CCINP Maths 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Matrices à valeurs propres sur la diagonale
Principaux outils utilisés algèbre linéaire
Mots clefs matrices, valeurs propres
algibreriduction

Corrigé

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

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s trs

st trsés

  t ttr  s r rt à  rté à  rés t à  s  
rét
  t st é à rérr  q t  sr êtr  rrr éé   sr sr
s  t r rsr s st  qt s rss s tts q  été é
à rr

    PP    
s trs s t s trs trrs st s s tr  trs
t rs rs rrs sr    rè stérss  trs ért
tt rtrté
s  rè tts s trs st à ts rés t n st  tr n > 2
 r q tr A = (aij )  Mn (R) st  tr à  rr s s
ô rtérstq st sé sr R t s ss trs  st ss rs rrs
  ê rr  tté stàr s  ô rtérstq  A st
A (X) =

n
Y
(aii - X).
i=1

 rr tr  réé  A st  P r A st  tr à  rr 
tr En s s trs  Mn (R) à  rr

 P

1 -1

- 
 t   ré t M () = 0 2
1 1 2-

 r  t  ét s s  ô rtérstq   tr
M () étrr q r tt   tr M () st  tr à 
rr
 s st s rs   r sqs  tr M () st s 

0 0 -1
  sèr  tr A = 0 0 0  tt tr tsétrq A st 
1 0 0

tr à  rr 

s n = 2

étrr E2 s trr q E2 st  rt ré  M2 (R)

n=3

 r  t éssr t sst r q tr à  rr st
rs r    tr à  rr    M3 (R)
rs t t q A-1 st ét  tr à  rr  r A-1 
 t A = (aij )  tr  M3 (R) étrr q A st  tr à  rr
s t st s  ér s  rrétés sts 
det A =

3
Y

aii

t a12 a21 + a13 a31 + a23 a32 = 0.

i=1

tst   tr
 rr  rt  rçs q à rtr  tr A = (aij )  M3 (R) tst s
 tr st  st s  tr à  rr  sèr q rt
ss     étrt
 rr st t rt sr  tr  st s é érr sr 
  rr   tr Pr s trs sts qr s
trs à  rr 

-1

A1 = -3
0

4

0
A4 =
-2

0 3
5 2 2
2 3 A2 = -8 4 0
0 2
1 1 4

2 0
1 1 1
2 0 A5 = -1 1 1
-2 2
-2 3 6

0 1 0
0
A7 = 0 2 1 A8 = 0
1 0 3
1

1 -1 4
A3 = 0 2 -4
1 1 -2

2
0 2
A6 = -2 4 2
2 -2 2

1 0
0 0 .
0 1

 trr  t éssr t sst sr s rts
a12 a21 ,

t a23 a32

a13 a31

r q tr A = (aij )  M3 (R) à  rr rs st t q
A-1 st ét  tr à  rr   st  r tt
tr ss rr à  rr

 P   P 

  M =

A B
0 C

st  tr  Mn (R) r s s trs A t C étt s trs

rrés étrr q
det M = (det A)(det C)

 rr tsr s trs r s

Ir 0
0 C

t

A B
0 Is

 t s réss

sr s ts s trs q trt
 r    tr M à  rr  M4 (R) tr 4 × 4 s
 s s sts 
  tr M tt tr rés  s  qr rèt  ér
 M =

A B
0 C

ù s trs A, B t C st tts s trs  M2 (R)  t

t  tr   qr rèt  ér

  PP

  A st  tr  Mn (R) à  rr étrr q r tt  (a, b)
 rés s trs aA + bIn t s trs a tA + bIn st r s trs à 
rr
   t Gn s s trs à  rr rss étrr q Gn st
s s En 

trs trss

  tr trs st éssrt  tr à  rr 
 str q tr à  rr st trs
 étrr  t éssr t sst r q tr  Mn (R) st
s à  tr à  rr
 étrr q tt tr  Mn (R) st s   trs à  rr
En st  sss tr  Mn (R) 

 tr Sn  sss tr  Mn (R) ré s trs sétrqs t An  ss
s tr  Mn (R) ré s trs tsétrqs

t A = (aij )  tr  Mn (R) étrr tr(t AA)

 t A = (aij )  tr  Mn (R) sétrq t s rs rrs st tés
1 , ..., n 

st rér

trs sétrqs à  rr
étrr q

n X
n
X
i=1 j=1

a2ij

=

n
X

2i 

i=1

 étrr s s trs sétrqs rés à  rr

trs tsétrqs à  rr
t

A  tr tsétrq  Mn (R) à  rr

étrr q An = 0 t r t AA)n 
str q  tr t AA st s s q t AA = 0
r q A st  tr 

    P   

En

st rér

qr  s  An     éstrt  rés st
 t F  sss tr  Mn (R) t q  t F  En 
étrr q
dim F 6

n(n + 1)
,
2

r   rr tsr dim (F + An )
 st  s   sss tr F  Mn (R) ért F  En 
 étrr  sss tr F  Mn (R) ért F  En   s 
s t q F  st s stté qt  trs trrs
  éé