SESSION 2023 MP3M2
CONCOURS
COMMUN
NP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
|
MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en évidence
des résultats.
. _ Ne pas utiliser de correcteur.
« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
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EXERCICE 1
On note E=R;[X|.
Dans cet exercice, on pourra utiliser sans démonstration que pour tout entier
naturel n, la fonction
+ 00
x+ x"e * est intégrable sur [0,+x| et [ x'e *dx=n!.
0
Q1.
Q2.
QS.
Démontrer que l'on définit un produit scalaire sur E en posant, pour tout
couple (P,Q) de
polynômes de E, (P|Q) - | _ P(x)Q(x}e "dx. On notera | | la norme euclidienne
associée.
0
Déterminer le projeté orthogonal de X? sur F = R [ X] noté P-(X°).
2 2
-- | puis calculer le réel
2
justifier que 2-02) x? -|P-(X2)
+00
inf [ (x? - ax - bYe *dx.
(a,b)er? + 0
EXERCICE 2
Soit pe |0,1, q=1-p. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes à
valeurs dans N
définies sur un même espace probabilisé et suivant la même loi définie par :
VkeN,P(X=k)=P(Y=k)= pq".
On considère les variables aléatoires Z et 7 définies par Z =sup(X,Y) et 7
=inf(X,Y).
Q4. Pour tout couple (m,n) d'entiers naturels, déterminer P((Z-m)"{(T=n)) en
distinguant
trois cas: m>n,m 1 sont des matrices de projecteur
puis calculer IT, +5I1,, 114 +11, et I1411.
On rappelle le lemme de décomposition des noyaux :
Si Pi,P,..,P. Sont des éléments de CIX] deux à deux premiers entre eux de
produit égal à
T, Si u est un endomorphisme de E alors :
Ker|T(u)|=Ker(P;(u))® Ker(P,(u))®...®Ker(P,(u)).
L'objet de cette question est de démontrer le cas particulier r = 2.
Soit u un endomorphisme de E et soit P et Q deux polynômes premiers entre eux.
Justifier que Ker(P{u))Ker| (PQ)(u)| (de même, on a : Ker(Q(u)) À;p; (décomposition spectrale de u).
TI
i=1
m
Q15. Démontrer que X = SAS C0
j--1 (@} (4 )
4/5
Q16.
Q17.
Q18.
Q19.
Q20.
Exemple : on considère la matrice À = 1 dl
1 ---1 -1 7
a) Justifier que la matrice À est diagonalisable et calculer la matrice AZ.
b) En déduire le polynôme minimal zx, de la matrice À puis la décomposition
spectrale de la
matrice À. On notera II, et II, les matrices des projecteurs associés.
c) Calculer, pour tout entier naturel q, AY en fonction des matrices II, et Il).
On note C[v] l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme v d'un C-espace
vectoriel de
dimension finie.
Démontrer que la dimension de lespace vectoriel C[v| est égal au degré du
polynôme
minimal 7, de l'endomorphisme v..
m
On revient au cas u diagonalisable avec 7,, = | | (X -- 1;).
i=1
Démontrer que la famille (P4,P2,...,Pm ) des projecteurs associés à u est une
base de l'espace
vectoriel C[u].
Dans le cas d'un endomorphisme u non diagonalisable, la famille (P4, P2,....,
Pm) des
projecteurs associés à u est-elle toujours une base de l'espace vectoriel Cu] ?
Nous avons vu que si u est un endomorphisme de Æ diagonalisable, il existe m
m
endomorphismes non nuls p; de E, tels que pour tout entier q on ait uY = D Ab;
i=1
Nous allons étudier une « réciproque ».
Soit u un endomorphisme de E, C -espace vectoriel de dimension finie. On
suppose qu'il existe
m endomorphismes non nuls f; de E et m complexes 4,,4,,..,1,, distincts, tels
que pour tout
m
entier naturel q on ait uY = D A
i=1
Démontrer que u est diagonalisable.
FIN
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