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E 3 &)
CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques B MP
durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il
est
amené à prendre.
L'usage de la calCulatrice n'est pas autorisé
Exercice 1.
Soit E (----1 )" un une série alternée avec :
1120
i) VneN,un>0,
un+l __= 1
Un '
ii) lim
n ---* + 00
iii) la suite (un) converge en décroissant vers O,
M V " E N» un+2""n+l ? un+1 "un-
1. Vérifier que: V n E N, |Rn|+ |Rn+1 | = un.
+00
2. Vérifier que : V 11 E N, |Rn|--- |Rn+1 ] == 2 (--1)P[un+p ---un+1+p].
p=0
En déduire la monotonie de la suite ( |Rn | )n>0.
3. Montrer que : V n e N, 3%-- < |Rn| < u"2*1 . 4. En déduire qu'au voisinage de l'infini : Rn ... (----l )" %'--'--. +oo Page] /4 Tournez la page S.V.P 5. Application : +00 Déterminer un équivalent au voisinage de l'infini de : an = E (-----1 )k ---1--'}--EURk--. k=n Exercice 2. Soient deux suites (an)neN et (bn)neN à termes strictement positifs et telles que : an ... bn. ...) +00 On suppose d'autre part que la fonction f : t r--+ f(t) = 2 an t" est définie sur R. n=0 +00 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g : 1 H» g(t) = 2 bn t" ? n=0 2. Justifier l'existence d'une suite (7n)neN convergeant vers 0 et telle que : VneN, an=bn (l+yn) 3. Soit m & N. 3.1. Prouver l'existence de 5... = sup |ynl. n>m
3.2. Montrer que :
m
fli) 1 Z
Vt>O,VmEN, EÜÎ ----l <ôm+bm+1tm+1 l}'nlbnt"- n=0 3.3. En déduire que :flt) ... g(t). +00 Applications : +oe 1 n+l (' + 1 ) 4. Soit h la fonction définie par : t u---> h(t) = 2
--------------Jl--t-------------
... t".
n=0
4.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction h.
4.2. Trouver un équivalent de h(t) au voisinage de +00.
5. Soit (E) l'équation différentielle définie sur R :
ty"(t) + (1 ----t)y'(t) == 1
5.1. Démontrer que (E) possède une unique solution 2 développable en série
entière à l'origine
telle que :z(0) = 0 et z'(0) = 1.
Préciser les coefficients de ce développement.
5.2. Donner une expression simple de z ' (t) pour t > 0.
5.3. Trouver un équivalent de z(t) au voisinage de l'infini.
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Exercice 3.
Soit n 6 ,N* et E = M,,(C ). La matrice identité de E est notée In.
V i E {l,...,n--- 1}'fi,i+l : ]
SoitF == (f,--j) la matrice deE définie par: fn,] : 1
fij = 0 sinon
Question 1.
1. Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de F.
On note {Âk , 1 < k < n } les valeurs propres de F. 2. La matrice F est--elle diagonalisable dans E ? La matrice F est-elle inversible ? 3.SoitG= (FP, pe Z }. Montrer que G est un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des matrices. Préciser tous les éléments générateurs du groupe G. 4. Déterminer la dimension et une base de Vect(G). 5. Calculer la trace d'un élément de G. Question 2. 11 Soit le polynôme p == 2 kX""1 etA = p(F ). k=l 1. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice A est : "(Îl+l)} { n __ } {...2 U Àk--l'1
