CCINP Maths 1 MP 2022

SESSION 2022

QE n

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. *_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème dont les parties sont largement indépendantes. 1/5 EXERCICE M. Toutlemonde habite dans un immeuble dont la porte d'entrée est sécurisée par un code à 4 chiffres dont chacun est compris entre 0 et 9. Malheureusement, il se trouve devant cette porte et il en a oublié le code. Q1. Q2. QS. Q4. QS5. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre pe [0,1] puis en déduire son espérance. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur le bon code ? M. Toutlemonde décide de trouver le bon code en procédant de la manière suivante : il essaye un code au hasard choisi par les codes non encore testés. On note X la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code. Déterminer la loi de X et donner son espérance. À la place de la stratégie précédente, M. Toutlemonde essaye des codes au hasard, sans se soucier du fait qu'il les ait déjà essayés ou non. On note encore X la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code. Déterminer la loi de X et donner son espérance. Informatique Pour Tous. Compléter, en langage Python, le script suivant pour qu'il simule une personne essayant de deviner le code 4714 : code=4714 n=int(input('Taper un code à 4 chiffres : ?)) print('Vous avez trouvé le code en '+str(k)+' essais.") Canne représente une instruction ou une partie d'instruction à compléter.) Pour ne plus oublier le code, M. Toutlemonde décide de l'écrire sur un papier qu'il garde dans sa poche. Pour ne pas se faire dérober le code il le crypte de la manière suivante : il remplace chacun des 4 chiffres par lui-même additionné de 5 et réduit modulo 10. Par exemple, le code 4714 est crypté 9269. Q6. Informatique Pour Tous. Écrire, en langage Python, une fonction crypte(m) qui reçoit en entrée une liste m de 4 chiffres et renvoie en sortie la version cryptée de cette liste. Par exemple, crypte([4,7,1,4]) renvoie [9,2,6,9]. 215 PROBLÈME - intégrales de Fresnel Dans ce problème, on étudie certaines intégrales et séries numériques reliées aux intégrales dites de Fresnel. Augustin Fresnel (1788-1827) démontra le caractère ondulatoire de la lumière et, pour cette raison, il est considéré comme un des fondateurs de l'optique moderne. Partie | - Intégrales fonctions de leur borne X Dans cette partie, on définit la fonction H par l'expression H60= | el"dt, où ei" 0 signifie exp(it" ). Q7. Démontrer que H est définie et de classe C" sur R. Donner une expression de H'{x). Q8. Étudier la parité de la fonction H. Q9. Démontrer que la fonction t+H>e/" est développable en série entière au 
voisinage de 0. En
déduire un développement en série entière de la fonction H au voisinage de 0, 
en précisant
l'intervalle sur lequel ce développement est valable.

Q10. Si x>0, démontrer que :

Q11. Pour x > 4x", en déduire que :

H(x)-H(V27)- LA [ "qu.

2x 2V2r 4J;, .
U

+00
Q12. En déduire que l'intégrale généralisée | ei" dt converge.
0

Q13. /nformatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction I(f,a,b,n) qui prend en entrée une 
fonction f

a valeurs réelles ou complexes, deux réels a et b et un entier naturel n et qui 
renvoie une
b

valeur approchée avec la méthode des rectangles de | f(t)at calculée avec ñn 
rectangles.
a

Q14. Informatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction H(x,n) qui prend en entrée un réel x 
et un entier
naturel n et qui renvoie une valeur approchée de H(x) calculée avec la fonction 
de la

question précédente. On rappelle que le code Python, pour ei" , estexp(1j*t**2).

315
Partie Il - Calcul des intégrales de Fresnel

Dans cette partie, on étudie la fonction g d'expression :

+00 SE)

g09= | Gt

un t-i
_x2(t2-i)

Pour cela, on pose f(x,t)= 2;
-- i

Q15. Si (xt) R?, déterminer les modules des nombres complexes e *"(#) et f2-j.

Q16. Démontrer que g est définie et continue sur R (on pourra utiliser un 
argument de parité).

Q17. Soit (x,), une suite divergente vers +0. À l'aide du théorème de 
convergence dominée,
démontrer que lim g(x,)=0. En déduire la limite de gen + et en ---.
n-- +00

Q18. Démontrer que g est de classe C! sur K..

+ 00

Q19. On admet dans cette question que l'intégrale [ e dt converge et est égale 
à Vr .

Vérifier que :
Vx>0, g'(x}=-2Vre x".

Q20. Décomposer dans C{X) la fraction rationnelle 2;
-- i

On admet ensuite que :

L [2 2X - V2 V2 2X+4V2 |

= x + -- -- X +
2 X2-X/2+1 X2-X/2+1 2 X2:+XV/2:1 X2+XV/2-1

X2-j 4

+ 00 + 00

Démontrer que [ df puis

L t2-V2t+1

déterminer la valeur de g(0).

dt =zV2. Donner la valeur de [ TT
_L t2+V2t+1

Q21. En déduire que :

Vx>0, g(x)= De 21/7 xH(x)

où la fonction H a été introduite dans la partie I.

el dt, de [
0

+00 +00 +00

cos(t? dt et de [ sin(t? dt .

Donner ensuite les valeurs de [
0

0

4/5
Partie Ill - Étude d'une série de fonctions

Dans cette partie, on étudie la fonction S d'expression :
+00 .
e "x
S(x)=
(x) 2 T

Pour tout entier naturel n non nul, on note f, la fonction d'expression f, (x)=

Inx
e

TT

Q22. On suppose que (a,) est une suite réelle positive décroissante de limite 
nulle et que

neN
(b, LA est une suite bornée. En admettant l'identité suivante :

N N
VNEN, > à (b, -b,:)= > (a, = &pat) bn + 8ns1dN -- Abo :
n=1

n=1

démontrer que la série Ù a, (b, -b,_,) converge.

Q23. Soient x e [0,27| et ne N°. Démontrer que :

X
" sin x
TT 2

Q24. À l'aide des deux questions précédentes, démontrer que S est définie sur 
10,27].

. ( nx
n i(n+1)x SIN ES
) | eikx 5 2).

Q25. On admet dans cette question que si ke N et xe [0,27] :

1
<---- . 3 4k2 dt eitk+1)x _ Sikx [ eix ixVk k  Nt Démontrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout x e |0,27| :

IX +20 à iEx
EUR Is(x) -[ qi
1