Centrale Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Étude de sommes pondérées de résultats de « pile ou face » indépendants
Principaux outils utilisés suites d'intégrales, intégrales à paramètre, familles de variables aléatoires, espérance, inégalité de Markov
Mots clefs pile ou face, marche aléatoire
intigrationsur-un-intervalle-quelconque

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyRe

Ji?ûKiB[m2b k

G2 T`Q#HK2 ûim/B2 [m2H[m2b T`QT`Bûiûb /2 p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b /2 H 
7Q`K2    - Q H2b 
bQMi /2b `û2Hb 2i H2b  bQMi /2b p`B#H2b HûiQB`2b Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b ¨ 
pH2m`b /Mb \ ^
G T`2KB`2 T`iB2 ûi#HBi /2b `ûbmHiib bm` /2b BMiû;`H2b- miBHBbûb /Mb H2b T`iB2b 
bmBpMi2bX
§ T`iB` /2 H /2mtBK2 T`iB2- QM bmTTQb2 /QMMû2 mM2 bmBi2   /2 p`B#H2b HûiQB`2b 
Kmim2HH2K2Mi
BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm` mM 2bT+2 T`Q

A amBi2b 2i BMiû;`H2b
AX 
úim/2 /mM2 BMiû;`H2 ¨ T`Ki`2
SQm`    - QM TQb2

 F E
      DPT

AXXRV
AXXkV
AXXjV

AXX9V

JQMi`2` [m2  2bi /û}MB2 2i +QMiBMm2 bm` < .ûi2`KBM2` H2b HBKBi2b /2  2i 1tT`BK2`  bm` >

2M

X

< 2i /2 +Hbb2   bm` >

< ¨ HB/2 /2 7QM+iBQMb mbm2HH2b 2i 2M /û/mB`2 [m2 MO    MO JQMi`2` MO     MO AXX8V  >
AX*XjV

JQMi`2` [m2 H bmBi2 

/K2i mM2 HBKBi2 }MB2  pû`B}Mi

    F E

F
PM /K2i H `2HiBQM   E  X

AX*X9V

*QM+Hm`2 [m2    X

AA miQm` /m TBH2 Qm 7+2

.Mb +2ii2 T`iB2- +QKK2 BH 2bi BM/B[mû /Mb H2 T`ûK#mH2- QM +QMbB/`2 mM2 bmBi2   
/2 p`B#H2b HûiQB`2b
Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b- ¨ pH2m`b /Mb \ ^ 2i i2HH2b [m2- TQm` iQmi            

SQm` iQmi    - QM TQb2      X
G2bTû`M+2 /mM2 p`B#H2 HûiQB`2 `û2HH2 }MB2  2bi MQiû2   2i b p`BM+2   X
AAX 

úim/2 /2  ] ]

AAXXRV .ûi2`KBM2` H2bTû`M+2 2i H p`BM+2 /2  X

AAXXkV aQBi  2i  /2mt p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm`   
 X PM bmTTQb2
[m2  2i  QMi KK2 HQBX
JQMi`2` [m2 DPT     DPT  DPT  X
AAXXjV PM +QMbB/`2 H 7QM+iBQM  /2  /Mb  i2HH2 [m2    DPT    TQm` iQmi `û2H X
JQMi`2` [m2    DPT   TQm` iQmi 2MiB2`    2i iQmi `û2H X

AAXX9V JQMi`2`- TQm` iQmi    -  ] ]   X

PM miBHBb2` H2tT`2bbBQM BMiû;`H2 /2 H pH2m` #bQHm2 Q#i2Mm2 ¨ H [m2biBQM AXX8X
AAXX8V .û/mB`2 /2 H [m2biBQM T`û+û/2Mi2 [m2- TQm` iQmi   -      X
AAX" 

úim/2 /2

PM b2 T`QTQb2 /2 /ûKQMi`2` [m2 H bmBi2 

mM ûpûM2K2Mi Mû;HB;2#H2    i2H [m2

+QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b y- +2bi@¨@/B`2 [mBH 2tBbi2

SQm` iQmi    - QM TQb2

2i

AAX"XRV JQMi`2` [m2       TQm` iQmi    X

AAX"XkV JQMi`2` [m2- TQm` iQmi    -        X

AAX"XjV JQMi`2` [m2    TQm` iQmi    2i [m2 MJN    X

AAX"X9V 1M +QMbB/û`Mi     - KQMi`2` [m2    +QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b yX

kyRe@yk@yN y3,Rd,kN

S;2 kfj

AAA .mi`2b bQKK2b HûiQB`2b

PM +QMb2`p2 H bmBi2   /2 H T`iB2 T`û+û/2Mi2 2i QM +QMbB/`2 /2 THmb mM2 bmBi2 

Qm MmHbX SQm` iQmi    - QM TQb2      X

/2 `û2Hb TQbBiB7b

AAAX  úim/2 /2  ] ]

AAAXXRV JQMi`2` [m2 H bmBi2  ] ]  2bi +`QBbbMi2X

AAAXXkV JQMi`2` [m2 bB H bû`B2   2bi +QMp2`;2Mi2- HQ`b H bmBi2  ] ]  2bi 
+QMp2`;2Mi2X

AAAXXjV PM bmTTQb2   

 X JQMi`2`  ] ]   ] ]   X

AAAX"  TTHB+iBQM ¨ mM2 bmBi2 /BMiû;`H2b
SQm`    - bQBi

AAAX"XRV JQMi`2` [m2 

  DPT  DPT     DPT   

   E

2bi mM2 bmBi2 #B2M /û}MB2 2i [m2HH2 2bi +`QBbbMi2 2i +QMp2`;2Mi2X

2i QM 2tT`BK2` H2bTû`M+2 /2 ] ] p2+ H Kûi?Q/2 /2 H [m2biBQM AAXX9X
PM TQb2`  

AAAX"XkV JQMi`2` [m2   TQm`      2i [m2   2bi bi`B+i2K2Mi +`QBbbMi2X

r r r 6AL r r r

kyRe@yk@yN y3,Rd,kN

S;2 jfj