Centrale Maths 1 MP 2009

- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

On considere la serie entiere

n=0

 n-1 xn .

+

n=0

 g (-n ln x) = ().

+

B(, ) = B(, )
Z +
t-1
dt
B(, ) =
(1 + t)+
0

A,
.
2n

n=0

 un (, )n+-1 xn .

+

A,
S
(x).
2 +-1

En utilisant le comportement des fonctions (S )>0 au voisinage du point 1, 
conclure
que :
()() = B(, )( + ).

|S (x)S  (x) - B(, )S+ (x)| 6

Deduire de la question 2.b) que, pour tout reel x, 0 6 x < 1, S (x)S  (x) = c) On reprend les notations de la question (II.B.2). Etablir que, pour tout nombre reel x de l'intervalle [0, 1[ : |un (, ) - B(, )| 6 b) Prouver que, pour tout entier n strictement positif : x, y  [0, 1], |, (x) - , (y)| 6 A, |x - y|. a) Etablir que la fonction , : t 7 t-1 (1 - t) -1 est lipschitienne sur le segment [0, 1]. On note A, un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-a-dire tel que : III.B.1) A l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver l'assertion lorsque les reels  et  sont strictement superieurs 2. III.B.2) Soient  et  deux nombres reels strictement superieurs a 2. Pour tout entier n strictement positif, on pose : k -1 1 n-1 k -1 un (, ) = 1- n k=0 n n Filière MP III.C - Formule des complements III.C.1) Etablir que la fonction  7 B(, 1 - ) est continue sur l'intervalle ]0, 1[. III.C.2) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q. III.B - On se propose d'etablir pour tout reel  > 0 et tout reel  > 0 la formule
a) Verifier que :
suivante :

Z + 2p
()()
2p + 1
2p + 1
t
dt.
B(, ) =
.
,1-
= 2q
B
( + )
2q
2q
1
+
t2q
0
Page 2/4

t
(on pourra utiliser le changement de variable u =
.)
1-t

B(, ).
(iii)
B( + 1, ) =
+

(ii)

(i)

III.A.2) Prouver successivement pour tout couple (, ) de reels strictement 
positifs, les relations suivantes :

0

III.A III.A.1) Etablir que, pour tout couple (, ) de nombres reels strictement 
positifs,
la fonction t 7 t-1 (1 - t) -1 est integrable sur l'intervalle ]0, 1[.
Pour tout couple (, ) de nombres reels strictement positifs, on pose :
Z 1
t-1 (1 - t) -1 dt.
B(, ) =

Partie III - La premiere fonction eulerienne

a) Etablir que le rayon de convergence de cette serie entiere est egal a 1. On 
note S
la somme de cette serie entiere.
b) Prouver que, lorsque x tend vers 1 avec x < 1, alors : () . S (x) (1 - x) II.B.2) x1,x<1 lim (- ln x) II.B - Pour tout nombre reel  > 0, on note g la fonction definie sur 
l'intervalle
[0, +[ par la formule g (t) = e-t t-1 .
II.B.1) Verifier que la fonction g satisfait aux conditions du II.A.
En deduire que

MATHÉMATIQUES I

On considere la serie entiere

n=0

 n-1 xn .

+

n=0

 g (-n ln x) = ().

+

B(, ) = B(, )
Z +
t-1
dt
B(, ) =
(1 + t)+
0

A,
.
2n

n=0

 un (, )n+-1 xn .

+

A,
S
(x).
2 +-1

En utilisant le comportement des fonctions (S )>0 au voisinage du point 1, 
conclure
que :
()() = B(, )( + ).

|S (x)S  (x) - B(, )S+ (x)| 6

Deduire de la question 2.b) que, pour tout reel x, 0 6 x < 1, S (x)S  (x) = c) On reprend les notations de la question (II.B.2). Etablir que, pour tout nombre reel x de l'intervalle [0, 1[ : |un (, ) - B(, )| 6 b) Prouver que, pour tout entier n strictement positif : x, y  [0, 1], |, (x) - , (y)| 6 A, |x - y|. a) Etablir que la fonction , : t 7 t-1 (1 - t) -1 est lipschitienne sur le segment [0, 1]. On note A, un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-a-dire tel que : III.B.1) A l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver l'assertion lorsque les reels  et  sont strictement superieurs 2. III.B.2) Soient  et  deux nombres reels strictement superieurs a 2. Pour tout entier n strictement positif, on pose : k -1 1 n-1 k -1 un (, ) = 1- n k=0 n n Filière MP III.C - Formule des complements III.C.1) Etablir que la fonction  7 B(, 1 - ) est continue sur l'intervalle ]0, 1[. III.C.2) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q. III.B - On se propose d'etablir pour tout reel  > 0 et tout reel  > 0 la formule
a) Verifier que :
suivante :

Z + 2p
()()
2p + 1
2p + 1
t
dt.
B(, ) =
.
,1-
= 2q
B
( + )
2q
2q
1
+
t2q
0
Page 2/4

t
(on pourra utiliser le changement de variable u =
.)
1-t

B(, ).
(iii)
B( + 1, ) =
+

(ii)

(i)

III.A.2) Prouver successivement pour tout couple (, ) de reels strictement 
positifs, les relations suivantes :

0

III.A III.A.1) Etablir que, pour tout couple (, ) de nombres reels strictement 
positifs,
la fonction t 7 t-1 (1 - t) -1 est integrable sur l'intervalle ]0, 1[.
Pour tout couple (, ) de nombres reels strictement positifs, on pose :
Z 1
t-1 (1 - t) -1 dt.
B(, ) =

Partie III - La premiere fonction eulerienne

a) Etablir que le rayon de convergence de cette serie entiere est egal a 1. On 
note S
la somme de cette serie entiere.
b) Prouver que, lorsque x tend vers 1 avec x < 1, alors : () . S (x) (1 - x) II.B.2) x1,x<1 lim (- ln x) II.B - Pour tout nombre reel  > 0, on note g la fonction definie sur 
l'intervalle
[0, +[ par la formule g (t) = e-t t-1 .
II.B.1) Verifier que la fonction g satisfait aux conditions du II.A.
En deduire que

MATHÉMATIQUES I

1
X 2p
=-
2q
2q
1+X

k=0

q-1

.

2p+1
zk

i 2k+1
2q 

1
1
-
X - zk
X + zk

.

0

+

1

t2p
.
dt =
2q
2p+1
2q sin(
1+t
2q )

Partie IV - L'operateur d'Abel

.
  ]0, 1[, B(, 1 - ) = ()(1 - ) =
sin 

Deduire de (III.C.1) et (III.C.2) que :

Z

Filière MP

Z
0

1

f (xt)
dt.
(1 - t)

x n (())n
|| f ||.
(1 + n)

IV.B.2)

(())n
.
(1 + n)

n+

lim n

(())n
= 0.
(1 + n)

Pour tout nombre reel positif , montrer que :

|||An ||| 6

b) En deduire que, pour tout n > 1, An est un endomorphisme continu de E et que 
:

|An f (x)| 6

IV.B.1) On pose  = 1 - .
a) Pour tout entier n > 1, pour tout f element de E et pour tout x du segment 
[0, 1]
etablir l'inegalite suivante :

= A  An .
An+1

IV.B - On definit la suite (An )n>0 par la condition initiale A0 = id E 
(application
identite de E) et, pour tout n > 0, par la relation de recurrence suivante :

b) Montrer que, pour tout element f de E, la fonctionA f est une fonction 
continue
sur le segment [0, 1].
c) Etablir que l'application A : f 7 A f est un endomorphisme continu de 
l'espace vectoriel norme E et que :
1
|||A ||| = sup ||A f || =
.
1-
|| f ||61

A f (x) = x1-

a) Verifier que, pour tout f element de E et tout reel x du segment [0, 1],

A f (x) = 0 si x = 0
Z x
f (t)
A f (x) =
dt si 0 < x 6 1. (x - t) 0 IV.A.2) Pour tout element f de E, on note A f la fonction definie sur le segment [0, 1] par les formules suivantes : On pourra utiliser le resultat de la question preliminaire I.3. Page 3/4 Etablir que pour toute fonction f de E et pour tout reel x de l'intervalle f (t) ]0, 1], la fonction t 7 est integrable sur l'intervalle ]0, x[. (x - t) IV.A IV.A.1) Dans toute cette derniere partie, on suppose que  est un nombre reel appartenant l'intervalle ]0, 1[. III.C.3) En conclure que : c) Apres avoir verifie que, pour tout nombre complexe c departie imaginaire non 1 t - Rec est une prinulle, la fonction t 7 ln (t - Rec)2 + (Imc)2 + i arctan 2 Imc 1 mitive sur R de la fonction t 7 , prouver en utilisant judicieusement la relat-c tion (*) que : Z + 2p q-1 t 2p+1 dt = -i zk 2q 2q 1+t 0 k=0 (*) Etablir que : zk = e b) Pour tout entier k compris entre 0 et q - 1, on note : MATHÉMATIQUES I 1 X 2p =- 2q 2q 1+X k=0 q-1 . 2p+1 zk i 2k+1 2q 1 1 - X - zk X + zk . 0 + 1 t2p . dt = 2q 2p+1 2q sin( 1+t 2q ) Partie IV - L'operateur d'Abel . ]0, 1[, B(, 1 - ) = ()(1 - ) = sin Deduire de (III.C.1) et (III.C.2) que : Z Filière MP Z 0 1 f (xt) dt. (1 - t) x n (())n || f ||. (1 + n) IV.B.2) (())n . (1 + n) n+ lim n (())n = 0. (1 + n) Pour tout nombre reel positif , montrer que : |||An ||| 6 b) En deduire que, pour tout n > 1, An est un endomorphisme continu de E et que 
:

|An f (x)| 6

IV.B.1) On pose  = 1 - .
a) Pour tout entier n > 1, pour tout f element de E et pour tout x du segment 
[0, 1]
etablir l'inegalite suivante :

= A  An .
An+1

IV.B - On definit la suite (An )n>0 par la condition initiale A0 = id E 
(application
identite de E) et, pour tout n > 0, par la relation de recurrence suivante :

b) Montrer que, pour tout element f de E, la fonctionA f est une fonction 
continue
sur le segment [0, 1].
c) Etablir que l'application A : f 7 A f est un endomorphisme continu de 
l'espace vectoriel norme E et que :
1
|||A ||| = sup ||A f || =
.
1-
|| f ||61

A f (x) = x1-

a) Verifier que, pour tout f element de E et tout reel x du segment [0, 1],

A f (x) = 0 si x = 0
Z x
f (t)
A f (x) =
dt si 0 < x 6 1. (x - t) 0 IV.A.2) Pour tout element f de E, on note A f la fonction definie sur le segment [0, 1] par les formules suivantes : On pourra utiliser le resultat de la question preliminaire I.3. Page 3/4 Etablir que pour toute fonction f de E et pour tout reel x de l'intervalle f (t) ]0, 1], la fonction t 7 est integrable sur l'intervalle ]0, x[. (x - t) IV.A IV.A.1) Dans toute cette derniere partie, on suppose que  est un nombre reel appartenant l'intervalle ]0, 1[. III.C.3) En conclure que : c) Apres avoir verifie que, pour tout nombre complexe c departie imaginaire non 1 t - Rec est une prinulle, la fonction t 7 ln (t - Rec)2 + (Imc)2 + i arctan 2 Imc 1 mitive sur R de la fonction t 7 , prouver en utilisant judicieusement la relat-c tion (*) que : Z + 2p q-1 t 2p+1 dt = -i zk 2q 2q 1+t 0 k=0 (*) Etablir que : zk = e b) Pour tout entier k compris entre 0 et q - 1, on note : MATHÉMATIQUES I (id E - A )g = f . converge uniformement sur le seg- n=0 n An designe l'application f + 7 n=0 n An ( f ). + n=0 n An 0 f (t) dt. Pen . sin (A1-  A ) = P. sin Etablir que pour toute fonction polynomiale , (A1-  A )en = Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel n, x  [0, 1], P f (x) = Formule d'inversion d'Abel. Filière MP P. sin id E . sin · · · FIN · · · d) En deduire que l'operateur A est injectif. D  B = Montrer que D  B est bien defini et que : c) Soit D l'operateur qui a toute application continument derivable de [0, 1] dans C associe sa derivee. B = b) On pose B = A1-  A . Montrer que : || f ||61 |||P||| = sup ||P f || = 1. a) Montrer que l'endomorphisme P est un endomorphisme continu de E tel que : IV.C.3) Page 4/4 IV.C.2) Ce resultat suggere d'introduire l'operateur P defini sur E par la formule suivante : Z x IV.C - Pour tout entier naturel n, on note en la fonction monomiale t 7 tn . IV.C.1) Soit n un entier naturel. a) Calculer A en . b) En deduire que : en+1 . (A1-  A )en = sin  n + 1 ou (id E - A )-1 = + c) En deduire que, pour tout nombre complexe  non nul, l'operateur id E - A est inversible et que : b) Prouver que : ment [0, 1]. On note g la somme de cette serie de fonctions. n=0 n An f + Soient  un nombre complexe non nul et f un element de E. a) Prouver que la serie de fonctions IV.B.3) MATHÉMATIQUES I (id E - A )g = f . converge uniformement sur le seg- n=0 n An designe l'application f + 7 n=0 n An ( f ). + n=0 n An 0 f (t) dt. Pen . sin (A1-  A ) = P. sin Etablir que pour toute fonction polynomiale , (A1-  A )en = Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel n, x  [0, 1], P f (x) = Formule d'inversion d'Abel. Filière MP P. sin id E . sin · · · FIN · · · d) En deduire que l'operateur A est injectif. D  B = Montrer que D  B est bien defini et que : c) Soit D l'operateur qui a toute application continument derivable de [0, 1] dans C associe sa derivee. B = b) On pose B = A1-  A . Montrer que : || f ||61 |||P||| = sup ||P f || = 1. a) Montrer que l'endomorphisme P est un endomorphisme continu de E tel que : IV.C.3) Page 4/4 IV.C.2) Ce resultat suggere d'introduire l'operateur P defini sur E par la formule suivante : Z x IV.C - Pour tout entier naturel n, on note en la fonction monomiale t 7 tn . IV.C.1) Soit n un entier naturel. a) Calculer A en . b) En deduire que : en+1 . (A1-  A )en = sin  n + 1 ou (id E - A )-1 = + c) En deduire que, pour tout nombre complexe  non nul, l'operateur id E - A est inversible et que : b) Prouver que : ment [0, 1]. On note g la somme de cette serie de fonctions. n=0 n An f + Soient  un nombre complexe non nul et f un element de E. a) Prouver que la serie de fonctions IV.B.3) MATHÉMATIQUES I