CCINP Maths 1 MP 2005

SESSION 2005 MPM 1004

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.
* * *
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à

prendre.
* * *

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants

PREMIER EXERCICE

Calculer les deux intégrales doubles suivantes :

a. ". (x+y)dxdy oùT={(x,y)eR2,xSl,y$l,x+y20}.
T

b. " |x+y|dxdyoùC=[--l, 1]X[_1, 1].
C

DEUXIÈME EXERCICE

Pour n entier naturel non nul, on considère l'équation différentielle linéaire
(En): xy'--ny= O.

1. Donner l'espace vectoriel des solutions de l'équation (E,,) sur chacun des 
intervalles
[=]--oe,0[etJ=]0,+oe[.

2. Dans le cas où n =1, déterminer uniquement par des considérations 
graphiques, l'espace
vectoriel des solutions de (E) sur R . Quelle est la dimension de cet espace 
vectoriel ?

3. Dans le cas où n 2 2, déterminer avec soin l'espace vectoriel des solutions 
de (En) sur R.
Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?

PROBLÈME : Autour du théorème d'ABEL pour les séries entières

Dans tout le problème :
(a,, ),,EN est une suite de nombres réels telle que la série entière Eau x" de 
la variable réelle x ait

pour rayon de convergence 1.
On désigne alors par Za,, la série de terme général a,, et par f la fonction 
définie sur

+oo

l'intervalle ]--l, 1[ par : f(x) : Za,, x" .

n=0
On désigne par (®) et (QQ) les deux propriétés suivantes possibles de la suite 
(a,,) :

(?,) :la série E a,, converge.

(OE2): la fonction f admet une limite finie, notée lim f(x), lorsque x tend 
vers 1 par valeurs
x-->l°

inférieures.

]. GÉNÉRALITÉS

1. En utilisant des développements en série entière « usuels », donner dans 
chaque cas, un
exemple de suite (a,,) telle que :

a. (a,,) vérifie (®) et (®) ;
b. (a,,) ne vérifie pas (0%) et vérifie (QQ) ;
c. (a,,) ne vérifie ni (®) ni (OE2) ;

d. La série Za,, x" ne converge pas uniformément sur l'intervalle ]----1, ][ 
(justifier).

2. On suppose que la série Za,, est absolument convergente ; montrer alors que 
la fonction f
+oo

admet une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures et que lim 
f(x) = a,, .
x-->l"
n=0

3. Exemple

(--1)"
n(n --- l)

Déduire de la question précédente la somme de la série z
1122

(on pourra utiliser une décomposition en éléments simples).

Il. THÉORÈME D'ABEL

4. On suppose dans cette question que la série Za,, converge.

On va montrer qu'alors la fonction f admet une limite finie lorsque x tend vers 
1 par valeurs
inférieures (théorème d'Abel).

+oo +00
On pose r,, : Z ak et pour tout x EUR [0,1], R,, (x) = z ak xk .
k=n+l k=n+l

a. Simplifier, pour tout x EUR [O, 1], Z(r,,+p_l --r,,+p)x"+p .
p=l

b. En déduire que, pour tout x E [O, l[, R,, (x) = r,, x"+l + x"+l (x ---- I)Z 
rn+pxp_l .

c. Soit un réel 8 > O , justifier qu'il existe un entier nO tel que pour tout 
entier n ?. no et tout

entier naturel p on ait lr r,,+p|2 < ---- , puis que: pour tout entier n > no et pour tout réel x EUR [O, 1], |R,,(x)| < 8. d. Conclure que la fonction f admet une limite lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures et +00 que lim f(x) : Za,, . x--H-- n=O 5. Que peut-on dire de la série Za,, si lim f(x) : +oo '? x--H-- 6. Exemple Retrouver le développement en série entière en O de la fonction x t----> 
arctanx puis utiliser le

r \ ; - Tt ' , . , .
theoreme d'Abel pour ecr1re ---- comme somme d'une ser1e numer1que.

4

7. Application ,
On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est 
une série

absolument convergente.
a. Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série 
convergente ?

(_ 11)"

ni

(On pourra examiner le cas u,, : v,,= pour n > 1).

b. Soit E u,,, E v,, deux séries de nombres réels, on pose pour n entier 
naturel,
Il

W,, = E uk v,,_k et on suppose que les trois séries E u,,, E v,, et E W,, 
convergent.
k=O

+oe +oe oe
Montrer, à l'aide du théorème d'Abel, qu'alors 2 W,, =Z u,, E v,,
n=O n=O n=O

III. RÉCIPROQUE DU THÉORÈME D'ABEL

8. Justifier que la réciproque du théorème d'Abel est fausse.

On cherche à rajouter une condition (Q) à la condition (QE) de telle sorte que 
si (an) vérifie

(OE2) et (Q) , alors elle vérifie (® ).

9. On prend pour (Q) la propriété : pour tout entier n, a,, Z 0.

Montrer que si (a,,) vérifie les propriétés (0132) et (Q) , alors elle vérifie 
la propriété ((Pl)

II

(on pourra montrer que 2 ak S lim f(x) ).

k=0 .r--->l--
Si on prend pour (Q) la propriété :
la suite (a,,) vérifie a,, =O(%) (la suite (a") est dominée par la suite 
(--1--) au voisinage de
n

+00),

on obtient le théorème de Littlewood dont on admettra la démonstration pour 
l'appliquer dans la
partie suivante.

rv. SÉRIES HARMONIQUES TRANSFORMÉES

Désormais, on admet et on pourra utiliser le théorème de Littlewood :
si la fonction f admet une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs 
inférieures et que

1 , .
a,, =O ----- alors la ser1e a,, converge.

n

Pour p entier naturel non nul, on considère une suite (s,,),,zl périodique de 
période p formée
d'éléments del'ensemble {--1, l}.

l

10. Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des Séries 
entières ES,, x"' et
1121
E....
n
[121
+00 +00
8 _
On pose, pour x E ]--l, 1[ : f(x) : Z--ÏÎ--x" et g(x) : ES,, x" 1 .
n=l n=l
, . . 8 . . . x
11. Etablir que la série Z--;-- converge 51 et seulement SI la fonction f : x 
|----> ( g(t) dt admet
0

nZl

une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.

12. Montrer que g est une fraction rationnelle à déterminer.

13. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série 
harmonique Z-ä--

n21

(__1)"

n

diverge et que la série alternée E converge en précisant sa somme.

nZl

p
14. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme E si 
pour que la

[=]

Que peut--on en conclure dans les cas où la période p est un entier impair '?

15. Exemple
Dans le cas où la suite (en)... est périodique de période 6 avec

+oo

, . 8

al =1, 82 =1, 83 =1, 84 =--l, 85 =--l, 86 =--1 , determ1ner --É'--
n=l

(il est demandé de détailler les calculs).

Fin de l'énoncé.