Centrale Maths 1 MP 2020

Mathématiques 1

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MP
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Caleulatrice autorisés (CN

(=
(a
(=

Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications

La première partie établit des résultats utiles dans les parties suivantes, qui 
sont indépendantes entre elles.
Notations

On note |x]| la partie entière du nombre réel x, c'est-à-dire le plus grand 
nombre entier inférieur ou égal à x.
On note P l'ensemble des nombres premiers.

On note m A n le plus grand commun diviseur (pgcd) des entiers naturels m et n.

Si a et b sont deux nombres entiers relatifs, on note [a,b] ={keZ|a = > la somme

din deD,,
sur tous les nombres entiers naturels d divisant n.

Une fonction arithmétique est une fonction f : N* -- C. L'ensemble des 
fonctions arithmétiques est noté A.
On dit qu'une fonction arithmétique f EUR À est multiplicative si

". #0,
V(m,n) EUR (NW)? mAn=1 -- f(mn) = f(mj)f(n).

On note M l'ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.
On note 1, 6 et I les fonctions arithmétiques

NC NY -- C

ô : { sin=l pue
nhl nh

nRhRn

1:

0 sin >2

On remarque que ces trois fonctions arithmétiques sont multiplicatives.

Si f et g sont deux fonctions arithmétiques, le produit de convolution de f et 
g est la fonction arithmétique notée
f + g définie par

Vnen, (f+g)(n)= > fa).

din

TI Quelques résultats utiles

I.A -- Propriétés générales de la loi *
Q 1. Vérifier que 6 est un élément neutre pour la loi x.
Pour tout n EUR N*, on note ©, = {(d,,d2) EUR (N*)? | did = n}.
Q 2. Justifier que, pour tout n EUR N*,
(fxg)(n)= D, f(d)g(d).

(di,do)EC y
Q 35. En déduire que * est commutative.
Q 4. De même, en exploitant l'ensemble ©! = {(d,,d,,d3) EUR (N*)Y | didyd3 = 
n}, montrer que * est
associative.
Q 5. Que peut-on dire de (A, +, x) ?

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I.B --- Groupe des fonctions multiplicatives

Q 6. Soient f et g deux fonctions multiplicatives. Montrer que si
VpeP, VkREN*, f(p*) = g(p),

alors f = g.
Q 7. Soient m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer 
que l'application

- D,xD, --D,,
'| (d,d:)R did,

est bien définie et réalise une bijection entre D,, x 2D,, et D.
Q 8. En déduire que si f et g sont deux fonctions multiplicatives, alors f x g 
est encore multiplicative.

Q 9. Soit f une fonction multiplicative. Montrer qu'il existe une fonction 
multiplicative g telle que, pour
tout p EUR P et tout k EUR N*,

g(p°) = -- >; f{p')gtp")

k
1

et qu'elle vérifie f x g = à.
Q 10. Que dire de l'ensemble M muni de la loi * ?

IC --- La fonction de Môbius

Soit 4 la fonction arithmétique définie par

L sin = I
in) = { (--1)" si n est le produit de r nombres premiers distincts
Û sinon

Q 11. Montrer que est multiplicative.
Q 12. Montrer que y x 1 -- 6.

Q 13. Soit f EUR À, ct soit F EUR À telle que, pour tout n EUR N*, F(n) -- > 
f(d). Montrer que, pour tout n EUR N*,
din

fn) = Eu@r(=). (1)

din
On note 4 la fonction indicatrice d''Euler, définie par :

Vne N*, win)=card{ke fin] |kAn=1}.
Q 14.  Démontrer que =uxl.

LD ---  Déterminant de Smith

Soient f une fonction arithmétique, n EUR N* et g = f x y. On note M = (m;;) la 
matrice de M,,(C) de terme
général m;,; -- f(i A j). On définit aussi la matrice des diviseurs D -- (d;;) 
par :

d..-- 1 si j divise ?,
7 | O0 sinon.
g(j) si j divise 1,

Soit M" la matrice de terme général m°. -- {
tJ 0 sinon.

Q 15. Montrer que M = M'D', où D' est la transposée de D.
Q 16. En déduire que le déterminant de M vaut

det M = [I g(k). (1.2)
k=1

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LE -- Séries de Dirichlet

Soit f une fonction arithmétique. On définit, pour tout réel s tel que la série 
converge,

L ;(s) D

k=1

On appelle abscisse de convergence de L;

converge absolument }.

f(k)
ks

A,(f) = inf{s EUR R | la série > ro

On convient que À,(f) = + s'il n'existe pas de réel s tel que la série > 
converge absolument.

f(x)
k£s

Q 18. Soient f et g deux fonctions arithmétiques d'abscisses de convergence 
finies. Montrer que si, pour tout
s > max(A,(f), À,(9)), L,(s) = L,(s), alors f = g.
Q 19. Soient f et g deux fonctions multiplicatives d'abscisses de convergence 
finies. Montrer que, pour tout

s > max(A,(f), A,(g)),

Q 17. Montrer que si s > A,(f), alors la série > converge absolument.

L'ts) = L}(s)L,(s). (L.3)

IT Matrices et endomorphismes de permutation

Dans cette partie n est un entier naturel non nul.
On note G,, le groupe des permutations de [1,n]. On notera la composition des 
permutations de manière
multiplicative ; par exemple, si y et a sont deux permutations de G,,, y*o* = 
yoyoyoo0a.

On dit que deux permutations © et 7 de G,, sont conjuguées s'il existe une 
permutation p EUR G,, telle que

nm

T=pop |.
Pour £ EUR ]2,n], on rappelle que, dans G,,, un cycle de longueur £ est une 
permutation 7 EUR G,, pour laquelle il
existe £ éléments deux à deux distincts a;,..,a, de [1,n] tels que
x six É {a1,..., ay},
fx) = < à; sit=a; pour i<£--I1, @] Si X = Qy. L'ensemble Supp(y) = {a,,.....,a,} est appelé support du cycle 7 et on note + = (a, as + ay). On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration. Toute permutation o EUR G,, se décompose de manière unique (à l'ordre des facteurs près) en produit de cycles y,,...,7, à supports disjoints : o = 7,7, À toute permutation o EUR G,,, on associe la matrice de permutation P, -- (a;;) EUR M, (C) où 1 sii= o(j). ci = À (3) Ô sinon. IT. À --- Similitude de deux matrices de permutation L'objectif de cette sous-partie est de démontrer la propriété (S) suivante. Les matrices de permutations P,. et PF: sont semblables si et seulement si les permutations o et T7 sont conjuguées. Q 20. Pour toutes permutations p, p" EUR G,,, montrer que Pop = P,P,. En déduire que, pour toutes permu- tations ©, T EUR G,,, si o et 7 sont conjuguées alors PF et P_ sont semblables. Q 21. On considère, dans cette question uniquement, n = 7 et les cycles 7, = (1 3 7) et y = (2 6 4). On considère également une permutation p EUR G, telle que p(1) = 2, p(3) = 6 et p(7) = 4. Vérifier que py1p | = Yo. Q 22. Plus généralement, montrer que, dans G,,, deux cycles de même longueur sont conjugués. Pour o EUR 6, et {EUR [2,n], on note c;(o) le nombre de cycles de longueur £ dans la décomposition de © en cycles à supports disjoints. On note c,(o) le nombre de points fixes de o : (0) = Card{j EUR [ln], o(j) = j}. Q 23. Montrer que o EUR 6, ct Tr EUR G,, sont conjugués si et seulement si, pour tout £ EUR [1,n], cy(o) = cy(T). La matrice-ligne T}, = (c,(o) c(o) ... c,(o)) s'appelle le type cyclique de o. On vient donc de démontrer que deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont le même type cyclique. 2020-05-18 09:39:12 Page 3/5 FO) 8y-Nc-sA Pour tout o EUR G6,,, on note x, le polynôme caractéristique de la matrice P, : X,(X) = det(X1,, -- P.). Q 24. Soit {e [2,n] et soit y EUR G, un cycle de longueur £. Montrer que x,(X) = X°-- 1. On pourra se ramener au cas y = (1 2 -.. {) et considérer la matrice D ... ... ... 0 1 Î 0 0 ES SE EE 7 0) 1 0 0 0 OU 1 0 nm Q 25. Montrer que si o EUR G,,, alors x, (X) = I [tx -- 1)ce(0), £=1 On pourra justifier que P.. est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la forme l', (£ > 1), où l', est définie ci-dessus si £ > 2 et où L', = (1) 
si £ = 1.
Q 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de x,, et de x,, montrer 
que si PF, et P: sont semblables,
alors, pour tout q EUR [1,nl,

(On somme sur les valeurs de { multiples de q et appartenant à ]1,n].)
Q 27. En déduire la propriété (S).
On pourra calculer 7°.D où T°, est le type cyclique de o et D est la matrice 
des diviseurs définies au 1.D.

ITI.B --- Endomorphismes de permutation

Dans cette sous-partie, Æ est un C-espace vectoriel de dimension n > 1. On dit 
qu'un endomorphisme u de Æ
est un endomorphisme de permutation s'il existe une base (e,,...,e,) de E et 
une permutation © EUR G,, telles
que u(e;) = e,ç; pour tout j EUR [1, nl].

On note Id, l'identité de E.

On note Tr(u) la trace d'un endomorphisme « de E et Y,, son polynôme 
caractéristique.

Q 28. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il 
existe une base dans laquelle
sa matrice est une matrice de permutation.

Q 29. Soit u un endomorphisme de permutation de Æ. Montrer que u est 
diagonalisable et que sa trace
appartient à [0,n].

Q 30. Soient À, B deux matrices diagonalisables de M,,(C). Montrer que À et B 
sont semblables si et
seulement si elles ont même polynôme caractéristique.

Q 31. Soit u un endomorphisme de E tel que u° = Id. Montrer que u est un 
endomorphisme de permutation
si et seulement si Tr(u) est un entier naturel.

Q 32. Étudier si l'équivalence de la question précédente subsiste lorsqu'on 
remplace l'hypothèse u? = Id
par u° = Id; pour k = 3, puis pour k = 4.
Q 33. Soit u un endomorphisme de Æ. Montrer que u est un endomorphisme de 
permutation si et seulement

s'il vérifie les deux conditions suivantes :
nm

(a) il existe des entiers naturels c,,...,c, tels que x, = I [tx -- 1):
£=1
(b) il existe N tel que uY = Id;..
Q 34. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que, pour tout k EUR N, 
Tr(u*) = Tr(v"). Montrer que u
et v ont même polynôme caractéristique.

Q 35. Soit u un endomorphisme diagonalisable de E. Montrer que u est un 
endomorphisme de permutation

si et seulement s'il existe des entiers naturels EUR,,...,c, tels que, pour 
tout kEUR N,
TL
Tr(u*) = D lcy.
{=1
£lk

(On somme sur les valeurs de £ divisant k et appartenant à [1,n].)

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III Valeurs propres de la matrice de Redheffer
On définit la matrice de Redheffer par H,, = (h;;)G peqing2 Où

1 sij--l,
h;; = 4 1 sit divise jet j #1,

Ü sinon.

On définit également la fonction de Mertens M, en posant, pour tout n EUR N*, 
M{n) -- D _u(k) où u est la
k=1
fonction de Môbius définie au I.C.

Q 36. Soient À,, -- (a;;)(; jepi,ng2 la matrice de terme général

a(3) sii=l,
dij -- I Si 1 -- 1;
0 sinon

et C, = A,,H,,. En calculant les cocfficients de C,,, montrer que det 4H, = Mn).

Pour le calcul du terme d'indice (4, j) de C',, on pourra distinguer le cas à = 
j = 1, le cas à > 1, j = 1 et
le cas à > 1, 3 > 1.

On note %x,, le polynôme caractéristique de Æ,,, de sorte que x, (À) = det(AZ,, 
-- H,,) pour tout réel À.

Pour À réel distinct de 1, on définit par récurrence la fonction arithmétique 
b, en posant b(1) = 1 et, pour tout
entier naturel 7 > 2,

b(j) = =] 2, 0)

On définit également la matrice B,,(À) = (b;;)(; ne n2 de terme général

b(5) Si? = I,
0 sinon.

Q 37. En calculant le produit B, (A)(AL, -- H,,), montrer que

nm

Xn (A) = (1) -- (A DT D (5).

j--2

1
Dans toute la suite du problème, on suppose que À est un réel distinct de 1 et 
on pose w = ----.

À--1
On pose de plus f = (1 +w)ô -- w1.
Q 38. Montrer que f x b -- 6.
Q 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la 
sous-partie LE, exprimer, pour des
valeurs du réel s à préciser, L£(s) en fonction de w et L.(s).

]
On note log, la fonction logarithme en base 2, définie par log, (x) -- Me pour 
tout réel x > 0.
n
Q 40. Montrer que, pour s réel suffisamment grand,
l co og, m|
= 1 + m _* w D,(m)
Het 2" À

où D,(m) est le nombre de manières de décomposer l'entier m en un produit de k 
facteurs supérieurs ou égaux
à 2, l'ordre de ces facteurs étant important.

nm
Q 41. Pour n > 1, on pose S,(n) -- > D,(m). Déduire de la question précédente 
que
m--2

Log, n|

Xn(A) = (1-1) 0 (A1) IS, (n).

k=1
Q 42. Montrer enfin que À, possède 1 comme valeur propre et que sa multiplicité 
est exactement

n-- [log,n] -- 1.

ee erFINee.e

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