Centrale Maths 2 MP 2018

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cnucnuns EENÏHHLE-SUPÊLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet

Ce problème étudie quelques propriétés des fonctions harmoniques ainsi que 
quelques exemples de telles fonctions
(parties 1 et Il). Dans la partie III, largement indépendante du reste du 
problème, on montre le principe du
maximum faible pour le laplacien. Dans la partie IV, on établit un lien entre 
les fonctions harmoniques de deux
variables et les fonctions développables en série entière, et on propose la 
résolution du problème de Dirichlet
dans le disque unité de [RZ dans la partie V.

Notations

-- Dans ce préambule et dans les parties 1 et III, n désigne un entier 
strictement positif.
-- On munit IR" de sa structure euclidienne canonique et "H désigne la norme 
euclidienne.
-- Si U est une partie de IR", alors Ü désigne son adhérence et ôU sa frontière.

-- Pour (1 EUR il?" et R > 0, on désigne par D(a, R) la boule ouverte de centre 
a et de rayon R pour la distance
euclidienne. Autrement dit

D(OE,R) = {fiv EUR "?"; llîC -- all < R} La boule fermée de centre a et de rayon R est alors D(a, R). -- L'opérateur différentiel A (appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classe 6'2 sur un ouvert U C [R" par W =(oe1,...,oen)EUR U, Af(cc> =

M:
ë"l°s
s.wkh
A
&
V

i=1
-- Une fonction f de classe 62 a valeurs réelles sur un ouvert U de ER" est 
dite harmonique sur U si

VxEURU Af(x)=0

L'ensemble des fonctions harmoniques sur U est noté H(U).

I Fonctions harmoniques: quelques propriétés

Soit U un ouvert non vide de [R". On note 62(U, [R) l'espace vectoriel des 
fonctions de classe 62 de U dans [R.
Q 1. Montrer que ?[ (U) est un sous--espace vectoriel de 62(U, H?)

Q 2. Soit f EUR % (U). Montrer que si f est 600 sur U, alors toute dérivée 
partielle a tout ordre de f appartient
à H (U).

Q 3. On suppose dans cette question que U est connexe par arcs. Déterminer 
l'ensemble des fonctions f de
H (U) telles que f2 appartienne aussi a % (U)
Q 4. Donner une fonction non constante appartenant à Î[(U). Le produit de deux 
fonctions harmoniques

est--il une fonction harmonique '?

II Exemples de fonctions harmoniques

II .A -- On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques 
non nulles sur [R2 à variables
séparables, c'est--à--dire les fonctions f s'écrivant sous la forme f (æ,y) : 
u(æ)v(y).

On se donne donc deux fonctions u et v, de classe 62 sur [R, non identiquement 
nulles, et on pose

V(OEry) EUR [R27 f(OEay) = U(OE)U(y)

On suppose que f est harmonique sur [RZ.
Q 5. Montrer qu'il existe une constante /\ réelle telle que u et v soient 
solutions respectives des équations

z"+Àz=0 et z"--Àz=0

Q 6. Donner en fonction du signe de À la forme des fonctions harmoniques a 
variables séparables.

II.B -- Soit f une fonction réelle de classe 62 sur R2 \ {(O, O)}. On pose, 
pour tout (r, (9) EUR [R*+ >< IR, g(r, EUR) = f(r cos(i9), ?" sin(0)) Q 7. Justifier que g est de classe 62 sur [R*+ >< [R. Q 8. Pour tout (7', EUR) EUR [R'k+ >< [R, exprimer %(7', EUR) et %(7',9) en fonction de ?" â--£(r cos(0),rsin(0)) et g--£(r cos(9),rsin(â)) 829 829 Q 9. Exprimer également fi(r, EUR) et fi(r, EUR) en fonction des dérivées partielles premières et secondes 7" de fen (rcos(0),rsin(û)) Q 10. Montrer que f appartient a Î[([R2 \ {(0,0)}) si et seulement si, pour tout (r, 0) EUR [R*+ >< [R, 2 829 829 89 T fi(7',0) + Ê f(r cos(0),rsin(0)) soit 
indépendante de 0.

Q 12. Soient @, b, 73 et @ quatre réels tels que 0 < 7'1 < @. Déterminer une fonction f de classe 62 sur [R2 \ {(0,0)} telle que Af=0 {f(sæy) = a si ll(oe,y)ll = n f(sv.y) = b si ll(sc,y)ll = rz II. C -- Dans cette sous--partie 11.0, on considère deux fonctions de classe 62, u : [R*+ --> [R et v : [R --> [R et
on pose

V(r,i9) EUR [R*+ >< [R f(7'cos(0),rsin(0)) : u(r)v(0) La fonction f est alors une fonction de classe 82 sur [R2 \ {(0, O)}, dite à variables polaires séparables. Q 13. Montrer que, si f n'est pas identiquement nulle, alors 1) est 27r--périodique. Q 14. Montrer que, si f est harmonique et non identiquement nulle sur [R2 \ {(0, O)}, alors il existe un réel A tel que u soit solution de l'équation différentielle (11.1) 7"22"(7") + rz'(r) -- Àz(r) = 0 (11.1) et 1) soit solution de l'équation différentielle (11.2) z"(0) + Àz(0) = 0 (11.2) II.C.1) On suppose ici que A = 0. Q 15. Quelles sont les solutions 2n--périodiques de (11.2) '? Q 16. Résoudre (11.1) sur [R+*. Q 17. En déduire, dans le cas A = 0, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables. II.C.2) On suppose désormais À # 0. Q 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (11.2) admette des solutions 27r--périodiques non nulles. Donner ces solutions. Q 19. Résoudre (11.1) sur [R+*. On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonction Z de classe 62 sur [R telle que, pour tout 7" > O, z(r) = Z(ln(r)).

Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 '?

III Principe du maximum faible

Soit U un ouvert borné non vide de ER" (n 2 2) et f : U --> [R de classe C".

Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de 
principe du maximum faible.
Si f est une fonction continue sur Ü, de classe 82 et harmonique sur U, alors

Voe e U f(x) < sup f(y) yEURôU où ôU désigne la frontière de U. III.A -- Soit f une fonction continue sur Ü. Q 21. Montrer que f admet un maximum en un point 5130 EUR Ü. On suppose de plus que f est de classe 82 sur U et que, pour tout 35 EUR U, A f (a:) > 0.

Q 22. Montrer que % EUR ôU et en déduire que V:c E U, f(oe) < sup f(y). yEURôU . 82 On pourra supposer par l'absurde que 560 E U, justifier qu'il existe i E [[1,n]] tel que ô--J2c(oe0) > O, et
SC.
2
considérer la fonction 
 0 on pose g5(æ) : f(æ) + e||æ||2.
Q 23. Montrer que gEUR est une fonction continue sur Ü, de classe 62 sur U, et 
telle que Voe E U, Ag5(oe) > 0.

Q 24. En déduire que Vas E U, f(x) < sup f(y). yEURôU Q 25. Soit f1 et f2 deux fonctions continues sur Ü, de classe 62 et harmoniques sur U. Montrer que si les fonctions f1 et f2 sont égales sur ôU, alors f1 et f2 sont égales sur U. IV Fonctions harmoniques et fonctions développables en série en- tière On dit qu'une fonction f, définie sur D(O,R) C IR2 et à valeurs complexes, se développe en série entière sur D(O, R) s'il existe une suite complexe (an) telle que V(oeiy) EUR D(ÛvR)a f(oevy) =zan(oe+iy)n n=0 Dans toute cette partie, f désigne une fonction se développant en série entière sur D(O, R). IV.A -- Q 26. Montrer que f est de classe 6'1 sur D(O, R) et que ses dérivées partielles se développent en série entière sur D(O, R). Que peut--on en déduire pour la fonction f '? On note u et 0 les parties réelle et imaginaire de f, de sorte que, quel que soit (sc, y) EUR D(O, R), u(oe,y) EUR [Rv U(OEvy) G [R, f(OE,y) : U(OE,y) +iv(æ,y). Q 27. Montrer que u et 1) sont des fonctions harmoniques sur D(O, R). I V.B -- On admet le résultat suivant : une fonction h de D(O, R) dans C se développe en série entière sur 8h 8h D(O, R) si et seulement si h est de classe 81 sur D(O,R) et pour tout (oe,y) EUR D(O,R), ô--(oe,y) : iô--(oe,y). y sc Q 28. Montrer que si f ne s'annule pas sur D(O, R) alors 1 /f se développe en série entière sur D(O, R). Q 29. Montrer que la fonction uv est harmonique sur D(O, R). IV. C -- Soit g une fonction de D(O, R) C [R2 dans [R. On suppose que g est harmonique. Q 30. Montrer que la fonction h définie sur D(O, R) par ôg 89 h : (OE7y> |_) OE(oevy)_iô_y(oe7y)

se développe en série entière sur D(O, R).

Q 31. Montrer que si g appartient a ?[(D(O, R)) alors il existe une fonction H 
se développant en série entière
sur D(O, R) telle que g est la partie réelle de H.

On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à 
la fonction h de la question
précédente.

IV.D --
Q 32. Montrer que pour tout 7' EUR [O,R[, on a f(0 )=2--17T0/flf( rcos(t 7' 
s1n(t))

Q 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.

Q 34. Montrer que V7" EUR [O,R[, |f(0)| < sup |f(rcos(t),rsin(t))|. tEUR[R Q 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques. Q 36. Montrer que si | f | admet un maximum en 0, alors f est constante sur D(O, H). Q 37. Montrer le théorème de d'Alembert--Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine. On pourra procéder par l'absurde, supposer qu'il existe un polynôme ne s'annulant pas et considérer son inverse. V Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de [R2 Soit h une fonction de [R dans IR , continue et 27r--périodique sur [R. On cherche a résoudre le problème de Dirichlet sur le disque unité; autrement dit, il s'agit de déterminer, s'il y en a, la ou les fonctions f définies et continues sur D(O, 1) (disque fermé), de classe 62 sur D(O, 1), et telles que Af = 0 sur D(0,1) {VË E [R, f(cos(t),sin(t)) : h(t) Pour cela, on pose, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, 2% 1 \ e" + z Ë/h(t)5"(t, z) dt ou ?(t,z) _ Re (ei, _ Z 0 Q(Z) : ) (Re désigne la partie réelle) eü +--Z e" -- z développement en série entière. En déduire que la fonction (35, y) l--> g(oe + 
iy) est une fonction harmonique
sur D(O, 1).

Q 38. Montrer que la fonction 2 l--> est développable en série entière pour |z| 
< 1 et calculer son 1 Q 39. Montrer que, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, 2-- / ?(t, 2) dt : 1. 7r @+2W Q 40. Soit 90 EUR IR. Montrer que, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, g(z =2--F1/(t)h(t Q 41. Montrer que, pour tout 7" EUR [0,1[ et tous réels t et 0, 1--7"2 19 _ ?(t,re )_1-- 2rcos(t -- @) +r2 fi+2î*5 Q 42. Montrer que, pour tout 6 EUR ]O,7r[ et tout réel  O.

z--àeW
W+ô

Q 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour tout 5 > 0, il 
existe 6 > 0 tel que, pour tout
nombre réel cp et tout nombre complexe z vérifiant |z| < 1, SUplh(t )l "277 5 |g(z)--h(