Centrale Maths 1 MP 2006

 

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Notations et objectifs du problème

0 On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes a et b
(a>b>O), notée (anb) admet, dans un certain repère orthonormé, une
représentation paramétrique de la forme :

{x = a cost @)

y = b sint

(t décrit un segment de longueur 215 ).

? , . . . . , .
° 'ÎÉzn des1gne le C- espace vectoriel des fonctions continues sur IR, 2n- 
split--
diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini
par :

(fig) = à flÎ(zfiÎg(t)dt.

' Pour le E 2 , n EUR IN et f E %)2n on rappelle les expressions des 
coefficients de
Fourier exponentiels et trigonométriques de f , utiles dans le problème :

1 ft _ 1 - 1 ft
Ck(f) : fi [_ f(t)e k tdt, an(f) : & f_fif(t)cos(nt)dt.
' Dans tout le problème r désignera un nombre réel appartenant à

l'intervalle ouvert 10, 1[ et f ,. l'élément de %}n défini par: tl----> ll 
--re"l

On désignera aussi par % l'ensemble des suites réelles (an)
tout entier naturel non nul n , la relation :

n > 0 vérifiant, pour

r(2n+3)a --(l+r2)2nan+r(2n--3)a

n+l n--l"

et % r le sous--ensemble de % constitué des suites (an) telles que le rayon de
convergence de la série entière de terme général anzn soit au moins égal à 1 .

0 Dans tout le problème (on)
_ (271)
on : -----L-- pourtout nEIN.
4"(2n _ 1)
(Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter C'Ën le coefficient 
binomial).

n 2 0 sera la suite réelle définie par :

° La partie entière du réel x est notée [x] .

° L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation JE ne sera
prise en considération que lorsque 2 est un nombre réel positif.

' L'objectif du problème est l'étude de quelques problèmes asymptotiques rela--
tifs à la longueur, notée L(a. b) , de l'ellipse (Ea_ b) .

Partie I - Préliminaires

I.A - Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre t inter--
venant dans le paramétrage (1).

I. B- Prouver rapidement que /, et /
ciser la dimension de J.

,_ sont des R- espaces vectoriels et pré-

I.C - Donner sans démonstration l'énoncé précis du théorème de Parseval
relatif à un élément f E Y;,, (les coefficients de Fourier intervenant dans la 
for--
mule seront les coefficients exponentiels).

_ "
;
« --'

Si f et g sont deux éléments de _,, , prouver, en justifiant d'abord la conver-

gence absolue de la série, la formule:

(fig)_ " £O(f) + É b > 0 . On pose r : Zlî .
Exprimer, en fonction de a , b et de constantes, le réel î(Î}.b)' .
0 r

Partie II - Comportement asymptotique de la suite (a,,(f,))

II.A - Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme géné--

ral ocnz" . On notera f(z) sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0
et de rayon R .

II.B - Soit x un réel appartenant à l'intervalle ouvert ]--R, RI, . Donner une 
rela--

tion entre (1 -- x) f '(x) et f (x) . En déduire une expression simple de la 
restriction
de f a l'intervalle ouvert ]--R, R[ .

II.C -- On choisit maintenant un complexe 2 tel que lzl  00 :

2 n
A/1--r r
[ 3/2 '

TEÏL

En quoi-ce résultat corrobore-t--il votre cours sur les séries de Fourier ?

an(fr)--

Partie III - Approximation de L(a, b)

HLA - Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satis-
faite par f ,.. En déduire que la suite (an( f r)) appartient à $,...

III.B - Pour tout réel rE ]0,1[, on définit deux suites (An(r))nzû et (Bn(r))
par : '

nzO

A0(r) ='1,B0(r) : O,Ai(r) = --%(1+r2),Bl(r) : 1

et les relations de récurrence, valables pour n a 2 : ,

_ 2n(l+rfl) 2n-+1

An") - mAn--l(r>--(zn_5)An--ZW
_ 2n(l+rg) 2n-+1

En... - mBn--llr)"(zn_5)Bn--2W

on définit également, pour n 2 1 , la matrice M n(r) par :

2n+3
A (T') -- A _ (T')
" 2n--3 "'
Aln(r) :
Bn(r) _2n+3Bn_l(r)

2n--3

Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que 
cela
leur paraîtra utile, les expressions An(r), Bn(r), Mn(r),par An, Bn, Mn .

Pour n a 1 , déterminer une matrice Tn , dont les coefficients dépendent de n et
r , telle que pour toute suite (an) appartenant à % on ait :

an--l
an

Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant 
en

argument l'entier n et retournant an, An, Bn ; ao, al et r seront considérés

comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier ne l, on a:
Mn : M n--1T

nzO

n .

an

En déduire le produit matriciel M n( ) indépendamment de n

an+l

III.C - Soit (un)n EIN une suite réelle telle qu'existént une suite (en) tendant
vers 0 , un réel 1 , un réel le E JO, 1[ et un entier N vérifiant :

Vn >ÎV, --l

un--ll sklu

n--l +8n

Montrer que lim un : [.
n-->oc

III.D - Prouver que :
a0(fr)

l--r2

n-->oe

lim Anan(fr) :

Que dire de la suite de terme général Bnan( f ,.) lorsque n tend vers l'infini 
'?

a--b

\ a + b '
A l'aide des questions ILE et III.D, démontrer que la suite (ln) définie par :

III.E - Soient a et 1) deux réels tels que a > b > 0 . On pose r :

"> 3/2

l() : (a+b)n(l --r')

,)

ll : l0(1+"--) converge vers L(a, b).

r2(2n+ 1)(2n--3)

ln : (1+r2)ln--'_---ÂÎ(n_--l)_--_Z"_Ï

Partie IV - Étude de % et de %r

IV.A - Soit (an)n 2 0 un élément de % . Prouver l'égalité :
a1An--aan : a det Mn '

n+l

IV.B - Calculer det Tn puis det Mn . Donner un équivalent de det M n .

IV.C - Préciser la dimension et une base de %r. Soit (an) un élément de %
qui n'appartient pas à $,... Déterminer un équivalent simple de an lorsque

n ._ä oe .

ooo FIN ooo