Centrale Maths 1 MP 2021

Mathématiques 1
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2021

La loi du demi-cercle
Notations
-- Pour tous entiers naturels p et q tels que p < q on note [p, q] l'ensemble {i EN | p  1, on note M,,(R) l'ensemble des 
matrices à n lignes et n colonnes
à coefficients réels, 8, (R) l'ensemble des matrices symétriques et à 
coefficients réels de taille n et O,,(R)
l'ensemble des matrices réelles orthogonales de taille n.

-- Pour toute matrice symétrique réelle M EUR 8, (R) on note À,(M) > ÀA(M) > + 
> À, (M) ses valeurs propres
rangées dans l'ordre décroissant.

-- On note MT la transposée d'une matrice M.

-- Pour tout (i,j) EUR [1,n]?, on note E;; la matrice de la base canonique de 
W,,(R) dont tous les coefficients
sont nuls sauf celui situé sur la i-ème ligne et la j-ième colonne qui vaut 1.

-- Pour toute matrice M E M, (R), on note [M], = 4/tr(MM T) sa norme 
euclidienne canonique.

-- Dans tout le problème, on note (Q,.4,P) un espace probabilisé. Toutes les 
variables aléatoires considérées
sont définies sur (2.

-- Etant donnée une variable aléatoire discrète X à valeurs réelles admettant 
une espérance, on note E(X) son
espérance. Si X admet une variance, on note V(X) sa variance.

Problématique

En essayant d'expliquer la répartition des niveaux d'énergie des noyaux des 
atomes lourds, Eugene Wigner à
été amené, dans les années 1950, à étudier le spectre de matrices symétriques 
réelles aléatoires de grande taille.
La figure 1 montre un histogramme qui représente la répartition des valeurs 
propres d'une matrice symétrique
réelle de taille n -- 2500 constituée de variables aléatoires indépendantes 
identiquement distribuées, d'espérance
nulle et de variance égale à 1.

39

30 J DIET

25 . HE

20

15

10

100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100
À

Figure 1

On voit que les valeurs propres se répartissent suivant un profil en 
demi-cercle de rayon 24n. En normalisant
par un facteur 1//n on obtient le profil d'un demi-cercle de rayon 2.

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Plus précisément, on considère (X;;)/; ;ew)2 une famille de variables 
aléatoires discrètes réelles telles que
-- pour tout (1,3) EUR (N*)°, X,, = X ; :
-- les variables aléatoires X;; sont de même loi, d'espérance nulle et de 
variance 1 ;

-- pour n > 1, les variables aléatoires X;,;, pour 1 << 7 < n, sont mutuellement indépendantes. 19? Pour tout n EUR N* et pour tout w EUR (, on note M,,(w) la matrice (Xi;(w)) >

EE MaiR):

I
Ayn(w) les valeurs propres de M, (w).

Vn nm

On définit ainsi, pour n EN*etie {[1,n], des variables aléatoires réelles 
discrètes À;,, sur (Q,.4,P).

VW

Pour tout w EUR (, on note À; ,(w) > +

On se propose de montrer le résultat suivant :

------ Loi du demi-cercle
Pour toute fonction f : R -- R, continue et bornée,

2

(ED | 7  JiVa ar
i=1 '

Dans la partie I, on établit une inégalité portant sur les valeurs propres d'un 
couple de matrices symétriques.
La partie IT est consacrée à la résolution d'un problème de dénombrement qui 
est utilisée dans la partie IIT où
la loi du demi-cercle est démontrée pour des variables aléatoires uniformément 
bornées. Dans la partie IV, on
établit la loi du demi-cercle dans le cas général en utilisant les résultats 
des parties I et IIT.

I Inégalité de Hoffman-Wielandt
I.A - Soient À et B deux matrices de &#,,(R).
Q 1. Montrer que, pour tout M dans W,,(R) et pour tous Pet Q dans O,,(R), on a 
|PMQ|, = |M|..

Q 2. On note D, = diag(X,(A),..., À, (A)) et Dh = diag(À\,(B),..., À, (B)). 
Montrer qu'il existe une matrice
orthogonale P = (p, ji jen telle que |A -- B|$ = |DA4P -- PDgl$.

Q 3. Montrer que

2 2
14 -- B|, = >. p} (A; (4) -- À;(B))
1<2,3 1 et & > à. Montrer que, pour M EUR 
M,,(R) et pour x EUR R*,
JCM +xE;; + TE,p --TE;z -- LE) -- f(M) = 27 (\;(4) -- \;(A))(A4(B) -- X;(B)) < Ù Q 6. Soient n > 2 et M = (mi, jé; jen EUR BAR) une matrice différente de 
l'identité. On note 1 le plus petit
entier appartenant à [1,7] tel que m,,; # 1. Montrer qu'il existe une matrice 
M° = (m EUR B,(R) telle

que FM") < f(M) et m°,= 1 pour tout j EUR [li]. Lies à à,7/ 1Ki,5 1, on note C,, le nombre de mots bien parenthésés de 
longueur 2n. On pose par commodité

IT. À -

Q 9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6, 
montrer que C; = 1, CC; = 2
et déterminer C2.

Q 10. Montrer que, pour tout entier naturel n, EUR, & 2°". Que peut-on en 
déduire pour le rayon de conver-
gence de la série entière 5° Cyx" ?

Q 11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier k > I.

k--1
Cr = > CC 1

10

On peut remarquer qu'un mot bien parenthésé est forcément de la forme (m)m" 
avec m et m' deux mots
bien parenthésés, éventuellement vides.

IT. B - Pour tout x EUR | -- : on pose F(x) -- Ù Cyr.
4'4 P (x) -- k
I I 2
Q 12. Montrer que, pour tout x EUR + ï : F(x) = 1+x(F(x)).
| L 1 | -- KR
Q 13. Montrer que la fonction f : 44 ne s'annule pas.
x RH 2xF(x) --1

JL I
Q 14. Déterminer, pour tout x EUR | n : une expression de F(x) en fonction de x.

Q 15. Déterminer le développement en série entière de la fonction u > V1 -- u. 
On écrira les coefficients
sous la forme d'un quotient de factorielles et de puissances de 2.

Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel n,

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III Loi du demi-cercle, cas uniformément borné
On suppose, uniquement dans cette partie, que les variables aléatoires X;; sont 
uniformément bornées :
iK ER V(i,j) EUR (NY [XI  AË, admet une espérance et que
i=1

1 I I

k _ k\\ X. . X..

E F Ya, = nitk/2 - (tr(M)) EH nitk/2 >, EX à, Ai, À si Né de
i=1 (Gi, i)e[l,n]*

On appelle cycle de longueur k à valeurs dans [1,n], tout (k + 1)-uplet ? = 
(4,,i9,...,ir,t1) d'éléments de [1,n|].

Les éléments 1,,...,1, sont appelés sommets du cycle ?. On dit aussi que le 
cycle passe par ces sommets. On note

| le nombre de sommets distincts du cycle 7.

On appelle arêtes du cycle (i,,49,.....,ip,t1) les couples non ordonnés 
(l'ordre des deux éléments de chaque couple
n'est pas significatif) (d1,49), (dos ta), «...., (èps dt).

Par exemple ? = (1,3,5,3,2,2,1) est un cycle de longueur 6 dans [1,5]. Les 
sommets de ce cycle sont les
éléments 1, 2, 3 et 5, donc 1) -- 4. Les arêtes distinctes de ce cycle sont 
(1,3), (3,5), (3,2), (2,2) et (2,1). Les
arêtes (3,5) et (5,3) sont les mêmes.

Q 22. Montrer que le nombre de cycles de longueur k dans [1,n] passant par { 
sommets distincts est inférieur
ou égal à n'éF.

Q 23. En déduire que

n -- +o0
----

1
nitk/2 > EX ns Le vi Ni)
ie[1,n]f
hi] <(k+1)/2 On classe les cycles de longueur k en trois sous-ensembles : -- l'ensemble .4,, constitué des cycles où au moins une arête n'apparait qu'une fois : -- l'ensemble B,, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent exactement deux fois : -- l'ensemble C,, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent au moins deux fois et il en existe au moins une qui apparait au moins trois fois. M042/2021-03-19 10:19:26 Page 4/6 (cc) BY-NC-SA Q 24. Montrer que, si le cycle (à,,49,..,4,,t1) appartient à .4,, alors .X X. Tr_17% ii) E(X, , X, 122 dos = 0. k +1 Q 25. Montrer que, pour tout cycle ? appartenant à EUR, fi] < 5 1 nm Q 26. Que peut-on dire de B, si k est impair ? En déduire que lim E F > se) -- 
( dans ce cas.
n--+00 n < ' = 1 . k . On suppose dans la suite que k est pair et que * EUR 8, est un cycle passant par 9 + 1 sommets distincts. k Autrement dit |?| -- 5 + 1. On parcourt les arêtes de ? dans l'ordre. À chaque arête de 7 on associe une parenthèse ouvrante si cette arête apparait pour la première fois et une parenthèse fermante si elle apparait pour la deuxième fois. Par exemple, au cycle (1,3,2,38,1) correspond (()), au cycle (1,2,1,3,1) correspond ()(). Q 27. Justifier que l'on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur k. Q 28.  Dénombrer les cycles ? qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé. Q 29.  Déduire de ce qui précède que | 1 ÿ k ne L (: =] se) = Crya- III. C - Q 30. En déduire que, pour tout polynôme P EUR R{X|, 2 1 1 im E[-S P(A,,)| = | P(x)Va- x? ax. ne (ASP) 3 frevi-as --2 ITI.D -- Soit À > 2.
Q 31. Montrer que, pour tout (p,q) EUR N°,

1 Ain
n--+00 1LEn
IA; ,1>A

Q 33. Soient f une fonction continue et bornée de R dans K et P un polynôme de 
degré p. Justifier qu'il
existe une constante K telle que

V&ER\I]-A, AL |f(x) -- P(x)l < K}xf°. Q 34. En déduire que lim El D [f-PI(A,,) | =0. -->
n--+00 7 ln
A; ,|>A

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TIIE --

Q 35. Soit f une fonction continue et bornée de R dans R. Montrer que

2

1 1

lim E | -- À; = -- 4 -- x° dx.

in É DE )] 5 [ra r° dr
--2

IV Loi du demi-cercle, cas général

On revient au cas général. On note 14 la variable aléatoire indicatrice d'un 
événement À.

Pour tout (i, j) EUR (N*)* et pour tout C > 0, on pose

iÿ(C) = VV Ax, ec):

Si 0;,(C) Æ 0, on pose

X;5(C) ne (Xl x,  1, on note M, (C') = (X,,(C)) . Pour tout 
w EUR (, on note

1. Z À,,(w) les valeurs propres de M, (C')(w) rangées dans l'ordre 
décroissant.

Vn nm

On obtient ainsi des variables aléatoires réelles discrètes À ., An sur 
((,.4,P).

1,n° .

Soit f : R -- R une fonction X-lipschitzienne.

Q 41. Montrer que

E Fe Dr] --E F 1)

Q 42. On suppose de plus f bornée. Montrer

1 n -- +00 1
120) > = Jr) 4 -- x? dx.

IV.C -

Q 43. Montrer la loi du demi-cercle dans le cas général.

ee eFINeee

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