Centrale Maths 1 MP-MPI 2023

Mathématiques 1
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4 heures Calculatrice autorisée

Sur le calcul ombral

Objectifs
Ce problème introduit le calcul ombral et propose d'en démontrer certains 
résultats.

Historiquement, ce « calcul » reposait sur un ensemble de manipulations 
heuristiques sur les indices qui étaient

traités comme des puissances. Pour justifier ces règles, une solution consiste 
à utiliser des endomorphismes

agissant sur des polynômes. Ce problème a pour objectif de présenter ces règles 
et d'en déduire des identités

polynomiales non triviales.

Notations

-- K désigne R ou C.

-- K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K. Dans ce 
problème, on identifie polynômes
formels et fonctions polynomiales de K dans K associées. On identifie de plus 
les éléments de K aux polynômes
constants.

-- Tout polynôme p EUR K[X] s'écrit de manière unique

+00
p= > ax
k=0

où (a,) est une suite à valeurs dans K nulle à partir d'un certain rang. Si p 
n'est pas le polynôme nul, son
degré deg(p) est le plus grand entier k tel que ay; # 0. Par convention, le 
degré du polynôme nul est --1
(cette convention est inhabituelle).

-- Si n est un entier naturel, K,,[X] désigne le sous-espace vectoriel de K[X] 
des polynômes de degré inférieur
ou égal à n.

-- On note £(K[X]) l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel K[X1.

-- On note 7 l'endomorphisme identité de K[X].

-- Les éléments inversibles de l'algèbre £(K[X]) sont les endomorphismes 
bijectifs (automorphismes) de Pespace
vectoriel K[X].

-- Pour TE £(KIX)) et p EUR K[X], on note Tp = T(p).

-- D désigne l'endomorphisme de dérivation sur K[X] : Vp EUR K[X], D(p) = Dp = 
p'.

-- Si T est un endomorphisme de K[X], on définit la suite d'endomorphismes (T*) 
par récurrence : T° = I et,
pour tout kEN, TÉH=TOTR TROT.

I Étude d'endomorphismes de K[X]

IA - Soit a EUR K. Pour tout p EUR K[X], on pose Æ,(p) = E,p = p(X + a).

Q 1. Montrer que Æ, est un automorphisme de K[X].

IB - À tout p EUR R[X], on associe la fonction J(p) -- Jp de R dans R définie 
par
æ+1

VzeR, J(p)(x) = Jp(x) = | p(t) dt.

T

Q 2. Montrer que J est un endomorphisme de R[X].
Q 3. Montrer que J conserve le degré et que J est inversible.
I.C - À tout p EUR K[X], on associe la fonction L(p) -- Lp de K dans K définie 
par
+00
VzekK, L(p)(x) = Lp(x) = -- | e tp'(x+t)dt.
0

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+00
Q 4. Montrer que | e tt} dt existe pour tout 4 EUR N et calculer sa valeur.

0
Q 5. Montrer que L est un endomorphisme de K[X]. Est-il inversible ?

IT Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de
KEX]

Soit T' un endomorphisme de K[X]. On dit que :

-- T'est shift-invariant si, pour tout a E K, E oT=ToE :

-- T'est un endomorphisme delta si T est shift-invariant et si l'image du 
polynôme X par T est une constante
non nulle : TX EUR K*.

IT. À --

Q 6. Soit a EUR K. Vérifier que les endomorphismes Z et D sont 
shift-invariants, ainsi que les endomorphismes
E,,J et L définis dans la partie [. Sont-ils des endomorphismes delta ?

Q 7. Montrer que l'ensemble des endomorphismes shift-invariants de K[X] est une 
sous-algèbre de Z(K[X]).
L'ensemble des endomorphismes delta de K[X\ est-il stable par addition ? par 
composition ?

II.B --
Q 8. Soit (az )ren une suite d'éléments de K. Pour tout polynôme p EUR K[X], 
montrer que l'expression
+00
Dm Dr
k=0
a un sens et définit un polynôme de K[X|.
+00 00
On note alors > a, DF l'application de K[X] qui, à un polynôme p EUR K[X], 
associe le polynôme > ay DFp.
k=0 k=0
+00
Q 9. Montrer que, pour toute suite (az)en d'éléments de K, > a, D* est un 
endomorphisme shift-invariant.
k=0
+00 +00
Q 10. Soit (a )zen EURt (bg)ren des suites d'éléments de K telles que > ay D* = 
> b, D.
k=0 k=0

Montrer que, pour tout kEUR N, az = b,.

Tr
Pour tout n EUR N, on définit le polynôme q, = 2. On se donne T' un 
endomorphisme de K[X|.

Q 11. Montrer que Test un endomorphisme shift-invariant si, et seulement si,

D = S (Ta)(0)DE.
k=0

Q 12. Montrer que deux endomorphismes shift-invariants de K[X] commutent.

ITI.C -- Dans cette sous-partie, on applique le résultat de la question 11 aux 
endomorphismes de la partie I.

Q 13. Pour tout p EUR K[X] non nul et a EUR K, montrer, à l'aide de la question 
11, que

où p(F) désigne la dérivée k-ième du polynôme p. Reconnaitre cette formule.
Q 14. Pour p EUR K|X], exprimer Jp en fonction des dérivées pl*) (k EUR N) de p.

Q 15.  Démontrer que l'endomophisme D -- I est inversible et exprimer L en 
fonction de (D -- 1).

II.D - Dans cette sous-partie, Test un endomorphisme non nul shift-invariant de 
K|X|.
On rappelle que le degré du polynôme nul est par convention égal à --1.
Q 16. Montrer qu'il existe un entier naturel n(1') tel que, pour tout polynôme 
p EUR K|X|,

deg(Tp) = max{--1, deg(p) -- n(7)}.
Q 17. En déduire ker(T') en fonction de n(T').

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Q 18. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(1) Test inversible :
(2) T1Æ#0:
(3) Vp EUR KIXT, deg(Tp) = deg(p).

Q 19. Si ces conditions sont vérifiées, montrer que T° est encore un 
endomorphisme shift-invariant.

ILE - Dans cette sous-partie, Test un endomorphisme delta de K[X1.
+00

Q 20. Montrer qu'il existe une suite de scalaires (az)£en vérifiant a = 0, a, 
£0 et T = > ay DF.
k=1

Q 21. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme Ü shift-invariant et 
inversible tel que T = Do U.
Préciser U dans le cas T = D), puis dans le cas T = L.

Q 22. Pour tout polynôme p EUR K[X] non nul, vérifier que deg(T'p) = deg(p) -- 
1. En déduire ker(T') et le
spectre de 77.

Q 23. Pour n EUR N, on note 7}, la restriction de T' à K,,[X]. Montrer que 7°, 
est un endomorphisme de K,,[X|.

Est-il diagonalisable ?
Q 24. Déterminer Im(7,,) en fonction de n EUR N et en déduire que T' est 
surjectif.

III Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta

On souhaite montrer que, pour tout endomorphisme delta Q, il existe une unique 
suite de polynômes (q,, )hen
de K[X] telle que

-- do = 1:

-- VnEN, deg(g) = n;

-- VnEeN*, q,(0) = 0:

-- VnEN*,Qq, = q;_1.
Cette suite sera appelée suite de polynômes associée à l'endomorphisme delta Q.

IIT.ÀA -- Soit Q un endomorphisme delta.
Q 25. Montrer l'existence et l'unicité de la suite (q,),en de polynômes 
associée à Q.
Q 26. Montrer que, pour tout entier naturel n,

Tv

Vix,y)Ek, ar +y) = D q(r)qn r(y).
k=0
ITII.B --  Réciproquement, soit (q, ),en une suite de polynômes de K[X] telle 
que Vn EUR N, deg(q,) = n et

Tv

VAyek?, ax +y) = qu(r)qn e(U).

Q 27. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme delta Q dont (q,, ),-n est 
la suite de polynômes associée.

III.C -- Soit Q un endomorphisme delta, soit (q, ),.-eu la suite de polynômes 
associée à Q et soit n un entier
naturel.

Q 28. Montrer que la famille (q0:41:..., Q,) est une base de K,,[X|.

Q 29. D'après la question 23, Q induit un endomorphisme de K,,[X] noté Q,,. 
Donner sa matrice dans la
base précédente. En déduire sa trace, son déterminant et son polynôme 
caractéristique.

TIITI.D -- Dans cette sous-partie, on détermine la suite (q,),en de polynômes 
associée à certains endomor-
phismes.

Q 30. Pour Q = D, vérifier que

Vn EN, a =

Q 31. Pour Q = FE, -- 1, vérifier que

X(X --1).(X ---n+1)
n!

Vn EUR N°, An =

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ITI.E -- Cette sous-partie propose de généraliser la formule de Taylor 
démontrée dans la partie II. On se
donne Q un endomorphisme delta et on note (q,),en la suite de polynômes 
associée à Q.

+00
Q 32.  Démontrer que, pour tout p EUR K|X], l'expression d_(QFp)(0)æ a un sens 
et définit un polynôme de
k=0

K[X], puis que
+00
D -- D _(Qp)(0)q.
k=0
Q 33. En déduire que, pour tout endomorphisme shift-invariant T, on a
+00
T = S (Ta)(0)Qr.
k=0

TII.F --

Q 34. En choisissant Q = E, -- 1, démontrer que, si p est un polynôme non 
constant, alors

deg(p) k | Le
one PE (Scans)

k=1 j--=0

ler

C'est la formule de dérivation numérique des polynômes.

IV Ün peu de calcul ombral
Si Test un endomorphisme de K[X] on définit sa dérivée de Pincherle, notée T1", 
comme l'endomorphisme de
K[X] tel que,
VpEKIX],  T"(p) = T(Xp) -- XT(p).
IV.A -- Soient S et T deux endomorphismes de K[X|.

+00 +00
Q 35. Montrer que, s'il existe (a, ),en suite de scalaires telle que T' = > a, 
DF, alors 1" = > ka, D,
k=0 k=1
Q 36. Si T' est un endomorphisme shift-invariant, montrer que 7" est encore un 
endomorphisme shift-inva-
riant.

Q 37. Si T'est un endomorphisme delta, montrer que 7" est un endomorphisme 
shift-invariant et inversible.
Q 38. Vérifier que (S 07) = S'oT+S0eT".

IV.B - Soit Q un endomorphisme delta. On rappelle que d'après la partie IT, il 
existe un unique endomor-
phisme Ü shift-invariant et inversible tel que Q = D e U. On note (q,),en la 
suite de polynômes associée à Q
au sens de la partie TIT.

Q 39.  Démontrer que, pour tout n EUR N*',on a
(Q'oU "M )(XN) = XU (XD),
Q 40. En déduire que, pour tout n EUR N*,
na, (X) = XU-"(X" 1)
puis que
nn(X) = X(Q') 7 (qn-1):

IV.C -- Dans cette sous-partie, on applique les résultats de la question 40 à 
l'endomorphisme ZL étudié dans
les parties I et II. On note (4,,),-.u sa suite de polynômes associée au sens 
de la partie IIL.

Q 41. Vérifier que, pour n EUR N*,

, --= lo Lo
et
XUT -- XU7 + nl, = 0
et

EN
#

Ï
GE

n--1\x#*
CD f _ : kl°

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IV.D -- Soient Q un endomorphisme delta de suite de polynômes associée notée 
(q,, ),en:

Q 42. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme inversible T tel que
Vn e N, Tq, = _.

Q 43. Montrer aussi que D=ToQoT t.

IV.E --- On fixe a > 0 et on définit la fonction W de K[X\ par

KIX] -- KIX]

W :
p ER p(aX)

Q 44. Montrer que W est un automorphisme de K[X].
On pose P=W © LoW 1 où L est l''endomorphisme étudié dans les parties I et IL.
Q 45. Montrer que

_1

P -- ln, (ip-1)

a a

Q 46. Montrer ensuite que P est un endomorphisme delta dont la suite de 
polynômes associée (p,,),en vérifie
Vne N, Pn = L,(aX).

Q 47. Vérifier que D = Lo(L--1)"* puis que P = Lo (al +(1-- a)L) --.

Tv
On note T l'unique automorphisme vérifiant, pour tout n EN, TE, -- _. et on 
pose Q = T'oPoT-t.

Q 48. Montrer que Q = Do (al + (1 -- a)D) .... En déduire que Q est un 
endomorphisme delta dont la suite
de polynômes associée (r,,),en vérifie

Vn EUR N°, Th = k Je -- ak

Q 49.  Conclure que

Vn EUR N°, L,(aX) = ÿ- k : a" (1 -- a) FL, (X).

Les endomorphismes W et T étudiés dans la sous-partie IV.E sont appelés 
opérateurs ombraux. Les polynômes
(£,,) associés à l'endomorphisme L sont connus sous le nom de polynômes de 
Laguerre (de paramètre --1). La
dernière formule démontrée grâce aux opérateurs ombraux est leur formule de 
duplication.

eceerINee.e

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