Centrale Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Étude des matrices de Hilbert et du produit scalaire associé
Principaux outils utilisés matrices symétriques définies positives, produit scalaire, polynômes orthogonaux, déterminants
Mots clefs matrices de Hilbert, approximation au sens des moindres carrés, déterminant, polynômes de Legendre, matrices symétriques définies positives
algibreespaces-prihilbertiens-et-euclidiens

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î, '» Mathématiques 2

s,
--/ MP

EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Rappels et notations

Pour tout entier naturel non nul n, on note :

-- [il, nl] Fensemble des entiers naturels k tels que 1 £ [C $ n:

-- MAR) (respectivement Mn,1(R)) l7espace vectoriel des matrices carrées a n 
lignes et n colonnes (respecti--
vement l7espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans 
R:

-- SAR) le sous--espace vectoriel de MAR) constitué des matrices symétriques.

Soit n E N* et A E SAR) : on dit que A est positive (respectivement définie 
positive) si :

VX EUR Mn,1(R), tXAX } 0 (respectivement tXle > 0 si X # O).

L7espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté Rle, et, pour 
tout entier naturel p, le sous--espace
vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté RÆXl.

Objectifs

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices 
réelles définies positives, a l7aide
des déterminants de certaines matrices extraites.

La deuxième partie aborde l7étude d7une suite de polynômes orthogonaux pour un 
produit scalaire défini a l7aide
d7une intégrale.

La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont 
certaines propriétés sont étudiées dans
la partie IV.

I Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I.A * SoitnEURN* etAESAR).

I.A.l) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres 
sont positives.

I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs 
propres sont strictement
positives.
I.B * Pour n E N*, A E SAR) et i EUR [il, nl], on note A(i) la matrice carrée 
d7ordre i extraite de A, constituée

par les i premières lignes et les i premières colonnes de A.

Le but de cette question est de démontrer l7équivalence suivante :
A est définie positive <=> Vi EUR [il, nl], det(A O.

I.B.l) Soit A E SAR). On suppose que A est définie positive.

Pour tout i EUR [il, nl], montrer que la matrice A(i) est définie positive et 
en déduire que det(A®) > 0.

Pour tout n E N*, on dira qu7une matrice A de SAR) vérifie la propriété Pn si 
det(A®) > 0 pour tout i EUR [il, nl].
I.B.2) Dans les cas particuliers n = l et n = 2, montrer directement que toute 
matrice A E SAR) vérifiant
la propriété Pn est définie positive.

I.B.3) Soit n E N*. On suppose que toute matrice de SAR) vérifiant la propriété 
Pn est définie positive.
On considère une matrice A de Sn+1(R) vérifiant la propriété Pn+1 et on suppose 
par l7absurde que A n7est pas
définie positive.

a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants 
associés à des valeurs propres
(non nécessairement distinctes) strictement négatives.

b) En déduire qu7il existe X EUR Mn+1,1(R) dont la dernière composante est 
nulle et tel que tX AX < 0. c) Conclure. I. C' * Soit A une matrice de SAR). A--t--on l7équivalence suivante : A est positive <=> Vi EUR [ll:nfl, det(A®) } 0 ?

I.D * Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en 
entrée une matrice

M EUR SAR) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie « true » si 
la matrice M est définie positive,
et « false » dans le cas contraire.

20 avril 2011 11:27 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

II Etude d'une suite de polynômes
On définit la suite de polynômes (Pn)nEURN par :

P0=1
{Vn EUR N*, P,, = {X(X --1)}"

De plus, on pose :
WR @) e (...p2, @ dt.

II.A * Montrer que Papplication (P, Q) 1--> <1>

P,<,"> .

II.C * Soit n E N*. Montrer que, pour tout Q EUR Rnn1{X],  constitué des fonctions 
polynomiales de ]0, 1] dans R: ainsi, pour
tout entier naturel i, le polynôme X 1 est confondu avec la fonction 
polynomiale définie par X 1 (t) = L" pour tout

EUR ]0, 1].
On étend a CO(]O: 1],R> le produit scalaire <', > de la partie II en posant

W.geco<10;u,R>, = / fgdt

(On ne demande pas de Vérifier qu7il s7agit d7un produit scalaire sur CO(]O: 
1],R>.>

On note ]] ' ]] la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction f 
E CO(]O: 1],R>, on a donc

... = V

III.B.1) Soit n E N. Montrer qu7il existe un unique polynôme 117, EUR Rn]X] tel 
que

]]anfll=Q minX ]]Q fl]

III.B.2) Montrer que la suite (]]11n + f]]>nEURN est décroissante et converge 
vers 0.

III.B.3) Montrer que Hn est la matrice du produit scalaire <', '>, restreint à 
Rn11 ]X ], dans la base canonique
de Rn11]X1.
III.B.4) Calculer les coefficients de 1--1" a l7aide de la matrice H,, +1 et 
des réels .

III.B.5) Déterminer explicitement 112 lorsque f est la fonction définie pour 
tout t E ]0, 1] par f(t) = 1 + t2 .

IV Propriétés des coefficients de H,;1

IV.A + Somme des coefficients de H,?1
Pour n E N* et (i, j) EUR ]]1, n]]2, on note h(-j1 ") le coefficient de place 
(i,j> de la matrice H,?1 et on désigne par

c7est--a--dire :

=z h('j 1")

1ogpgn11 
vérifiant le système de n équations

linéaires a n inconnues suivant :

(H) (H)
(n) % ... a... = 1
de + 2 + + H
(H) (H) (H)
ao al a,,ÿ1
2 + 3 + + n + 1
(H) (H) (H)
"0 al an+1
= 1
n + n + 1 + + 2n + 1
b) Montrer que sn = z ag").
p=0
On définit, pour tout n E N*, le polynôme Sn par : Sn-- -- ag") + a(n)X ' + 
a£,@1an1.

Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par n un entier naturel non 
nul.
IV.A.3) Montrer que

VQ=a0+aix+m+an=1X"fleRn 1le » <>=Sn»Q Za,

IV.A.4) Exprimer sn a l7aide de la suite de polynômes (Kp>pEURN définie à la 
question ILE.

IV.A.5) Pour tout p EUR ]]0: n --1]], calculer Kp(1>.
IV.A.6) Déterminer la valeur de sn.

20 avril 2011 11:27 Page 3/4 @°_

IV.B * Les coefficients de H51 sont des entiers

Pour n E N et [EUR EUR [l0g nl], on note (Z) le coefficient binomial (Z) =

2
IV.B.1) Soit p E N*. Montrer que < p ) est un entier pair. P En déduire que, si n E N* et p EUR fil; nl], alors (71 +1?) (71) est un entier pair. P P IV.B.2) Pour tout n E N, montrer qu7on peut écrire : K.. = \/2n+ 1An où An est un polynôme à coefficients entiers que l7on explicitera. Parmi les coefficients de A... lesquels sont pairs ? IV.B.3) Soit n E N*. a) Calculer hfi1.n) pour tout i E [llgn] ; on donnera en particulier une expression très simple de hâîll'n) et hÂÎÊ'") en fonction de n. b) Calculer hï-El7n) pour tout couple (i,j) EUR fil; nl]2 ; en déduire que les coefficients de Hgl sont des entiers. c) Montrer que hïgl'n) est divisible par 4 pour tout couple (i,j) EUR [l2g nl]? oooFlNooo 20 avril 2011 11:27 Page 4/4 @_