Centrale Maths 2 MP 2004

 

Oozoocë 0oezëäm - Mcbëmn meÎ

...eË... z>ËËËÊOE __ ..........% _<__U Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème. Ce dernier ne commence qu'à partir du I. Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par Andrew Wiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l'action du groupe SL2(Z) sur le demi-plan ouvert %: {2 EUR EUR : fm(z) > O} .

En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps C 
est en
bijection (à un @ -isomorphisme près) avec l'ensemble des réseaux de C (à une
similitude près), lui même en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan
% sous l'action de SL2(Z). Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers
ensembles que nous proposons d'étudier dans ce problème.

Partie I - Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers

Soit %AZ) l'ensemble des matrices [" b} carrées d'ordre 2 à coefficients dans
l'anneau 2 des entiers relatifs. " d

Dans les parties I, II, III, les lettres a ,b , c , d désignent des éléments de 
2. On
pose:

10
[= .
2 lol

I.A - Démontrer que l'ensemble %2(Z) est un anneau.

LB -

I.B.1) Démontrer que l'ensemble GL2(Z) des éléments de %2(Z) inversi-

bles dans %2(Z) est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-
tés de l'anneau %Z(Z) .

I.B.2) Montrer que

{a 3} EUR GL2(Z) si et seulement si lad--bcl : l .
c

I.C-Onpose
SL2(Z) : {{" "} EUR %Z(Z) : ad--bc : !} ;

cd

I.C.l) Montrer que SL2(Z) est un groupe pour la multiplication des matri-
ces

I.C.2) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) & 2 x Z tels que la matrice

F 3 appartienne à SL2(Z).
C

1.0.3) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) EUR 2 x 2 tels que la matrice

{3 fl appartienne à GL2(Z).
C

I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple
(a,b) de Z >< Z pour qu'il existe une matrice {" â appartenant à GL2(Z) ? C LD - Soient S et T les éléments de SL2(Z) définis par S={O'l} et T={' '}. 10 01 Pour chacune des trois matrices T, S et TS , répondre aux questions suivantes : I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans %2(C) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage. I.D.2) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans % 2(1R) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage. LE - On cherche les matrices A de SL2(Z) telles que A2=['0}=12. 01 I.E.l) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans %2(IR) et préciser les formes réduites diagonales possibles de A . I.E.2) En déduire l'ensemble des matrices solutions A. I.F - On cherche les matrices A de SL2(Z) telles que A2 = '1 ° . 0 --1 LED Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans %2( C) et calculer la trace Tr(A) de A . I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des trois paramètres a ,b , c et d'une relation liant ces trois paramètres. LG - I.G.1) Démontrer que si deux matrices U et V de %2(IR) sont semblables en tant que matrices de %2(C) , alors elles sont semblables dans %fiIR) . I.G.2) En déduire que les matrices A de SL2(Z) solutions de l'équation : A2 = {"01 0} sont semblables dans %flR) àla matrice S : Ë' "(fl . Partie II - Réseaux de @ On note % le demi-plan ouvert défini par % = {3 E C : I m(z) > O} .

% = (a, B) étant une base de C considéré commeplan vectoriel réel, on appelle

réseau engendré par % l'ensemble A = la + 26 : {ua + v[3; (u,v) EUR 22} .

%

Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre
A, sans préciser quelle base % de @ l'engendre.

II.A -
II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau A ?
II.A.2) Démontrer que tout réseau A peut être engendré par une base

% = (a,[3) de @ telle que %E%.

II.A.8) Démontrer que pour tout quadruplet (a, b, c,d) EUR 24 et pour tout 2 
EUR 03
tel que cz+d=0,ona

Im : ad--bc

Im(z).
CZ+d lcz+d\2

II.B -
II.B.1) Démontrer que si deux bases @ : (oe1,oe2) et Æ)" : (oe1',oe2') de 0 tel-
les que

& EUR % et (3--1 EUR %

°°2 °° 2

engendrent le même réseau A , alors il existe une matrice

{" bi! ESL2(Z) telle que lîoe } = 'la b} |É"'1} .
c d oe'2 c d (02

II.B.2) Étudier la réciproque.

II.C - On considère un réseau A engendré par une base % : (001,002) de EUR telle
que

(l)
--le%
'"2

Déterminer l'ensemble des couples (c,d)El2 tels quefi' : (oel',oe2') avec

oe'1 : 3oe1+5oe2 et °oe'2 : cool +doe2 soit une base de C engendrant également 
le
réseau A.

ILD - Pour tout complexe 1: EUR C\]R on note AT le réseau engendré par la base
(1,1) de @. On suppose que 17 EUR % . Trouver la condition nécessaire et 
suffisante
pour qu'un élément t' E % vérifie AT, : AT.

Partie III - Similitudes directes de centre 0 laissant stable
un réseau

Si A est un réseau et 2 un nombre complexe, on pose zA : {zp ; (p & A)} .

On dit que deux réseaux A et A' sont semblables s'il existe kEUR 43* tel que
A' : XA.

III.A -
III.A.1) Démontrer que tout réseau A est semblable à un réseau AT où 1: EUR % .

III.A.2) Démontrer que deux réseaux At et-AT, , où (15,15') E%x % , sont sem-
blables si et seulement si il existe une matrice

a b , _ a1:+b
L d} ESL2(Z)_ telle que t _ cr+d°

La fin de la partie III montre qu'il existe des similitudes directes de centre 
0,
autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné A.

III.B - Soit A un réseau.

III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre 
l'ensemble

S(A) : {2 EUR EUR ; zA (: A} et l'ensemble des similitudes directes (: de 
centre O lais-
sant stable le réseau A, c'est-à-dire telles que 0(A) C A.

III.B.2) Quel est l'ensemble des homothéties de centre O laissant stable le
réseau A '? En déduire l'ensemble S(A) n IR.

III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l'ensemble S(A) ?
III.B.4) % : (ml, (02) étant une base de C, on pose

_ '°1
17 _ 072 . Comparer les ensembles S (A %) et S(At).

III.B.5) Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre les ensembles S(AT) et 
A,: ?
III.C - 1: étant un complexe de C\IR , on considère le réseau At engendré par la
base (1,1) de (D.

HI.C.1) On suppose que l'ensemble S (AT) n'est pas réduità 2. Montrer que 1:
est alors racine d'un polynôme du second degré à coefficients dans 2.

111.02) Réciproquement, on suppose que 17 est racine non réelle d'un polynôme
P(X ) : uX2 + vX + w du second degré à coefficients u , v , w dans 2.

a) Montrer que S (Ar) n'est pas contenu dans ]R.
b) Que dire des ensembles S(At) et AT si u = 1 ?

Partie IV - Action du groupe I' des homographies associées à
SL2(Z) sur l'ensemble %

Dans cette dernière partie, on étudie l'action de ce groupe F sur l'ensemble % .
On introduit au [V.D un sous-ensemble fondamental 97 de % . On montre aux
questions IV.E et [VF que F est engendré par les homographies s et t associées
aux matrices S et T introduites au I.D et qu'un système de représentants des
orbites de F est constitué par les points de 97 .

À toute matrice
A = a b
c d

de SL2(Z) on associe l'application g : %--> C définie par : V1:JEÏÎ g(17) : 
Îîîâ .

IV.A-

IV.A.1) Montrer que l'on a g(% C % . On identifie dorénavant g avec l'appli--
cation de % vers % qu'elle induit. Lorsque la matrice A parcourt SL2(Z) ,
l'application correspondante g de % vers % décrit un ensemble noté F . Dans
la suite de cette question on s'intéresse aux propriétés de la surjection

SL2(Z)-->F
@:
{ A|-->g

IV.A.2) Montrer que (A) o (A') : ®(AA'). En déduire que la loi 0 de com-
position des applications est une loi interne sur F .

IV.A.3) Pour tout A E SL2(Z) , montrer que (A) est une bijection de % sur
% et que l'on a [(A)Î1 : (MA--') . En déduire que (F, o ) est un groupe.
IV.A.4) Montrer que [CD(A) : id% :> [A = : 12] .

IV.A.5) _

a) Résoudre l'équation (A') : (A). '

b) En utilisant les matrices S et T définies en LD, vérifier que le groupe (F, 
o )
n'est pas commutatif.

IV.B-

IV.B.1) Montrer que le cercle %(oe, R) de centre ou E C et de rayon R > 0 a pour
équation '

lzl2 -- (oeâ + (Î)Z) + loel2 : R2 .
À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est--il inclus dans % ?
IV.B.2) On appelle s l'application de % vers % associée àla matrice

s = {0-1 l

1 0
définie au I.D, c'est-à-dire l'élément s : (S ) de F. Déterminer l'image par 
3
d'un cercle %(oe, R) inclus dans % .

IV.C-

IV.C.1) Trouver l'image par 3 d'une droite @ incluse dans % , c'est-à--dire
d'une droite @ d'équation y = [5 , avec [5 > O.

IV.C.2) Trouverl'image par 3 d'une demi-droite @+ d'équation

x=a , ' .
{ 0 ,ou aEURIR,1ncluse dans %.
y>

IV.D - On introduit le sous-ensemble 97 de % , défini par

ÿ={tEUR%îlïl21,lRê(ï)lfiâ}.

On appelle t l'application de % vers % associée àla matrice

T=làîl

définie au LD, c'est--à-dire l'élément t : (T ) de F . Représenter 
graphiquement
l'ensemble 97 et ses images t(97) et t"(% par les applications t et t_1 .

IV.E - On note G le sous-groupe de F engendré par l'ensemble {s, t} . Soit 1: un
élément de % .

IV.E.1) Montrer qu'il existe un élément go E G tel que
(Vg EUR G)1m(g(ï))S Im(g0(t)).

IV.E.2) On pose alors 1:' : g0(1:). Démontrer qu'il existe un entier m EUR 2 tel
que

\ Re)l s à .

IV.E.3) Vérifier que ltm(r')l z 1 et en conclure que tm(t') EJOÏ.

IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l'on admettra ici : si 1: 697 
et

si pour un élément g E F , avec g : id , on a g(r) 597 alors 1: est un point 
fron-
tière de 97 , autrement dit on a

Re(1)==â0ülrl=l.

En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que G = F 
.

Indication : on pourra considérer un point "E intérieur à F (c'est-à-dire 17 E 
F )
et son image g(1:) par g E F.

000 FIN ooo