Centrale Maths 2 MP 2019

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4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations
Pour tout réel x, on note [x] sa partie entière.

On note

Vn EUR N* A, = Or (&;)jepn EUR (0, ur)
j=1

neN*

n TL:
Vn EUR N* D, = o oh (z)jening EUR {0, ur) et  D= (Jp,
j=1

VneEeN T\(&) = L2'z]

V(x,n) ERXN dy41(t) -- 27+1 (Ti41() -- m())

Soit Z une variable aléatoire sur (Q,.4,P), à valeurs complexes et telle que 
Z(Q) soit fini. En notant N(7) et
3(Z) les parties réelle et imaginaire de Z, on définit l'espérance de Z par

E(Z) = E(R(Z)) +iE(3(2)).

Si Z,,....,Z, sont des variables aléatoires sur (Q,.4,P), à valeurs complexes, 
mutuellement indépendantes, et
telles que Z;(Q) soit fini pour tout j, on admet que

I Fonction caractéristique

Soient (Q,.4,P) un espace probabilisé et (£,,),-, une suite de variables 
aléatoires indépendantes à valeurs dans
{--1,1} avec P(e, = 1) = P(e, = --1) = 1/2 pour tout n > 1. On pose

Vn e N°, X =D SR
k=1

Pour X variable aléatoire réelle avec X(Q) fini, on note

VLER, Py(t) = E(eïtX).

On définit également

sin £

---- sit £0
1 sinon

VtER, sinct = {

Soit n un entier naturel non nul et t{ un réel.

Q 1. Montrer

n

t
Px (t) -- [Les (x) :
k=1
Q 2. En déduire

sin(t)

t
sint--|Dy(t) = ----
SEL (>) x, ( ) 2n

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Q 3. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (D x )
r/ n>1

Q 4. Étudier la continuité de lim ®,.

n-- +00 n
Q 5. Montrer que X,, et --X, ont même loi pour tout n EUR Nr.

Q 6. En déduire la limite simple de la suite de fonctions (@,),>1 définies par

[R--RKR

Vn EUR N*, Pn'lyps E(cos(tX,))

Q 7. La suite de fonctions (w,),, converge-t-elle uniformément sur R ?

II Écriture binaire

Soit n un entier naturel non nul. On pose
{0,1} -- [0,27 --1]

(Z;)jepn > x 21)

j=1

Q 8. Montrer que ®, est bien définie en vérifiant Im ®,, C [0,2* --1]|.
Q 9. Préciser [Im ®,, en fonction de À...

Q 10. Montrer par récurrence

Vke[0.2"-1] keImb..

Q 11. En déduire que ®, est bijective.

Q 12. Établir la monotonie au sens de l'inclusion de la suite (D, ),>1 puis 
vérifier D C |0,1|.

Q 13. Établir
V(x,n)ERXN, TT) LT LT,(T) + --.

Q 14.  Justificr

Vrel0il VkeN, rx) = ÿ dite)

Q 15. Établir
V(x,j) EUR R x N*, d;(x) EUR {0,1}.
Q 16. Soit n EUR N°. Justifier x EUR D, = 2x EUR [0,2 -- 1].
Q 17. Soit n EUR N*. Montrer que l'application
{0,1} -- D,
(&;)jepin) 2. L
est bijective.

Tè
T
Q 18. Soient n EUR N* ct x -- 2. 5j avec (t;);emn EUR 10:1}". Montrer
J--
min(n.k)

VREN,  ma)= Y =.

J=1

à
&S

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CETTE
IIT Développement dyadique, loi et décomposition

Soit (Q,.4,P) un espace probabilisé, (U,),-, une suite de variables aléatoires 
mutuellement indépendantes
suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On pose

x y | Uz
VnEeN ; y, -- Ok
k=1
VzEeRk, F,(x) =P(Y, < x) G,{x) = P(Y, < x) Q 19.  Justifier Vn EUR N, P(Y, EUR [0,1[) = 1. Q 20. Montrer Vn e N°, Vxe D,, F,(x) = x + --. n Q 21. Montrer Vne N°, Vxe D,, G,(x) = x. Q 22. Établir, pour tout entier naturel non nul n, que Y, suit une loi uniforme sur D... Q 23. Réciproquement, soit n un entier naturel non nul et soit X, une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur D,. Montrer qu'il existe des variables aléatoires V,,..,V, mutuellement indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre 1/2, et telles que TL Z X, = DR k=1 IV Développement dyadique, étude asymptotique On conserve les notations introduites dans la partie III. Q 24. Soit x réel. Établir la monotonie des suites (F (x)) .., et (G,(x)) Q 25. En déduire la convergence simple des suites de fonctions (PF, ),>1 et 
(Gy)n>1:

Q 26. Montrer

Vx EUR DU {1}, lim F,(x) = x et lim G,(x) = x.

no No

Q 27.  Généraliser les résultats obtenus à la question précédente pour tout x 
EUR {0,1|.

Q 28. Montrer que pour tout intervalle non vide 1 EUR [0,1},on a

lim P(Y, EUR 1) = #(1) avec £(1) = sup 1 -- inf.

N--00

nr

Q 29. En déduire que, pour toute fonction f continue de [0,1] dans R, la suite 
(E(f(Y, ))) converge et

préciser sa limite.

Q 30. À l'aide du résultat précédent, proposer une autre démonstration du 
résultat obtenu à la question 6.

1
t--1
Q 31. Une application. Justifier l'existence de | D dt puis déterminer sa 
valeur.
n
0

1
On pourra considérer JE (tr) dt.
0

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V Dénombrabilité

Q 32. L'ensemble D est-il dénombrable ?

Q 33. On suppose qu'il existe f : N -- P(N) bijective. En considérant À = {x EN 
| x EUR f(x)}, établir une
contradiction.

P(N) -- {0,1}\

Q 34. Montrer que l'application % : Ab,

est bijective.

Q 35. Montrer que l'application
{0,1} -- [0,1
Y : -- Th

est bien définie et surjective. Est-elle injective ?

On note D* = D\ {0}. On pose pour tout (x,,) EUR {0,1}\

Y((x,,)) si W((x,)) EUR [0,1[\ 2°

A((x,)) = si V((x,)) EUR DU{1} et (x,) stationnaire à 1
si V((x,)) EUR D et (x,,) stationnaire à 0
Q 36. Montrer que À réalise une bijection de {0,1}" sur [0,1{.

Q 37.  Conclure que |0,1] n'est pas dénombrable.

eeerINee.e

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