CCINP Maths 1 MP 2015

SESSION 2015 MPMA102

.:|=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites \

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I.

1.1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre À > 
0. Déterminer sa
fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.

EXERCICE II.

On note 1 = ]O, + oo[ et on définit pour n entier naturel non nul et pour x E I 
, fn(x) : e_"x -- 2e_2"x .

11.1. Justifier que pour tout entier naturel non nul n, les fonctions fn sont 
intégrables sur I et calculer

fo fn(x)dx. Que vaut alors la somme Z ( [) fn (x)dx) ?
1

n:

1/4

11.2. Démontrer que la série de fonctions 2 fn converge simplement sur I . 
Déterminer sa fonction
1121

+00 +00
somme S et démontrer que S est intégrable sur I . Que vaut alors / (Z fn(x)) dx 
'?
0 n=l

--[--00
11.3. Donner, sans aucun calcul, la nature de la série Z ( / ] fn (x) ]dx).

1121
PROBLEME.

Toutes les fonctions étudiées dans ce problème sont à valeurs réelles. On 
pourra identifier un poly-
nôme et la fonction polynomiale associée.

On rappelle le théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction 
continue sur [61,19] : si
f est une fonction continue sur [61,19], il existe une suite de fonctions 
polynômes (Pn) qui converge
uniformément vers la fonction f sur [61,19].

Le problème aborde un certain nombre de situations en lien avec ce théorème qui 
sera démontré dans

la dernière partie.

Partie 1. Exemples et contre-exemples

]
III.1. Soit il la fonction définie sur l'intervalle ]O,l] par: Vx EUR ]O,l] , x 
v--> --.
x

Expliquer pourquoi il ne peut être uniformément approchée sur l'intervalle 
]O,l] par une suite de
fonctions polynômes. Analyser ce résultat par rapport au théorème de 
Weierstrass.

III.2. Soit N entier naturel non nul, on note 9% l'espace vectoriel des 
fonctions polynômiales
sur [61,19], de degré inférieur ou égal à N. Justifier que 9% est une partie 
fermée de l'espace des
applications continues de [61,19] dans R muni de la norme de la convergence 
uniforme.

Que peut-on dire d'une fonction qui est limite uniforme sur [61,19] d'une suite 
de polynômes de degré
inférieur ou égal à un entier donné '?

III.3. Cette question illustre la dépendance d'une limite vis-à-vis de la norme 
choisie.

Soit R [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient N1 et 
N2 deux applications
définies sur R [X] ainsi:
pour tout polynôme P de R[X], N1 (P) = sup ]P(x)] et N2(P) : sup ]P(x)].
xEUR[--2,--l] xEUR[l,2]

III.3.a. Vérifier que N1 est une norme sur R [X]. On admettra que N2 en est 
également une.

III.3.b. On note f la fonction définie sur l'intervalle [--2,2] ainsi:
pour toutx EUR [--2, -- l], f(x) = x2, pour toutx EUR [--l,l], f(x) = l et pour 
toutx EUR [1,2], f(x) = x3.
Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [--2,2] et justifier 
l'existence d'une suite de

fonctions polynômes (Pn) qui converge uniformément vers la fonction f sur 
[--2,2].

2/4

Démontrer que cette suite de polynômes (Pn) converge dans R [X] muni de la 
norme N1 vers X 2 et
étudier sa convergence dans R [X] muni de la norme N2.

Partie 2. Application: un théorème des moments

III.4. Soit f une fonction continue sur [61,19]. On suppose que pour tout 
entier naturel k,

/b xkf(x)dx : O 55......05505
mo: 35 ...5 0558 50 3505050 5955959 50558 559...
_

......oCQ H 0 9 5059 859 0559 5958... 5... 5:+... @@ H 5=CQ + ... A5 | Ê=îô...v

------.5.5. 30559 550 ...5 0558 $; 005<9oe0 05955...95059 <090 ...0 350505 5 l /\w9 059 ......5589. <5......0 Ë...:.. ...----.5.5. ...U0305Q9 550 ...m 0558 Go...; 005<9æ0 555393095059 <090 ...5 350505 5 _IV /\w 059 ......5589- <5......0 ...o...:. 50550 5. U058508»505 55 300358 5555355550: 50 <<0...0509.000 05 5905000 5550 098 5950 550 5030593505 5900555508 55 309950 5...5559055955505 50 <<0590- 99500 5059 550 350505 0055550 059 EUR... :. ...U550 858 098 5950... \ ... E...: lv ...W 009 550 350505 0055550... 5 55 05509 5958... 505 55... 9 5 m È...:. 3 = 05 5000... oe......QXë H M... 5 59 A...V5Â... là...?» 950...555950 50 ...W0950855V. Îo ...:.3. mo: %: 550 <5550...0 509090 90050 05...<559 550 ...0... 5...5055m...0 hmA5...ä. _ ------.È.oe. U0505î9 550... 5059 859 900... Q V o... 5 A_oe= | 55_ V 503 m 5 Q.... 5 ------.Ë.v. mo: ...5 <9...55...0 509090 \ AV......5V... 5950599 0...50 005 005095500 <0550... ...5OEzu533. :....=. --:.:.P m0: 0 V 9 550559 5358309 0...5......... 9508 0... V o 8... 0...50 5059 9059 0055...0 î...3 m 6.........0... _5l5_ m @ 055550 CÀ5... IÏS_ A m... 5550 953099 îÀË lïä ... 5059 9059 0559 5 0590 o 9 5 85559 _... 15_ m @. E.:.Ï=Ë...æ@ä M... @@ 190820: n V m 0__9__8À 03g ------.Ë.0. ...u950599 55......... 00508 55 0559 5958... 50 8... 0...50 5059 85.... 5 N 50 9 859 900... 5 m 6... :... _OE=CJ @... | \A5V_ m mm... 550 0050...590. 55 50 ......050500 53