Centrale Maths 1 MP 2019

Mathémati 1 OO
4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations et définitions

Dans tout le problème, K désigne R ou EUR, N désigne l'ensemble des entiers 
naturels et n est un entier naturel.

On note K,,[X] le sous-espace vectoriel de K[X] des polynômes de degré 
inférieur ou égal à n à coefficients dans

Ket, pour n > 1, M,(K) la K-algèbre des matrices carrées de taille n à 
coefficients dans K. La matrice unité est

notée I, et on désigne par GL, (K) le groupe des matrices inversibles de M, (K).

Pour toute matrice À de M,(K), on note AT la transposée de la matrice À, rg(A) 
son rang, tr(A) sa trace,

Xx4 = det(X1, -- À) son polynôme caractéristique, r4 son polynôme minimal et 
sp(A) l'ensemble de ses valeurs

propres dans K.

Dans tout le problème, E désigne un espace vectoriel sur le corps K de 
dimension finie n supérieure ou égale à 2,
et Z(E) est l'algèbre des endomorphismes de E. On note f un endomorphisme de E.

On note f =Idy et VKkEN, fit = fo f.

Si Q EUR K[X] avec Q(X) = ay + a X ++ a, X", Q(f) désigne l'endomorphisme a,Idg 
+ a, f +-+a,f". On
note K[f] la sous-algèbre commutative de £(E) constituée des endomorphismes 
Q(f) quand Q décrit K[X].

De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, 
pour un endomorphisme f de E:

re(f), tr(f), Xp pet sp(f).

Enfin, on dit que f est cyclique si et seulement s'il existe un vecteur x, dans 
E tel que (x9, f(&0),...., f"(xo))
soit une base de E.

I Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
LA- SoitMeM,(K).

Q 1. Montrer que M et MT ont même spectre.

Q 2. Montrer que M! est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable.
I.B ---  Matrices compagnons

Q 3. Soit (ap, a1, ...,an_1) EUR K" et Q(X) = X"+a,_, X"71 +. + a. On considère 
la matrice

O ...... 0 --«
1 0 0 --a
0 1 --a
Ca -- . ! ë ?
1 0 --a,
0 0 1 --a

Déterminer en fonction de Q le polynôme caractéristique de Co.

Q 4. Soit À une valeur propre de Ca: Déterminer la dimension et une base du 
sous-espace propre associé.
IC -  Endomorphismes cycliques
Q 5. Montrer que f est cyclique si et seulement s'il existe une base 8 de E 
dans laquelle la matrice de f

est de la forme C,, où Q est un polynôme unitaire de degré n.

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Q 6. Soit f un endomorphisme cyclique. Montrer que f est diagonalisable si et 
seulement si x, est scindé
sur K et a toutes ses racines simples.

Q 7. Montrer que si f est cyclique, alors (Id, f, f*,...., f"1) est libre dans 
£(E) et le polynôme minimal de
jf est de degré n.

I.D --- Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

Q 8. Soit x un vecteur non nul de Æ. Montrer qu'il existe un entier p 
strictement positif tel que la famille
(x, f(x), f(x), ..., f(x) soit libre et qu'il existe (ap, a1,.....,@,_ 1) EUR 
KP tel que:

apr + f(x) ++, f(x) + f(x) = 0.
Q 9. Justifier que Vect(x, f(x), f*(x),..., fP-l(x)) est stable par f.
Q 10. Montrer que : À? + Qi XP +. + a divise le polynôme \;.

Q 11.  Démontrer que x,(f) est l'endomorphisme nul.

II Étude des endomorphismes cycliques

IT. À --- Endomorphismes cycliques nilpotents

Dans cette sous-partie, on suppose que f est un endomorphisme nilpotent de Æ. 
On note r le plus petit entier
naturel tel que f" = 0.

Q 12. Montrer que f est cyclique si et seulement si r = n. Préciser alors la 
matrice compagnon.

II. B --- Dans cette sous-partie IL.B, on suppose que K = C.
On suppose que (Id, f, f*,....., f"" 1) est libre et on se propose de montrer 
que f est cyclique.

On factorise le polynôme caractéristique de f sous la forme

P

xF(X) = [TX -- 2)"
k=I

où les À, sont les p valeurs propres deux à deux distinctes de f et les m, de 
N° leurs ordres de multiplicité
respectifs.

Pour k EUR [1,p], on pose F, = ker((f -- A,ldp)"#).
Q 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels F; sont stables par f et que EF 
@..@ Fr,
Pour k EUR ]1,p], on note &, l'endomorphisme induit par f -- À,Id sur le 
sous-espace vectoriel F7,

. Ex -- À},
PK: x f(x) -- Art.

Q 14.  Justifier que w, est un endomorphisme nilpotent de F7.
On note v, le plus petit entier naturel tel que pi = (.
Q 15. Pourquoi a-t-on r, < dim(F,) ? Q 16. Montrer, avec l'hypothèse proposée, que pour tout k EUR ]1,p], on a v, = my. 2019-03-22 08:39:04 Page 2/4 (Cc)EATET: Q 17.  Expliciter la dimension de F, pour k EUR [1,p], puis en déduire l'existence d'une base B = (u,,.....,u,) de Æ dans laquelle f a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à M m,(C) et étant de la forme Ag OÙ + 0 1 À4 .. : O 1 À, X 0 0 0 1 À, On pose 26 = u + Us + + Um tm, 41e Q 18. Déterminer les polynômes Q EUR C[X\ tels que Q(f)(xo) = 0. Q 19.  Justifier que j est cyclique. III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius On appelle commutant de f l'ensemble C(f) = {g EUR £L(E) | feog=gef}. Q 20. Montrer que C{(f) est une sous-algèbre de Z(E). TIIT.ÀA --- Commutant d'un endomorphisme cyclique On suppose que f est cyclique et on choisit un vecteur x, dans Æ tel que (x, f(xo), .... f(x) est une base de EE, Soit g EUR C(f), un endomorphisme qui commute avec f! Q 21. Justifer l'existence de À,, À,, ...., À,_, de K tels que n--1 g(o) -- > XF" (to).
k=0

Q 22. Montrer alors que g E K[f|.
Q 23. Établir que g EUR C(f) si et seulement s'il existe un polynôme R EUR 
K,,_,[X] tel que g = R(f).
ITI.B --- Décomposition de Frobenius

On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute 
matrice est semblable à une
matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons.

Q 24. Montrer que si la réunion d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels 
F,...,F,. de Æ est un sous-espace
vectoriel, alors l'un des sous-espaces vectoriels F; contient tous les autres.

On note d le degré de 7}.
Q 25.  Justifier l'existence d'un vecteur x, de E tel que (x,, f(x,),....., 
fl{(x,)) est libre.

Pour tout x non nul de Æ, on pourra remarquer que 1, = {P EUR K|X) | P(f)(x) = 
0} est un idéal de K|X]
engendré par un polynôme unitaire T;, diviseur de 7 ; et considérer les 
sous-espaces vectoriels ker(r;,(f)).

On pose e, = 21, e9 = f(x), ..., ey = f(x) et E, = Vect(e,,e,,.....,ey).
Q 26. Montrer que E, est stable par f et que E, = {P(f)(x,) | PE KIXÏ}.

On note w, l'endomorphisme induit par f sur le sous-espace vectoriel E,

E, -- E,,
Mile fr).

2019-03-22 08:39:04 Page 3/4 (Cc)EATE:
Q 27. Justifier que Y., est cyclique.

On complète, si nécessaire, (e,,e,,....,e,) en une base (e,,e,,...,e,) de E. 
Soit ® la d-ième forme coordonnée qui
à tout vecteur x de Æ associe sa coordonnée suivant e,. On note F={xeE | VMeN, 
®(f'(x)) = 0}.

Q 28. Montrer que F'est stable par f et que Æ, et F sont en somme directe.
Soit Y l'application linéaire de E dans K® définie, pour tout x EUR E, par
Ve) = (OP) = Ur) DFE) EF).
Q 29. Montrer que Y induit un isomorphisme entre E et Kd.
Q 30. Montrer que E=EÉ @F
Q 31. En déduire qu'il existe r sous-espaces vectoriels de FE, notés 
Æ,,...,ÆE,, tous stables par f tels que :
_ EE @..@E,:
-- pour tout 1 <2