que Væ EUR L+, et que plus généralement u* (x) EUR L= pour tout 4 EUR N et tout u EUR V. 17. Justifier que Àx & Vx pour tout À EUR R*, et déduire alors des deux questions précédentes que dim Vx + dimL n -- 1 d'après la question 21.

22. Soit v EUR V tel que v(x) £ 0. Montrer que Imw?-! EUR Vect(x) © Vx. On 
pourra
utiliser les résultats des questions 5 et 20.

23. On suppose qu'il existe vo dans Y tel que vo(x) À 0. Soit v EUR V. En 
considérant
v + tvo pour t réel, montrer que Im uw?! EUR Vect(x) ® Vzx.

24. Conclure.

FIN DU PROBLÈME