m0u5°--.-- .? " 0@H5ñ--
... moe:9Ëäoeææ<ä È... ËmfiE - mao...äoËoe ËËÈ mu=o_z:u...-->_Ooe mz=:2°u ...::euzOU
'
s trs
st trsés
t ttr s r rt à rté à rés t à s
rét
t st é à rérr q t sr êtr rrr éé sr sr
s t r rsr s st qt s rss s tts q été é
à rr
ts
t F t t tré é r
F (x) =
+
X
(-1)n-1
n=1
nx
t t t é sr ]1, +[ r
(x) =
+
X
1
.
x
n
n=1
rè rs ét rsé qqs rrétés F t
s à rt rt q ts s réstts rt s rts st s très
r sr éts
éértés
étrr s ét F
sèr st ts (gn )n>1 és sr [0, 1[ r
gn (t) =
n
X
(-t)k .
k=0
étrr t Zs g (gn ) s tst térè r é
1
trr q F (1) =
g(t) dt ér r F (1)
0
étrr q sér ts
n>1
ér t F +
X (-1)n-1
nx
r rt sr [2, +[
érté F
t x > 0 tr s rts sr ]0, +[ t t 7
st
résr
ln n
nx
ln t
t ér q
tx
st t à rtr rt r ét x q
n>1
Pr n > 1 s fn : x 7
(-1)n-1
nx
a st ré strtt st étrr q sér s érés
X
fn r
n>1
rét sr [a, +[
ér q F st t ss C 1 sr ]0, +[
r r x > 1, F (x) - (x) t x t (x) ér q
F (x) = (1 - 21-x )(x) .
Ps ér t +
Prt sér tré r ê
r q rt sérs
X
n>1
cn =
n-1
X
an t
X
n>1
bn st sér
X
cn ù
n>2
ak bn-k s tt rt t étrr tr s r x sér
k=1
X
n>2
cn (x) rt
X (-1)n
n>1
nx
r ê
tt ét strr t q rt sérs rts st s
éssrt sér rt
s tt tt rt n és tr sérr é à t x ré strtt
st
t r
X
qr ss tr t s t F sér rt
cn (x) rsq x > 1
n>2
étrr q r x > 0 |cn (x)| >
1
2
4x (n - 1)
n2x
X
ér r 0 < x 6 tr sér s ù cn (x) n>2
x=1
ss s tt qst 7. q x = 1
1
X(n - X)
1
H
1
ér rss cn (x) t n-1 ù Hn = 1 + + · · · +
n
2
n
ésr ééts ss rt rt
s rt sér rq
étrr t st
ér tr sér
X
Hn-1
n
n>2
cn (x)
n>2
s sér à ét t s
1
ét sttq
rr t ln 2 t F (1) ét té à rr t s
t F s étrr ét té à rr t s
t x 7 1 - 21-x
ér rés a t b q sért étt à ln 2 t F (1) ts
q t r x s 1+
(x) =
a
+ b + o(1).
x-1
ét sttq s
sèr sér ts
X
vn ù vn st é sr [1, 2] r
n>1
1
vn (x) = x -
n
Z
n
n+1
dt
.
tx
str q r n > 1 t x [1, 2]
0 6 vn (x) 6
str q r x [1, 2] sér
X
n>1
st stt r
1
1
-
.
x
n
(n + 1)x
vn (x) r t rs =
+
X
vn (1)
n=1
rr r x ]1, 2] s
+
X
vn (x) à (x) t 1 - x
n=1
étrr q sér ts
X
vn r rét sr [1, 2] rr
n>1
tsr rst sér
ér q r x s 1+
(x) =
1
+ + o(1).
x-1
t
ér s réstts rééts rss à ln 2 t s
+
X
(-1)n-1 ln n
n=1
s
F (2k)
n
.
à s rs r
s tt rt s rs étr r rttt r r s
(2k) tr k > 1 Pr trt s ôs t rs r
R[X] és Rèr s ôs à ts rés
t ô t s t ssé
t q st (Bn ) R[X] st st ôs r s ér s
rrétés sts
B0 = 1,
n N
, Bn
= nBn-1 et
Z
1
Bn (t) dt = 0.
0
t q st t s st ôs r q tr (Bn )
st ôs r
s bn = Bn (0) bn st é nè r r
r B1 t B2 ér b1 t b2
r r n > 2 Bn (1) - Bn (0)
étr
étrr q r tt n N Bn (X) = (-1)n Bn (1 - X)
ét sér rr
t k tr tr ét t gk R s R r
x
r x [0, 2[ t gk st érq ér 2.
gk (x) = B2k
2
str s q st q st rés (an (k))n>0 t q r tt ré x
t
+
a0 (k) X
gk (x) =
an (k) cos(nx).
+
2
n=1
rss s ts
t
n>1
t
k > 1
an (k) =
trr q
(2k)(2k - 1)
k
(1)
-
B
(0)
-
an (k - 1).
B
2k-1
2k-1
(2n)2
(n)2
ér r
r q r
an (1)
n>1
t
r
k > 2
n > 1
an (k) =
(-1)k-1 (2k)!
.
22k-1 (n)2k
rrqr r st ss rétrr q tt r rst r r
s
étrr r
k = 1
k>1
rt tr
(2k)
t
b2k
t s bn
étrr tst r r q r tt
Bn (X) =
n
X
n
k=0
k
n N
bn-k X k .
ér rt rérr rttt r s rs r
ss r à étrr s ôs r ssés rr s s s
rr tt rt rttt tr r
n
bn
r tr
é
éé
