Centrale Maths 1 MP 2003

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Dans tout le problème 1 désigne un intervalle non majoré de IR.
Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle
Ef= y'--y+f(x) = 0
où f est une application continue définie sur I et à valeurs réelles ou 
complexes.

On verra que l'espace des solutions contient une solution ['1 ayant un compor-
tement particulier en +00 .

Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place 
l'appli-
cation (D: f +---> f1 dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent 
diverses
propriétés de la fonction f et sont largement indépendantes.

Les symboles IR et C désignent respectivement les corps des nombres réels et
des nombres complexes.

Partie I - Étude d'un premier exemple

I.A- Pour xe IR, montrer l'existence et donner la valeur des expressions
suivantes :

+c>o _ +oo _
exJ e tcost dt, exJ e tsint dt
x x '

I.B - On considère l'équation différentielle
y'--y+cosx=0, xe IR
Déterminer une fonction Y0 bornée et une fonction g telles que la solution 
géné--

rale sur IR de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme
YÀ(x) : Àg(x) + Yo(x) , Où ?» EUR IR

Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différen-
tielle y' --y + sinx : 0 .

I.C - Soit H le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans
l'espace vectoriel des fonctions de IR dans IR, c'est-à-dire l'ensemble des 
fonc-
tions de la forme

x l---> occosx + Bsinx

où oc et B sont des nombres réels. Pour tout f G H , on définit f1 par la 
formule

Vx & IR, f1(x) : exJ+oee_tf(t)dt

I.C.1) Montrer que la transformation f |--> f1 définit une application
(I) :HeH. La linéarité de (D étant considérée comme évidente, donner la
matrice de (D dans la base de H constituée des fonctions cosinus et sinus.

I.C.2) On munit H de la norme

IlfIloo = SUP lf(x)l

erR

Déterminer une constante la > 0 telle que, pour tout f EUR Il , on ait

ufllloe5knfuoe

Pour f e H, on définit par récurrence la suite ( f n)
tout ne ]N', fn+1 = 'D(fn)-

nelN* où f1= CD(f) et pour

Étudier l'existence de la limite de cette suite relativement àla norme définie 
sur
H et déterminer la valeur de cette limite.

Partie II - Étude d'un deuxième exemple

On donne, pour x > 0 , l'équation différentielle

1
'-- +--=0.
y y x

II.A - Montrer qu'il existe sur l'intervalle J0+oe [ une unique solution Yo 
bornée
quand se tend vers l'infini et exprimer Yo(x) sous forme d'une intégrale.

Quelle expression donner àla solution générale Ya , où x & IR , l'indexation 
étant
telle que pour ?» = 0 , on ait la solution bornée Yo ? Étudier le comportement 
de
Y,(x) lorsque x tend vers () par valeurs positives.

On note %;, la courbe représentative de la solution Y,.

II.B - Pour tout point m(x ) du demi-plan x > 0 , on note Ym la solution de

m'ym

l'équation vérifiant Ym(xm) : ym et %m sa courbe représentative.

H.B.1) Déterminer l'ensemble % des points m tels que Y'm (xm) : 0. Même
question pour l'ensemble f des m tels que Y"m(xm) : 0 . Donner sans démons-
tration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles % et f .

II.B.2) Quelle est la place de la courbe %0 représentative de la solution Yo
par rapport aux courbes % et QÎ '?

00 --t
(on pourra faire des intégrations par parties sur Y0(x) : exf e--t--dt ).
X

II.B.8) Tracer sans explication sur un même dessin des ébauches des courbes

% , .Î , %0 , %M , %M ,ou 7*1 et M sont des réels respectivement négatif
et positif.

Partie III - La transformation c1>

On suppose maintenant que I est un intervalle ouvert de la forme ]a, + oo[ , a
pouvant être égal à --oo .

Dans le C-espace vectoriel %0(1, @) des fonctions continues sur I à valeurs
complexes, on considère le sous--ensemble

8={f la...--:La, lim f...:o}

x++oo x°'

Autrement dit, 8 est l'ensemble des fonctions f négligeables en + oo devant une
certaine fonction puissance x r--> ac°t (oc dépendant de f).

III.A - Montrer que 8 est un sous-espace vectoriel de %O(l , @)

Étant donné f EUR EUR et x e I , on considère l'équation différentielle
Efï y'--y+f(x) = 0

III.B - Montrer que E f admet une unique solution f1 & EUR définie par la 
formule

Vxe 1R,f1(x) = exfoee_tf(t)dt.

On définit l'application (I): 8 + EUR par (D( f ) : f1 ; elle est évidemment 
linéaire.

III.C - Soit (I)" la composée n fois de (I) avec elle-même. Pour f EUR 8, on 
pose
fn : ° f1

est--elle injective ? Montrer que l'image de (D est l'ensemble des applications
1
ge % (I. @) telles que ge EUR et g'e 8.

Partie IV - Fonctions bornées

Soit % l'espace des fonctions continues bornées sur IR à valeurs complexes.

% étant un sous espace vectoriel de EUR (défini au III), l'application (D est
définie sur % . '

IV.A - Montrer que pour tout ;" e% , l'équation différentielle E f a une unique
solution bornée f1 .

IV.B - On munit % de la norme
Hfll.. = Sllp{lf(t)l,îfEUR IR}

L'application (D est--elle continue pour cette norme ?

IV.C - Soit 3 (resp. % ) le sous-espace de % des fonctions ayant une limite
(resp. une limite nulle) en +oo, % le sous--espace des fonctions constantes.
Montrer que % et % sont des sous-espaces supplémentaires de $ .

Montrer que ces sous--espaces sont stables par (I) .

IV.B - Montrer, à l'aide du HID, que pour tout f e 3 , la suite ( f n) converge
uniformément sur tout intervalle [a, +oe[ vers une constante que l'on précisera
(couper l'intervalle d'intégration en exprimant que f a une limite en +00 ).

IV.E - Montrer que l'application linéaire CD: f +--> f] est une injection de % 
dans
le sous-espace des fonctions bornées de classe C1 sur [R.

L'application x +--> sin(x2) est--elle dans l'image de CD ? Préciser l'image de 
(I).

Partie V - Fonctions périodiques

Soit @ l'espace des fonctions continues 27t -périodiques.

V.A - Montrer que pour tout ;" e @ , l'équation différentielle E f a une unique
solution périodique f1 .

Cette fonction f1 est-elle somme de sa série de Fourier ?
V.B - Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes 0 k( f ) et 
c k( f 1) ?

V.C - Soit @@ le sous-espace des f EUR @ dont la valeur moyenne
27t
Co(f) = à]Û f(t)dt

est nulle et % le sous--espace des fonctions constantes. Montrer que @@ et %
sont des sous-espaces supplémentaires de @ .

Montrer que pour tout ;" e @ ,la suite ( f n) converge uniformément sur IR vers
une constante que l'on précisera.

V.D - Montrer que l'application linéaire CI) : f l--à f1 est une bijection de @ 
sur le

. , . . 1
sous-espace fil des fonct10ns 2n-per10d1ques de classe C .

V.E - On considère sur @ et @] les normes N1 et N 2 suivantes :

Zn , 27I 2
N1(f) = JO 1f(t>ldt. N2(f) = /jÛ If(t)l dt

Les applications CD et (I)--1 sont--elles continues pour la norme N1 ? Même 
ques-
tion pour la norme N 2 .

Partie VI - Fonctions polynomiales

Soit d un entier naturel et Wd le C-espace vectoriel de dimension d + 1 des
fonctions polynomiales de IR dans C à coefficients complexes de degré inférieur
ou égal à d .

VI.A - Soit une famille & : (ë0, ëd) de d + 1 nombres réels distincts. Pour tout
f & .ÿÿd , on pose

Në = sup \f<ë.-->1

OSi£d

Montrer que c'est une norme sur Wd .

VI.B - Soit une suite de fonctions polynomiales de Wd

d d--l
xi-->fn(x)=adnx +ad_lnx +...+a0n

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( ;" n) converge simplement sur @,
(ii) la suite ( f n) converge uniformément sur tout compact de (L',

(iii) il existe d + 1 nombres réels distincts &... ëd tels que, pour tout indice
0 S i sd , la suite (fn(&i)) converge.

(1V) chacune des d + 1 su1tes numer1ques (ai, n)n EUR 1N' pour () s i s d 
,converge.

VLC - Pour tout f e Wd , montrer que l'équation différentielle E f a une uni-
que solution f1 : CD(f) dans Wd.

On note encore (1): f r--> f 1 ; (D est considéré ici comme un endomorphisme de

f%"@d .

VI.D - Pour f fonction polynomiale de degré d, on forme la suite de fonctions

polynomiales ( ;" n) où fn : "( f ) . Cette suite vérifie-t--elle les 
conditions équiva-
lentes de VI.B ?

ooo FIN ooo