CCINP Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Calcul d'une intégrale double. Solutions d'une équation différentielle d'ordre 2. Convergence de séries via la transformation d'Abel.
Principaux outils utilisés intégrales doubles, équations différentielles linéaires, séries numériques, séries de fonctions
Mots clefs transformation d'Abel, séries alternées, coordonnées polaires
fonctionsiquations-diffirentielles-liniaires

Corrigé

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SESSION 2014 MPM1002

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

\ Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5

I : PREMIER EXERCICE

I.1. On note D = {(a:, y) EUR R2, 332 + y2 S 1}, calculer l'intégrale double // 
doedy.

1+az:2+y2
D

II : DEUXIEME EXERCICE

& et 19 étant deux fonctions continues sur R, on note l'équation différentielle
(E): 332 y" + a(a:) y' + b(a:) y = 0 .

On note S+ l'espace vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle ] = ]O, 
+oo[ et S _ l'espace
vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle J : ]--oo, O[ .

L'objectif de cet exercice est d'étudier la dimension de l'espace vectoriel S 
des fonctions y de
classe 02 sur R vérifiant (E) sur R tout entier.

II.1. Donner la dimension des espaces vectoriels S + et S _.

II.2. On note 90 l'application linéaire de S vers S+ >< S_ définie par g0(f) : (f],fj) où f; désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle ] et fj désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle J. Donner le noyau de l'application go et en déduire que dim S S 4. II.3. Dans cette question, on considère a(a:) : a: et b(a:) : O, d'où (E) : a:2y" + a:y' : 0 . Déterminer S+ et S _. Déterminer ensuite S et donner sans détails la dimension de S. II.4. Dans cette question (E) : a:2y" -- 6oey' + 12y : 0. Déterminer deux solutions sur I de cette équation de la forme 33 H 33" (oz réel). En déduire S+ puis S _. Déterminer S et donner la dimension de S. II.5. Donner un exemple d'équation différentielle du type (E) : 33%" + a(a:)y' + b(a:)y : 0 tel que dim S = 0 (on détaillera). On pourra, par exemple, s'inspirer de la question précédente. III : PROBLEME Première partie : convergence de séries par transformation d'Abel III.1. On considère une suite de réels (an), une suite de complexes (bn) et on note pour tout entier naturel 71 : Sn : Zakbk et Bn : 2 191EUR. k--0 k=0 En remarquant que, pour k 2 l, bk =Bk -- Bk_1, démontrer que, pour tout entier naturel 71 non nul, n--1 Sn : Z(ak -- ak+1)Bk + czan (transformation d'Abel). k=0 2/5 III.2. On suppose que la suite (En) est bornée et que la suite (an) est décroissante de limite nulle. III.2.a Démontrer que la série Z(ak -- ak+1) converge. 1:20 III.2.b En déduire que la série Zanbn converge. nZO III.2.C En appliquant le résultat précédent au cas où bn : (--l)", donner une démonstration du théorème des séries alternées, après l'avoir énoncé. III.3. Exemple. Dans cette question, 9 est un réel différent de 2k7r (k EUR Z) et oz E R. n III.3.a Calculer pour n entier naturel non nul, Ze k=1 ik9 in9 III.3.b Discuter en fonction du réel oz la nature de la série Z 7121 a | sin na: III.4. Soit la série de fonctions Zun où pour a: réel et n entier naturel non nul, un(aî) : ( ) 7121 \/H Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de R. On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes Ë un converge si et seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties imaginaires (c'est--à--dire ZRe(un) et Zlm(un) ) convergent. sin(na:) \/ñ +oo On notera U sa fonction somme : pour tout réel Q:, U (33) : î: n=1 Deuxième partie : convergence uniforme de séries III.5. On considère une suite de réels (an) et ( fn) une suite de fonctions définies sur une partie A de (C et a valeurs dans (C. On pose, pour tout Z EUR A et pour tout entier naturel n, Fn(z) : ka(z). k_0 On suppose que la suite (an) est décroissante de limite nulle et qu'il existe M EUR R+, tel que pour tout Z EUR A et tout 71 E N, an(z)l S M (on dit que la suite (E,) est uniformément bornée). III.5.a Démontrer que la suite (anFn) converge uniformément sur A et que la série de fonc-- tions Ë (a;EUR -- ak+1)Fk converge normalement sur A. 1:20 III.5.b A l'aide d'une transformation d'Abel, en déduire que la série de fonctions Zanfn converge uniformément sur A. 3/5 III.6. Exemple. sin(na:) \/ñ III.6.a Démontrer que pour a: E R, 1 -- e'"' : --21sin(æ/2)e'oe/2. Pour {L' réel et 71 entier naturel non nul, un(aî) : Démontrer que la série de fonctions Zun converge uniformément sur tout intervalle 7121 [a, 27T -- &] où a E ]O, 7T[. En déduire que la fonction U est continue sur l'intervalle ]O, 27T[. III.6.b Pour 79 entier naturel, on considère la série de fonctions Zvn où pour a: réel et 71 7121 sin(na:) sin(pæ) \/ñ Démontrer que, pour tout entier naturel 79, la série de fonctions Ë on converge 7121 entier naturel non nul, vn(a:) : uniformément sur l'intervalle [O, 7T] . On pourra, par exemple, utiliser sans démonstration, que : a: _ a: pour tout a: E {O, 7T], -- £ sm (î) . 7T III.6.C On se propose dans cette question de démontrer que la fonction U n'est pas continue par morceaux sur R. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que la fonction U est continue par morceaux sur R. i. Déterminer alors les coefficients de Fourier de la fonction U. On pourra utiliser pour p et 71 entiers naturels non nuls : P # n» / sin(nâî) sin(pæ)dæ = 0 et pour p = n / sin(nâî) sin(pæ)dæ : % 0 0 ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir a une contradiction. Troisième partie : convergence uniforme d'une série entière III.7 . Si Zanz" est une série entière de la variable complexe de rayon R > O, 
rappeler le
7120
résultat du cours concernant la convergence uniforme de cette série.

III.8. On considère la série entière de la variable complexe Z de rayon 1.

Z'ÏL
7121fi
III.8.a On note D = {21 EUR @, 1711 < 1}. Démontrer que la série entière de la variable réelle Ë ne converge pas uni-- 3371 7121 \/H formément sur ]--1, 1[ (en particulier la série Ë ne converge pas uniformément Z'ÏL 7121 \/H sur D). 4/5 III.8.b III.8.C III.8.d III.8.e On pourra confondre un point de R2 et son affixe. 77 Pour oz EUR }O, 5 {, on note Da l'ensemble des complexes z, tels que lzl S 1 et dont la partie réelle vérifie Re(z) S cos oz. Représenter géométriquement l'ensemble Da dans un repère orthonormé du plan. Démontrer que Da est une partie fermée de (C. On pourra écrire : Da : {(a:,y) EUR R2,a:2 +y2 S 1} fi {(a:,y) EUR R2,a: S cosa} et démontrer que Da est une partie fermée de R2. En déduire que Da est une partie compacte de (C. On note pour ?: EUR CC et n entier naturel, Fn(z) : 2 gif. k=0 Démontrer que pour tout ?: EUR Da et tout entier naturel n, si a: : Re(z) : 2 2 < \Fnls _ ___ .
1 a: 1 cosa

Démontrer que la série entière Ë converge uniformément sur tous les compacts

Z'ÏL
nZl\/ñ
Da (poura E }O,%{).

Fin de l'énoncé

5/5