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Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il
est
amené à prendre.
L'usage des calculatrices est interdit
Notations
Soit 1 un intervalle de R contenant 0.
EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et
on note : désigne
Ilflloe = Suplf(ûfi)l
CEE]
On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I
dans R et on note :
L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, ...
L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEL2(1), ||f|'l2= ,//|fl2
I 1
Partie I
1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que
l'équation :
y'+cy=f
admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie :
v(f)(0) = 0
Démontrer :
V:}: E [, cp(f)(oe) : e_"cæ /: czth(t) dt
Tournez la page S.V.P
Notations
Soit 1 un intervalle de R contenant 0.
EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et
on note : désigne
HfHOED==mHJUTOEN
CEE]
On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I
dans R et on note :
L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, lfl
L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEURL2(1),llf|'l2='//|le
I 1
Partie I
1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que
l'équation :
y' + cy = f
admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie :
vUXOE=fl)
Démontrer :
V:}: E [, cp(f)(oe) : e"°"' /: czth(t) dt
2 - Exprimer cp' ( f ) en fonction de f et go( f ) et démontrer que gp( f ) est linéaire sur EURO(l )
Partie II
On suppose dans cette partie que l'intervalle I est un segment [a, I)] avec a < () < b. 1 - Démontrer qu'il existe des réels positifs M1 et M2 tels que : Vf & EUR°(I), Ilf|ll< \ M1llf|lg 0, f,\
est la fonction définie sur I
par:
Va: EUR I, fÀ-(æ) = e')'oe
1 - Déterminer g0( f À).
2 - Démontrer que f A et cp(f,\) sont intégrables sur I .
Calcu]EURf |lfA|l1 et l|O,g(2)+c/Ox29( ()dt=/Ûf(t)g(t
En déduire que 90 est un endomorphisme continu de L2(l )et calculer:
lll@llb= sup lls&(f)lb
fEL'(D
llf||2<1 Partie IV Soit R un réel strictement positif. On note G l'espace vectoriel réel des fonctions développables en série entière sur l'intervalle ]----R, R[. 1 - Démontrer que <,0 est un endomorphisme de G . 2 - Pour f élément de G, on note (on)"GN et (bn)...EURN les suites réelles pour lesquelles : +00 +00 \7'æ E ]--R, R[, f(oe) = Za...oe" et go(f)(æ) : î: bnæ" n=0 n=0 Exprimer, pour tout entier naturel n, bn en fonction des termes de la suite (ak) ,OEN. On pourra utiliser la relation f : lR
O. Vf & L2(1), llso(f)HH < A HfH2 b) Démontrer que (p est un isomorphisme de L2(I ) dans K. c) Démontrer que ga est continue de (L2(I), H H2) dans (K, |) HH). d) Démontrer que cp"1 est continue de (K, H HH) dans (L2(I), |! HQ). Tournez la page S.V.P Partie VI Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur IR et 2w-péfiodiques muni de la norme : 27r ' Vf @ E, l|fHE = ]) mm F désigne l'espace vectoriel réel des fonctions de classe (31 sur R et 2w--péfiodiques. F est muni de la norme : 27r 27r erR ||f||F= ] f2(t)dt+ ] f'2(t)dt 1 - Démontrer que, pour tout f dans E, il existe une unique solution, notée w( f ) dans F de l'équation : y' + au = f Exprimer «p(f)(0) en fonction de f etc. Démontrer que '(/J est un isomorphisme de E dans F. 2 - Pour tout f dans E et tout entier relatif k, on pose : 1 27I' 1 271" Ck(f) -- f(t)8_ikt dt et dk(f) = Ck (WD) = -- IP(J'Î)(1Ê)6_OElt dt =27Î () Exprimer d,,( f ) en fonction de ck( f ) 3 - Démontrer que, pour tout f dans E, la série Z,OEZ |ck( f ) {2 converge et : Pour g dans F, calculer Hg" F en fonction des c,,(g). Comparer HfHE et ]W(f)l|F pour f dans E. On pourra distinguer les cas 0 < 1 etc > 1.
4 - Démontrer que @ est continue de (E, H "E) dans (F, [| HF).
Démontrer que $* est continue de (F, H HF) dans (E, )| HE).
