CCINP Maths 1 MP 2001

SESSION 2001 MPOO4

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Après une première partie consacrée à l'étude de la projection sur les convexes 
fermés de R" on
; ° \ 2 , \ . !
etablrra (dans lP*--. ) le theoreme du pornt fixe de Brouwer et quelques unes 
de ses consequences.

On suppose que PE." est muni de son produit scalaire canonique et de la norme 
associée, notés ( | )

n
et || , donc si x=(xl,...,xn) et y=(yl,...,yn) sont des éléments de R" on a: 
(xly)=îxiyi et
i=l

1/2 . . ° . , . . .
Hxll =(xlx) . SI X est une part1e de R" on notera X son interieur, 501t f:X 
--->R" on dira que

a E X est un point fixe de f si f (a) =u ; si ie {l,...,n},f,-- désigne la 
composante de rang i de f,

donc: f(x) : (fi(....r),,fl(x),......,f,,(r))

I. Proiection sur un convexe fermé de R"

2

1. Démontrer que si (x, y) EUR(ÎÊ'." , on a: |(xly)l Sl|xll "y" (inégalité de 
Schwarz). Montrer que

'(fly)l = "X! |

bic et ||a--bll=lla--cl

si et seulement si x et y sont colinéaires. Montrer que si {a,b,c} CR" vérifie :

yl

b+c
2

0. Soit alors 
5:[0,1]-->R

définie par: 3( (t)(x))=l|(x--P )--t (--y P(.\ ))l.l Montrer qu'il existe 
te]0,l[ tel que:

>< llx-- P< ()II2 6. Déduire de 4. et 5. que u : P(x) si et seulement si: u EA et (x--uly--u)SO pour tout y EUR A. 7. Soit {x, y} c: R" montrer que : (x-- y|P(x) --- P(y)) 2 HP(x) -- P( y)"2 . En déduire que P vérifie les propriétés suivantes : P est continue, P (R") = A, P(x) : x si x E A. 8. Montrer que si x e A, alors P(x) & A (raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une boule de centre P(x) , de rayon strictement positif, incluse dans A). Il. Théorème de Brouwer dans R2 Pour toute la suite du problème, on se place dans È...2 ; si r > O, B(O, r) 
désigne le disque fermé de
centre O et de rayon r et S(O,r) le cercle correspondant, on note B =B(O,l) et 
S = 5 (0,1). On

entend par application dérivable (ou C1 ou C2) de B (ou de B >< R) dans R2 (ou R), la restriction \ \ , ° - ; - / ° ° 2 3 a B (ou a B >< R) d une application derrvable (ou C1 ou C2) def1me sur un ouvert de R (ou R ), ' \ ') contenant B (ou B >< l"«zf...), a valeurs dans lPl" (ou F). A: Cas particulier d'une application de classe C2 Soit f:B --> lPlZ, on suppose que f est de classe C2 et que f(B) c B et on se 
propose de

montrer que f possède au moins un point fixe. On va raisonner par l'absurde et 
supposer que :
f(x) # x pour tout x E B.

...

9. Montrer qu'il existe p:B --->R,, unique, telle que: x+p(x)(x-- f(x))eS pour 
tout xe B.

Expliciter p, montrer qu'elle est de classe C2 et que p(x) = 0 si et seulement 
si x E S . On
80(j
aXi

pose : oc(x) : p(x)(x--f(x)) et 0t,--j(x) : (x) pour tout (i,j)e {1,2}2 et 
(p(x) : x+0t(x).

"%) Y----(Pl(x>

8 . ., .
10. Montrer que, pour tout x E B, la matrice âË_'2 8(Ëî est smguhere (on 
pourra, a cet
8x1 --( ) % ------ lPY définie par : J(t) : HB w(x,t)dxldx2 . Justifier 
l'existence de J et calculer
J(O) et J(1).

c) Montrer, grâce au théorème de Fubini que "B B(x)dxldx2 : 0.

(1) Soit g:B --9 P2 de classe C 2
. 8g__L< x)a--82( a81( x)---a----82( SÛIÔHÏ Il(g J...B ax1X)(ax2X)dxldX2 , 12(g)=JJB'--(ax2X)ax1X)XmdX2. Montrer que : zl=JÏ.'lg,(m,3)ä(mi)_glt )Ê--82( Jr--îs)lds-- JJ,gl @ & (x)dxidXz

8x2 8x2 8x18x2

2

On obtient alors, de façon analogue :

zz=flatfl)ô--ëtfi>--gla--gz ...-- >lds--u ,

8x1 8x1

)dx28xl (x)dx 1dx2

Montrer que: HB'y(x)dxldx2 :O et donc, que J est constante; montrer que ceci est

impossible.

0 ° ; / / \ ° ° ' ° 2
On a a1ns1 demontre le theoreme de Brouwer part1cul1er : toute application de 
classe C ,
de B dans B, a au moins un point fixe.

Tournez la page S.V.P.

B. Forme générale du théorème de Brouwer

On admettra la généralisation suivante du théorème de Weierstrass : soit F un 
fermé borné
non v1de de R , son g:F ---> F:. SI g est continue, il ex1ste, pour tout 8 > 0, 
une apphcat10n

g... de R2 dans Ê', de classe C2 , telle que : sup{|g(e)(x) -- g(x)l:x & F} S 8 
.

12. Montrer que si F est un fermé borné non vide de R2, et si :F --> R2 est 
continue, il existe,
8

pour tout £>O une application g... de R2 dans R2, de classe C2, telle que:

sup{Hg(e)(x) -- g(x)ll:x EUR F} S 8 .

13. Soit f 18 ----> B , f continue. Soit 8 > 0, il existe, d'après 12. une 
application f... de R2 dans

f(g)(X)--f(x)":x & B}S e.

S . [1 © 3132 _f(8)(X) .
Olt (£)--£a"... '--).'-.--'... , h(8)(.X) " 1+8 . MOHÏÏEURÏ que h(8)(B) C B et 
que .

R2, de classe C2, telle que : SUP{l

14. Montrer que si f : B --> B est continue, elle possède au moins un point 
fixe.

15. Soit r > 0, soit f :Ë(O, r) ---> _Ë(O, r), montrer que si fest continue 
elle possède au moins un

. . . l
pomt fixe (cons1dérer g: B --> R2, g(x) : ;-- f (rx) ).

16. Soit A un convexe fermé borné non vide de R2, soit f :A -->R2, f continue 
telle que:

f(A\Â)CA.

a) Montrer qu'il existe r > 0 tel que : A U f(A) <: _Ë(O, r). b) On associe au convexe fermé non vide A la projection P, comme cela a été défini en question 3. Soit alors h : B(O,r) --> lPÎ2 définie par h(x) : f (P(x)) Déduire 
de l'étude de

h que f possède au moins un point fixe dans A. On a donc le théorème de Brouwer
général : si A est un convexe fermé borné non vide de R2, et si f :A -->R2 est 
continue et

vérifie : f ( A \ A) c A , alors f possède au moins un point fixe dans A.

III. Quelgues conséquences du théorème de Brouwer

17.

18.

19.

20.

Soit f :B --> S , telle que : f(x) = x pour tout x E S. Montrer, en étudiant 
(-- f) , que f ne
peut être continue (ceci constitue le théorème de non rétraction).

Soit f:B-->lP-î2 telle que : f continue et f(x)=x pour tout xeS. Soit alors 
y6£f(B) ,
_y___--f(x )
"Y f(x

montrer, en étudiant g : B ----> lPä2 définie par: gx)( ,que y & B. En déduire 
que :

Bcf(B).

Soit h:S >< [0,1] --> S telle que : h continue et h(x,0) : x pour tout x & S . 
Supposons qu'il
existe y E S tel que : h(x,l)= y pour tout x e S ; soit alors f, de B dans S, 
définie par :

()[=||Î|| """... si x7£ 0.

y si x= 0
Montrer que f est continue et que cela contredit le théorème de non rétraction 
; en déduire

que (x ----> h(x,l)) ne peut être constante (on dit que S n'est pas 
contractile).

Soit : È'...2---->JË2 telle que: f continue, (f(x)|x)20 pour tout xeR2,
||f(X)II----|W+oe. Soit yelPä.ï soit r>O, on définit, si yOE f OE(Û,r)), 
l'application
y-- __f__

g(,.): Ë(O,Ï)--)Ëî2 par: g(l')x (X ): Ï--î_--||yf (x)--||

a) Montrer qu'il existe u... & S (O,r) tel que l'on ait :

{f(u...) a...) = (y la...) -- r

b) Montrer que f(R2) = lÊ12.

Y " f ("o-->)ll

Fin de l'énoncé.