Mines Maths 1 MP 2018

CONCOURS MINES
COMMUN... PONTS
..

ECOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ETIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP.

CONCOURS 2018
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Lemme de Fekete et théorème de Erdôs--Szekeres

Le but de ce problème est d'étudier quelques applications probabilistes du
lemme de sous-additivité de Fekete et du théorème de Erdôs--Szekeres.

Dans tout le problème, (Q,d,P) désigne un espace probabilisé. On note
P(A) la probabilité d'un événement A et on note E(X ) l'espérance (si elle 
existe)
d'une variable aléatoire réelle discrète X définie sur (Q, .szi , P).

A. Préliminaires

Les deux questions de cette partie sont indépendantes.

Soit n un entier naturel non nul.

1) Montrer que pour toute variable aléatoire X réelle à valeurs dans {l, . . ., 
n}
et pour tout m EUR {1, . .., n},

E(X) $ m-- 1 + nP(X ? m).
2) À l'aide d'une comparaison entre une somme et une intégrale, montrer

que

nln(n)-- n+l< Zln(k). En déduire l'inégalité B. Le lemme de sous--additivité de Fekete Soit u : (un)neN* une suite réelle bornée. Pour tout n EUR N*, on note Un : {u,c ; k 2 n}. On définit les suites u : OE,JneN* etü : (ün)neN* par les formules =inf(Un) et un=sup(Un). 3) Justifier que u et Ü sont bien définies. Montrer qu'elles sont monotones puis qu'elles convergent. Pour toutes suites réelles v : (un)neN* et w : (wn)neN*, on dit que 1) est plus petite que w, et on note v 5 w, si pour tout n EUR N*, on a un S w... De façon équivalente, on dit aussi que w est plus grande que 1). 4) Montrer que Ü est la plus petite suite (au sens de 5) qui est décroissante et plus grande que tt. Montrer de même que E est la plus grande suite (au sens de $) qui est croissante et plus petite que u. Dans toute la suite du problème, on appelle limite inférieure li_m et limite supé-- rieure lim les limites suivantes : lim un: lim un et lim un: lim un n-->+oo ïl-*+OO_ n-->+oo n-->+oo

5) Si 1) = (un) new est une autre suite réelle bornée plus grande que u, com--
parer les limites de ü et de ?.

6) Montrer que ü et E sont adjacentes si et seulement si u converge. En ce
cas, que peut--on dire des limites des trois suites u, ü et H ?

On dit qu'une suite réelle u = (un) neN* est sous--additive si pour tous i, j 
dans N*,
ona ui+j S ui+ uj.

Dans le reste de cette partie on ne suppose plus que la suite u est bornée, 
mais on
suppose que u est positive et sous-additive.

7) Soit m et n deux entiers naturels non nuls tels que m > 211. On note q le
quotient et r le reste de la division euclidienne de m par n. Montrer que

um 5 (q_ 1)un+ un+r

et en déduire l'inégalité

u... < m--n--r un+max{un,un+l,...,u2n_l} m m n m ' , . . um , . * 8) En déduire que la suite -- est bornee, puis que pour tout n EUR N , m meN* .-- um un 11m -- < --. m-->+oo m n
. un
9) En conclure que la suite (--) converge.
ïl nEN*

C. Une application probabiliste

Soit x un nombre réel et (X n) neN* une suite de variables aléatoires réelles 
mutuel-
lement indépendantes et de même loi. Pour tout n EUR N* on note Yn la variable
aléatoire réelle définie par

1 n
Yn=--ZXk.
"k=1

10) Montrer que si P(X1 < x) = 1, alors pour tout n EUR N*, P(Yn < x) = 1 et que si P(X1 > x) > 0, alors pour tout n EUR N*, P(Yn > x) > 0.

1 1) Soit m et n deux entiers naturels non nuls. Montrer l'inclusion d'événe--
ments suivante :

({Y... ; x}n{%knîn X,, ; x}) c {y... >x}
=m+l

et en déduire l'inégalité
P(Ym+n > x) > P(Y... > x)P(Yn > x).

12) Démontrer la convergence de la suite

((P(Yn ; x)) )neN*

D. Le théorème de Erdôs--Szekeres

Si r est un entier naturel non nul, on note EUR = (! 1, . . . , EUR T) une 
liste de nombres
réels de longueur r; cette liste est croissante si & S [2 S EUR EUR... 
décroissante
si 61 > [2 > > &. Une liste !' de longueur p EUR {1,...,r} est extraite de ! 
s'il
existe 19 indices strictement croissants il < i2 < < i ,, dans {1,..., r} tels que !'= (f,--l,...Æip). Soit 19 et q deux entiers naturels non nuls et a : (al, a2, . . . , apq+1) une liste de longueur pq + 1 de nombres réels deux--à--deux distincts qui représentent les valeurs de pq + 1 jetons numérotés 1,2, . ..,pq + 1. On range successivement les jetons en piles de gauche à droite par le procédé suivant : ° le jeton n°1 de valeur al débute la première pile; ° si az > al, alors on pose le jeton n°2 de valeur az sur le jeton n°1 ;
sinon on crée une nouvelle pile avec ce jeton n°2, située à droite de la
première pile ;

° lors des étapes suivantes, disposant du jeton n°k de valeur ok, on le dé--
pose sur la première pile en partant de la gauche telle que ak est supérieur
àla valeur du jeton au sommet de la pile, si une telle pile existe ;
sinon on crée une nouvelle pile avec ce jeton, située à droite des précé--
dentes.

En suivant ce procédé avec tous les jetons, on obtient plusieurs piles de
jetons, chaque pile ayant des valeurs rangées dans l'ordre croissant du bas vers
le haut.

Par exemple, avec la liste
a : (1,4,2,3,7,6,5,9, 10,8)

dans cet ordre, on obtient de gauche à droite les trois piles suivantes :

10

»---q>\1oe
mwoeoe

5

13) À l'aide d'un raisonnement par récurrence sur le nombre 3 de piles, mon--
trer qu'à l'issue du processus, pour tout jeton de valeur z de la dernière
pile, il existe une liste 19 : (bl, . . . , b,) de réels extraite de la liste a 
vérifiant :

° 19 est décroissante et de longueur 3;
° pour tout i EUR {1, . . . , s} le jeton n°i de valeur 19,-- est dans la 
i--ème pile
en partant de la gauche ;
° 19, = z.
Par exemple, avec la liste a = (l, 4, 2, 3, 7, 6, 5, 9, 10, 8) on a une liste 
extraite
b = (7, 6, 5).

14) En déduire que la liste a admet au moins une liste extraite croissante de
longueur ;? + 1 ou une liste extraite décroissante de longueur q + 1.

E. Comportement asymptotique d'une suite aléatoire

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note S,, l'ensemble des
permutations de {1,2, . . . , n}. Chaque élément 0 EUR S,, est noté par la 
liste de ses
n images (a(l),a(2),...,a(n)).

Soit B une variable aléatoire à valeurs dans S,, de loi uniforme, c'est-à--dire
que pour tout 0 EUR 8 ,,, on a P(B : a) = 1/ Card(S ,,). On définit la variable 
aléa--
toire A à valeurs dans S,, en posant, pour tout au EUR 9,

A(w) = (B(w)(l),...,B(w)(n)).

On note également, pour tout k EUR {1, . . . , n}, Ak(w) : B(w) (lc). Enfin, on 
considère
les variables aléatoires réelles C,, et D,, définies par:

- C,, est la longueur de la plus longue liste croissante extraite de A ;

- D,, est la longueur de la plus longue liste décroissante extraite de A.

15) Les variables aléatoires réelles A1,A2,...,A,, sont-elles mutuellement
indépendantes ?

16) Soit k EUR {I, . . ., n} et s = (31, . . . , sk) une liste croissante de 
longueur k d'élé--
ments de {1,...,n}. On note AS l'événement : « la liste (Asl,...,Ask) est

1
croissante ». Montrer que P(As) : Ë'

17) Démontrer que CH et Du ont la même loi. Démontrer alors, à l'aide du
résultat de la question 14, que :

E(Cn) > %.

18) Démontrer que pour tout k EUR {1, . . . , n},

... > ... < @ n / \ k! . 19) Soit n un entier naturel non nul et a un réel strictement supérieur à 1. Justifier qu'il existe un entier naturel non nul k tel que k -- 1 < ae\/ñ S lc. À l'aide du résultat de la question 2, déduire de la question précédente que 1 2aefi P(Cn>ae\/Ë) < (--) a 20) En déduire qu'il existe une suite (en) neN* tendant vers 0 telle que, pour tout neN*, E C ( ") s(1+n_1/4)e+en. \/ñ -- ECn -- EC En conclure que nlim ( n)existe et que nlim ( n)< +oo \/ñ +oo \/ñ\ FIN DU PROBLÈME