Mines Physique et Chimie toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Circuit RL, satellites, thermodynamique. L'élément oxygène.
Principaux outils utilisés électrocinétique, second principe de la thermodynamique, problème à deux corps, atomistique, cinétique chimique, dosage
Mots clefs analyse dimensionnelle, impédance complexe, filtre passe-bas, fonction de transfert, diagramme de Bode, montage suiveur, loi de Kirchhoff, loi de Kepler, satellite, énergie potentielle efficace, force centrale, condition de réversibilité, méthode de Winkler, ozone, cFC, oxygène

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Physique Chimie

(toutes filières)

Mercredi 21 mai 2003 de 08h00 à 12h00

Barème indicatif : Physique environ 2/3 -- Chimie environ 1/3

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 14 pages numérotées 
1/14, 2/14, ...14/14
La dernière page (feuille annexe) est à découper et à joindre à la copie.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres
correspondante.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à 
l'attribution de
points.

Partie A : Étude de quelques montages

Une bobine réelle est un dipôle constitué par enroulement cylindrique d'un fil 
électrique. Elle est
caractérisée par son autoinductance L et sa résistance interne r.
La bobine est dite parfaite si sa résistance interne est négligeable.

A.]. Donner la relation entre le courant i qui traverse une bobine parfaite et 
la tension u--L à ses
homes (on précisera à l'aide d'un schéma les conventions d'orientation adoptées 
pour i et uL).

Les valeurs usuelles des inductances rencontrées s'échelonnent de quelques 
henrys à quelques
millihenrys. '

A.2. On se propose d'étudier la réponse d'un circuit (RL) à une tension en 
créneaux délivrée par un
générateur basse fréquence (G.B.F.).'

Le circuit représenté sur la figure 1 comporte une bobine parfaite d'inductance 
L, une résistance R
et un G.B.F. délivrant une tension en créneaux u représentée sur la figure 2.

Figure 1

O "PQ T 3sz 2T 5T!2 %

Figure 2

A.2.1. On définit la constante de temps 1:, exprimée en secondes, du circuit 
(RL) par une relation du
type "C = L°'.RB où oc et B sont deux constantes réelles. Par analyse 
dimensionnelle rapide, déterminer
la valeur des exposants ou et B (on raisonnera à partir des caractéristiques 
entre u et i).

A.2.2. Pour 0 S t < -- , établir l'equat10n d1fferent1elle regrssant les 
var1aüons de l 1ntens1te 1 dans le

2
circuit. L'intégrer en justifiant soigneusement la détermination de la (des) 
constante(s) d'intégra-
tion. En déduire l'expression de uL(t).
Tracer l'allure des courbes représentatives de i(t) et de uL(t) en précisant 
les valeurs vers lesquelles
ces fonctions tendent en régime permanent, ainsi que les pentes des tangentes à 
l'origine.

A.2.3. Déterminer complètement l'expression de i(t) et de uL(t) pour Î-- S t < 
T .

2

A.2.4. Le G.B.F. est réglé sur la fréquence f = 1,0 kHz, la bobine a pour 
inductance
L= 1,0H et R= 1,0.103 Q. Comparer la période T de la tension délivrée par le 
G.B.F. et la

constante de temps t du circuit. Tracer qualitativement l'évolution des graphes 
de i(t) et uL(t) sur
quelques périodes.

A.3. Dans le circuit de la figure 1, le G.B.F . est à présent en mode 
sinusoïdal. En utilisant les
analogies transitoire-alternatif écrire, à partir de l'équation différentielle 
établie en A.2.2., la loi

d'Ohm complexe liant les amplitudes complexes _l_]_ et [ respectivement de la 
tension aux bornes du

dipôle AB et de l'intensité du courant le traversant. En déduire l'impédance 
complexe _Z_ du dipôle
AB.

A.4. On s'intéresse au quadripôle de la figure 3, constitué de deux cellules 
(RL) enchaînées,
alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation oe.

L::

O
«fifi-""'
...-"=:
..:----

L %
dll----
"=

\\\\
È'--s\\\*
Figure3

A.4.1. En étudiant le comportement asymptotique du quadripôle aux hautes et 
basses fréquences,
préciser la nature du filtre ainsi constitué.

A.4.2. Déterminer la fonction de transfert _11 ( jx) de ce quadripôle en 
fonction de X = --L2 , après

R
avoir précisé la dimension de X.

A.4.3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, en le justifiant.
Tracer ensuite, sur les mêmes graphes, l'allure des courbes réelles gdB = f(log 
X), où gdB désigne le

gain en décibel, et (p = f(log X) où (p désigne l'argument de la fonction de 
transfert.

A.4.4. Comment modifier le montage pour obtenir un filtre dont la fonction de 
transfert s'écrirait
comme le carré de la fonction de transfert d'un filtre (RL) ?

FIN DE LA PARTIE A

Partie B : Étude du mouvement de satellites

Pour cette partie, vous aurez à compléter, et à rendre avec la copie, la 
feuille annexe se trouvant enfin de
sujet

La Terre possède un seul satellite naturel : la Lune. De nombreux satellites 
artificiels sont par
ailleurs placés en orbite autour de la Terre, dans des buts variés tels que les 
télécommunications, la
météorologie, la défense. . .

Cette partie se propose d'étudier quelques caractéristiques du mouvement des 
satellites terrestres.

Dans cette partie, on désignera par MT et RT respectivement la masse et le 
rayon de la Terre.
On donne RT = 6370 km, MT = 5,98.1024 kg.
On rappelle que la constante de gravitation universelle a pour valeur G = 
6,67.10'11 N.m2.lçg'2 .

B.]. Mouvement de la Lune autour de la Terre
On précise que cette question ne nécessite aucune connaissance préalable 
d'astronomie.

B.1.1. Le centre L de la Lune décrit, de manière uniforme, autour de la Terre, 
une orbite circulaire
de centre T telle qu'en un jour le segment [TL] balaie un angle de 0,230 radian.

B.1.1.a. Déterminer, en jours, la période TL de ce mouvement circulaire de la 
Lune autour de la
Terre.

B.1.l.b. Sachant que le rayon RTL de l'orbite circulaire décrite par la Lune 
est de 3,84.105 km, en
déduire la valeur de la masse de la Terre (on justifiera la réponse). Le 
résultat est--il cohérent avec
les données ? '-

B.1.2. On sait que la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, nous 
présente toujours la même
face. En déduire les caractéristiques du mouvement propre de la Lune.

B.1.3.a. Le schéma (1) de la feuille annexe représente les différentes phases 
de la Lune. On dit que
la Lune est nouvelle lorsque la face qu'elle présente à la Terre n'est pas 
éclairée. Identifier la
nouvelle Lune sur ce schéma, et préciser comment elle est alors vue depuis la 
Terre.

B.1.3.b. Le cycle des phases de la Lune, appelé lunaison, dure TN = 29,5 jours. 
Pour expliquer la
différence entre cette durée, et la période du mouvement circulaire de la Lune 
autour de la Terre, on
doit prendre en compte le mouvement de la Terre autour du Soleil.

Sur le schéma (II) de la feuille annexe, dessiner les positions de la Lune lors 
des nouvelles lunes
successives à t et t + TN. Dessiner aussi la position de la lune à la date t + 
TL.

Sachant que la Terre est en orbite circulaire de période TT = 365 jours autour 
du Soleil, retrouver la
valeur de TN = 29,5 jours pour la lunaison.

B.2. Quelques aspects de la satellisation
En l'absence de précision explicite, on négligera tout frottement dû à 
l'atmosphère sur le satellite.

B.2.1. On s'intéresse à un satellite artificiel, de masse m, en orbite 
circulaire de rayon R autour de la
Terre.

B.2.l.a. Montrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme, 
et exprimer
littéralement la vitesse vo. On exprimera d'abord vo en fonction de G, MT et R, 
puis en fonction de
go, RT et R, où go désigne l'intensité du champ de pesanteur terrestre à la 
surface de la Terre.

B.2.l.b. Le satellite SPOT (Satellite sPécialisé dans l'Observation de la 
Terre) est en orbite
circulaire à l'altitude h =' 832 km au--dessus de la Terre. Calculer 
numériquement la vitesse vo de
SPOT sur son orbite.

B.2.2. La vitesse de libération v1 d'un satellite est la plus petite vitesse 
qu'il faut lui communiquer à
la surface de la Terre pour qu'il aille à l'infini (en « se libérant » de 
l'attraction terrestre). Exprimer
vl en fonction de G, MT et'RT et calculer sa valeur.

B.2.3. Dans le cas d'une orbite circulaire du satellite autour de la Terre, 
montrer que l'énergie
mécanique E... du satellite est liée à son énergie cinétique Ec par : E... = - 
EC.

Si l'on tient à présent compte de la force de frottement de l'atmosphère sur le 
satellite, en déduire,
en le justifiant, son effet sur la vitesse du satellite.

B.2.4. Pour un satellite de masse m en mouvement (quelconque) autour de la 
Terre, et uniquement
soumis à la force gravitationnelle terrestre, l'énergie mécanique peut s'écrire 
de la même façon que
celle d'un point matériel en mouvement rectiligne placé dans un potentiel 
effectif Ugff(Ï) dont la
courbe représentative est donnée sur la figure 4 :

2
E = lm(9Ï] + U 817 (r) avec r la distance du satellite au centre de la Terre.

2 dt

EUR

(5)

(4)
(3)

(2)

(1)

Figure 4

Après avoir justifié que l'énergie mécanique E du satellite est une constante 
de son mouvement,
préciser, pour chacune des valeurs de E (notées de (l) à (S)) représentées sur 
la figure 4, la nature
de la trajectoire du satellite et celle de son état, lié ou de diffusion.

FIN DE LA PARTIE B

Partie C : Étude de quelques phénomènes irréversibles

Dans cette partie, les questions C.1., C.2. et C.3. sont indépendantes.

C.1. Préliminaire
Définir ce qu'est une transformation réversible. Donner deux exemples de 
phénomènes à l'origine

de l'irréversibilité d'une transformation.

C.2. Illustration du principe d'entropie maximale
Deux cylindres de même section S, contenant deux gaz qui peuvent être 
différents, sont fermés par

deux pistons étanches. Ces deux pistons sont solidaires en ce sens que leurs 
axes restent verticaux et
sont attachés aux bras d'un levier dont le point fixe est deux fois plus près 
du premier cylindre que

du second, comme indiqué sur la figure 5.
Les deux cylindres reposent sur une table qui conduit la chaleur (une table 
métallique) et a pour seul

effet de permettre les échanges de chaleur entre les deux systèmes, 
c'est-à-dire entre les gaz
contenus dans les deux cylindres. Le système complet formé par ces deux 
cylindres est isolé et n'est
pas soumis à une pression extérieure. Les capacités thermiques des cylindres et 
de la table sont

négligeables.

23

Cylindre 2

l'dl
_?ÆË...

W
#
;:

... ..

Èf?

Figure 5

C.2.1. Déterminer la relation imposée par la présence du levier sur les 
variations de volumes dV1 et
dV2 des deux cylindres.

C.2.2. Écrire l'expression de la variation infinitésimale (18 du système 
complet formé par les deux
cylindres en fonction des températures T1 et T2 des gaz contenus dans les deux 
cylindres, des
pressions P1 et P2 qui règnent dans les deux cylindres et des seules variations 
dV1 (variation de
volume du gaz contenu dans le cylindre 1) et dU1 (variation de l'énergie 
interne du gaz contenu
dans le cylindre 1).

C.2.3. Que vaut dS lorsque le système complet est à l'équilibre '? En déduire 
la relation entre les
températures T1 et T2, puis celle entre les pressions P1 et P2 des gaz dans les 
cylindres 1 et 2 lorsque
l'équilibre est atteint.

C.3. Échauffement d'un solide
On considère un solide de masse m = 1,0 kg, de capacité thermique massique c = 
10 J .kg'l.K'l, se

trouvant initialement à la température T1 = 273 K, placé dans une grande 
quantité d'eau (constituant
un thermostat) à la température T2 = 373 K.

C.3.]. Lorsque l'équilibre thermodynamique est atteint :
- quelle est la température du solide ?
- quelle est la température du thermostat ?

C.3.2. Déterminer la variation d'entropie AS...ide du solide lors de ce 
processus, en fonction de m, c,
T1 et T2 ; puis faites l'application numérique.

C.3.3. Déterminer la variation d'entropie AS... de l'eau lors de ce processus, 
en fonction de m, c, T1
et T2 ; puis faites l'application numérique.

C.3.4. En déduire la variation de l'entropie de l'univers ASunivm, constitué 
par l'ensemble
{solide + thermostat}, lors de ce processus ; puis faites l'application 
numérique.
Commentez votre résultat.

C.3.5. On découpe le processus précédent en une infinité de petits processus au 
cours desquels on

élève la température du solide de T à T + AT (avec AT << T) par contact avec 
une infinité de
thermostats de températures infiniment proches les unes des autres.

Montrer que, pour une étape intermédiaire, on peut écrire :
ASUÏIÏVQÏS : mc ln 1+£ _ AT .
T T + AT

, , .. AT . .
En developpant ce resultat au deux1eme ordre en ---- , montrer que AS...VEURrs 
est proportmnnelle a

T

T
température AT entre deux thermostats successifs tend vers zéro.

2
AT , . , , . . . . . . .
(-----) . En dedu1re que ce processus peut etre rendu rever31ble a la 11m1te ou 
la variation de

On rappelle que, lorsque x << 1 :

x2

Olnl+x zx------.

( ) 2
.(l+x)n z1+nx+sz.

2

FIN DE LA PARTIE C

Partie D : Chimie, autour de l'élément oxygène

L'oxygène est un élément d'une énorme importance, tant biologique 
qu'industrielle (respiration,
combustions ...). C'est, par ailleurs, l'élément le plus abondant (49,5 % en 
masse) dans l'écorce
terrestre. Cette partie s'intéresse donc à l'élément, à diverses molécules et à 
diverses réactions dans
lesquelles il intervient.

Chimie structurale

D.1.1. Donner la structure électronique de l'atome 120 dans son état 
fondamental.

D.1.2. L'oxygène existe sous la forme de trois isotopes de nombre de masse 
respectifs 16, 17 et 18.
Après avoir rappelé la définition du terme «isotope >>, préciser la composition 
du noyau de chacun
des isotopes de l'oxygène.

D.1.3. Le plus important des corps purs simples formés avec l'oxygène est le 
dioxygène 02.
Proposer une formule de Lewis pour la molécule de dioxygène.

L'ozone 03 est un gaz se caractérisant par son odeur forte (ozone, du grec 
azein : sentir). Proposez
une formule de Lewis pour cette molécule et préciser la géométrie de la 
molécule (on précise que la
molécule d'ozone n'est pas cyclique).

D.1.4. L'eau HZO et l'eau oxygénée, ou peroxyde d'hydrogène, H202 sont deux 
molécules
contenant l'élément oxygène.

Proposer une formule de Lewis pour ces deux molécules.

Une expérience amusante consiste à faire dévier de sa trajectoire un mince 
filet d'eau à l'aide d'une
règle électrisée. Comment interpréter simplement cette expérience '?

Solutions agueuses
Dosage du dioxygène par la méthode de Winkler

L'eau contient en permanence du dioxygène dissous ; ce dernier y est consommé à 
la fois par les
systèmes chimiques et biologiques qui s'y trouvent. Le dosage du dioxygène 
dissous dans une eau
donnée permet de déterminer sa qualité : une concentration en dioxygène trop 
faible est en effet
signe de pollution.

La méthode de Winkler, présentée ici, est une méthode de dosage en retour, par 
iodométrie, du
dioxygène dissous en solution aqueuse.

1°"étape : On place, dans un grand cristallisoir, destiné à récupérer l'excès 
de produits introduits,

un erlenmeyer de 250 mL rempli à ras bord de l'eau à analyser. On introduit 
également un barreau
magnétique. ,
On ajoute 1,0 g de soude (ou hydroxyde de sodium) NaOH et 1,4 g de chlorure de 
manganèse solide
MHC12(S). On bouche alors rapidement l'erlenmeyer en veillant à ne pas y 
emprisonner d'air, et on
agite le mélange pendant 30 minutes environ.

D.2.1. Écrire l'équation traduisant la précipitation des ions Mn2+, provenant 
du chlorure de
manganèse, et des ions hydroxyde HO', provenant de la soude, en hydroxyde de 
manganèse (II). Le
produit de solubilité correspondant vaut Ks = 2. 10'13 .

Montrer que les ions hydroxyde sont en excès par rapport aux ions manganèse 
(II) et calculer le pH

de début de précipitation en supposant une concentration initiale en ions 
manganèse de
5,0.10'2 mol.L'l.

Cette réaction peut être considérée comme quantitative, le manganèse au degré 
d'oxydation (Il) est
alors présent exclusivement sous forme de son hydroxyde.

ème :

2 etape : Le dioxygène présent dans l'eau oxyde alors Mn(OH)2(S) en Mn(OH)3(S) 
selon la réaction
quantitative d'équation, notée (l) :

4 Mn(OH)2(S) + O2(aq) + 2 H20 9 4 Mn(OH)3(S) (1)

Ceci se traduit par l'apparition d'un précipité brun dans l'erlenmeyer.

D.2.2. Quel est le degré d'oxydation (ou nombre d'oxydation) de Mn dans 
Mn(OH)2(S) et
Mn(OH)3(S) ?

Pourquoi a-t-on pris soin de boucher rapidement, et sans emprisonner d'air, 
l'erlenmeyer après
avoir...ajouté la soude et le chlorure de manganèse (Il) ?

D.2.3. Le but de la manipulation étant le dosage du dioxygène dissous, quel 
composé, de
Mn(OH)Z® et de Oz(aq), doit être en excès ?
On supposera cette condition réalisée pour le dosage de l'exercice.

3°'"°étape : On ouvre alors l'erlenmeyer, et on ajoute rapidement de l'acide 
sulfurique concentré.

Ceci a pour effet de rendre la solution acide et de dissoudre les hydroxydes du 
manganèse selon les
réactions quantitatives et rapides suivantes :

Mn(OH)3(S) formé + 3 I'I+ % Mn3+ + 3 H20 (2)
Mn(OH)2(S) + 2 H+ % Mn2+ + 2 H20 (3)

On admet qu'au pH où se trouve à présent la solution, le dioxygène dissous ne 
peut plus oxyder le
manganèse au degré d'oxydation (Il).

D.2.4. Pourquoi l'ajout d'acide sulfurique doit--il être rapide ? Est-il 
nécessaire de reboucher
l'erlenmeyer après cet ajout ?

4ème '

etape : On ajoute alors 3 g de iodure de potassium KI(S).

D.2.5. Écrire l'équation, notée (4), traduisant la réaction d'oxydoréduction se 
produisant entre les
ions iodure I' et les ions manganèse (III) Mn3+. Calculer sa constante 
d'équilibre. Cette réaction est-
elle quantitative '?

5èmeétape: On pipette alors exactement V0 = 50,0 mL de cette solution que l'on 
dose par une

solution de thiosulfate de sodium de concentration C = 1,0.10'2 mol.L"', en 
présence d'empois
d'amidon. Soit Ve le volume à l'équivalence.

D.2.6. Écrire l'équation, notée (5), traduisant cette réaction de dosage. À 
quoi sert l'empois
d'amidon ajouté ?

D.2.7. En utilisant les équations redox écrites, déterminer la relation entre 
la concentration initiale

en oxygène dissous dans cette eau, [O2(aq)], le volume équivalent Ve, le volume 
pipetté Vo et la
concentration en thiosulfate de sodium C.

D.2.8. On obtient un volume équivalent V6 = 11,0 mL. Déterminer la 
concentration en dioxygène
dissous dans cette eau. Qualifier l'eau dosée d'après le tableau présenté 
ci-après.

Classement Eau Eau potable Eau Eau médiocre
d'excellente industrielle
qualité

Usages Tous usages Industrie alimentaire, Irrigation Navigation,
souhaitables abreuvage des animaux, refroidissement.
' isciculture, bai. nade.

02 dissous en >7 5à7 3à5 <3
m_.L'1

D.2.9. En considérant les équations redox écrites, trouver la relation bilan 
entre O2 et I'. Quel est
donc le rôle des ions Mn3+ ?

Données :
Masses molaires (en g.mol'l) :
NaOH : 40 MnCl2: 126 O2: 32
Couples redox :
Mn"/ Mn2+ 12 /1' s4oô2' / s2032'.

Potentiels standards d'oxydoréduction :
Mn'+/ Mm2+ E1° = 1,51 v
I2 / I' E2° = 1,23 V

%=0,06 àT=298K

Cinétique chimique
Décomposition de l'ozone atmosphérique

L'air atmosphérique est un mélange de gaz dont les constituants essentiels sont 
le diazote et le
dioxygène. À ces deux constituants s'ajoutent en quantités variables, mais 
faibles, d'autres gaz dont
l'ozone 03. Cet ozone forme une fine couche protectrice permettant de filtrer 
des rayonnements
nocifs arrivant sur Terre.

Le but de cette partie est d'étudier le mécanisme de la décomposition de 
l'ozone, et l'influence des
chlorofluorocarbures (C.F.C.) sur cette décomposition (qui mène au problème 
actuel du « trou »
dans la couche d'ozone).

D.3.1. L'ozone est thermodynamiquement instable par rapport au dioxygène. Il 
peut se décomposer,
en l'absence de catalyseur, suivant la réaction très lente :

2 Ûa(g) 9 3 02(g)
pour laquelle on peut proposer le mécanisme suivant :

k1
O3.:: 02 + °O'
k...1

o,+°0°--îà--+zo,

D.3.l.a. Rappeler la définition d'un intermédiaire réactionnel. Illustrez votre 
définition d'un
exemple tiré du mécanisme précédent.

D.3.l.b. Déterminer la loi de vitesse de la réaction précédente en fonction de 
[03], [02] et des
constantes de vitesse. On appliquera pour cela le principe de Bodenstein, ou 
des états quasi-
stationnaires.

D.3.1.c. On dit que le dioxygène joue le rôle d'inhibiteur de cette réaction. 
Justifier cette
affirmation.

D.3.2. Il y a une petite vingtaine d'années, on a commencé à soupçonner les 
C.F.C. d'accroître cette
destruction de l'ozone atmosphérique. En effet, la vitesse de décomposition de 
l'ozone est
fortement accrue en présence de dichlore.

Le mécanisme proposé est le mécanisme de réaction en chaîne suivant :

C1, + 0, -À-> ClO' + (310; (l)
c10; + @, --kz--+ (310, + 0, (2)
(310, + 0, --'fâ--+ 010; + 2 o, (3)

(310; + 010; --k4--+ C1, + 3 o, (4)

(Le radical ClO' formé dans (1) se détruit sans participer à la propagation de 
la chaîne).

D.3.2.a. Rappeler les différentes étapes, ainsi que leur signification, que 
comporte un mécanisme de
réaction en chaîne. Identifiez-les dans le mécanisme ici proposé.

D.3.2.b. La loi de vitesse obtenue à partir de ce mécanisme peut s'écrire :

k
v = ,/Ê: k3 [0121"2[031".

Justifier alors le rôle catalytique du dichlore dans la décomposition de 
l'ozone.
D.3.2.c. On définit la longueur moyenne de chaîne, notée !, par :

l _ vitesse globale de décomposition de 03 _
vitesse d' initiation

Déterminer l'expression de l en fonction de [03], [Cl2] et des ki (i = 1, 2, 3 
ou 4). Quelle est
l'influence de [Clz] sur cette longueur de chaîne '?

D.3.2.d. Montrer, en utilisant la relation du 3.2.b., que la réaction globale 
obéit à la loi d'Arrhénius.
En déduire l'expression de son énergie d'activation en fonction des énergies 
d'activation des
différentes étapes.

FIN DE LA PARTIE D

FIN DE L'EPREUVE

FEUILLE ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

La feuille est à joindre avec la copie
( ! N'oubliez pas d'inscrire votre code candidat en bas dela page !)

Rayo ns du Soleil Denver quartier
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Pnemierqüarfier
Schéma (I)

; \\ _ Positi on de la Terme à la date t+TN

Position de la Terre à la date t

Schéma (11)

Code candidat : ....

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique et Chimie toutes filières -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et François-Xavier
Coudert (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm), Jérémie 
Mercier (ENS Lyon), Arnaud Gossart (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (ENS
Cachan).

Ce sujet se compose de quatre parties indépendantes couvrant les aspects les 
plus
importants du programme de première année :
· La première partie consiste en une étude simple d'une cellule RL puis de 
l'association en cascade de deux telles cellules. Cette partie est une 
application directe
du cours, sans raisonnement ou calcul délicat. Seule la dernière question invite
à une réflexion plus poussée mais qui reste tout à fait abordable.
· La deuxième a pour objectif de faire retrouver au candidat les 
caractéristiques
essentielles du mouvement des satellites autour de la Terre. Il s'agit également
d'un exercice d'une difficulté abordable, avec une dernière question faisant 
appel
à une réflexion originale à partir de la notion d'énergie potentielle efficace.
· La troisième consiste en une étude thermodynamique de phénomènes 
irréversibles sous forme de deux petits exercices. Après avoir illustré le 
principe d'entropie maximale, ce sujet permet de trouver comment chauffer 
réversiblement
un solide. Cette partie demande un peu plus de réflexion et de calculs que les
précédentes, mais elle est construite de telle sorte qu'une erreur se voit très
rapidement.
· La quatrième partie traite de la chimie de l'élément oxygène. Après avoir 
établi
les formules de Lewis de quelques composés oxygénés courants, dont le 
dioxygène, elle propose l'étude d'un titrage du dioxygène dissous en solution 
aqueuse.
Le protocole de titrage est relativement complexe, et chaque étape en est 
détaillée. Enfin, le sujet aborde le problème de la décomposition radicalaire de
l'ozone. On étudie sa cinétique, ainsi que l'effet catalytique des CFC 
(soupçonnés d'agrandir le trou de la couche d'ozone).

Indications
A.2.2 Pour calculer la (les) valeur(s) de la (des) constante(s) d'intégration, 
penser
au fait que l'énergie, en particulier celle emmagasinée par la bobine, est
nécessairement une fonction continue du temps.
A.4.1 Pour retrouver le comportement des éléments du circuit à hautes et basses
fréquences, penser à utiliser l'impédance complexe de chaque composant.
A.4.2 En général, on ne peut pas multiplier les fonctions de transfert de 
quadripoles montés en cascade. Préférer l'utilisation des théorèmes généraux 
pour
calculer H (j x).
A.4.4 Pour le montage demandé, penser à utiliser un montage à amplificateurs
opérationnels.
B.1.1.b Pour calculer la masse de la Terre, penser à la troisième loi de 
Kepler, dont
on redémontrera l'expression.
B.2.1.a Il est pratique de se placer dans la base de Frenet pour étudier les 
caractéristiques du mouvement du satellite.
B.2.2 Montrer que calculer la vitesse de libération du satellite revient à 
trouver
une condition pour que son énergie mécanique totale soit positive.
B.2.3 Pour établir la relation littérale demandée, penser au fait que le 
mouvement
étant circulaire, les résultats de la question B.2.1.a s'appliquent.
B.2.4 Compte tenu de la courbe donnée, de la définition de l'énergie totale et 
de la
contrainte imposée par l'existence du carré dans cette définition, rechercher
l'ensemble des valeurs accessibles de r et de dr/dt , et en déduire la nature
du mouvement, en se souvenant que l'on se trouve dans le cas d'une force
unique, centrale et en 1/r2 s'appliquant au système.
C.2.1 Penser à orienter les angles et les longueurs pour éviter les problèmes de
signes !
C.2.2 L'utilisation de l'identité thermodynamique donne rapidement la formule
demandée.
C.3.4 Attention : la transformation n'est pas réversible. On peut toutefois se 
rappeller que l'identité thermodynamique est, elle, valable dans tous les cas.
C.3.5 On peut habilement utiliser les résultats de la question C.3.4 pour 
établir
rapidement la relation demandée.
D.1.3 La formule de Lewis de la molécule d'ozone respecte la règle de l'octet, 
mais
elle comporte des charges formelles.
D.1.4 La molécule d'eau est un dipôle.
D.2.6 L'empois d'amidon forme un complexe bleu sombre avec le diiode.
D.3.1.b Le principe de Bodenstein s'applique à · O· , et s'écrit
d[· O· ]
=0
dt
D.3.2.d Les actes chimiques élémentaires (comme les étapes d'un mécanisme) sont
supposés suivre chacun une loi d'Arrhénius.

A.

Étude de quelques montages

A.1 Pour étudier la bobine de ce circuit, on se
place dans la convention récepteur, c'est-à-dire que
le courant traversant la bobine et la tension aux
bornes de celle-ci sont pris en sens opposé comme
indiqué sur la figure ci-contre. Avec cette convention, la relation entre uL et 
i est
uL = L

i

uL

di
dt

Dans le cas où l'on tient compte d'une résistance r non nulle pour la bobine
(ce qui revient à ajouter une résistance r en série avec l'inductance parfaite),
la relation s'écrit simplement
uL = L

di
+ri
dt

di
A.2.1 D'après la question A.1, on a uL = L . En utilisant les équations aux
dt
dimensions, on a donc
[U] = [L] [I] [T]-1
où U désigne une tension, L une inductance, T un temps et I une intensité. En 
outre,
la loi d'Ohm donne, concernant les dimensions,
[U] = [R] [I]
R désignant une résistance. En combinant ces deux équations, on obtient
[L] [T]-1 = [R]
Ainsi,

 = LR

-1

soit

=1
 = -1

A.2.2 Représentons le circuit étudié :

uR
i

U

GBF

R
L

uL

Avec les notations du schéma, la loi des mailles donne uL + uR = U. Or uR = R i 
(loi
d'Ohm) et avec la question A.1, il vient

di
+ Ri = U
dt
Comme pour 0 6 t < T/2, U = E, l'équation cherchée est
L

L

di
+ Ri = E
dt

Une solution particulière de cette équation est i = E/R puisque E est 
constante. De
plus, l'équation sans second membre associée à cette équation différentielle 
s'écrit
di
L + Ri = 0
dt

Rt
t
qui a pour solution
i(t) = I0 exp -
= I0 exp -
L

où I0 est une constante que l'on va déterminer. La solution de l'équation 
complète
est donc

t
E
i(t) = I0 exp -
+

R
À t = 0, on met en route l'alimentation (GBF) ; ainsi, auparavant, i = 0. Or, le
circuit contient une bobine dont l'énergie emmagasinée est E = L i2 /2. 
L'énergie
devant être une quantité variant continûment, il y a continuité de l'intensité 
dans la
bobine et donc dans le circuit puisqu'il s'agit d'un circuit série. Ainsi,
i(t = 0) = 0
En injectant cette condition dans la solution de l'équation complète, il vient
E
E
I0 + = 0
soit
I0 = -
R
R

E
t
d'où
i(t) =
1 - exp -
R

Rappelons que seule la solution de l'équation complète vérifie les conditions
initiales. C'est donc d'elle et d'elle seule qu'il faut se servir pour calculer 
la
constante d'intégration.
di
dt

LE
t
t
exp -
= E exp -
uL =
R

D'après la question A.1
d'où

uL = L

Le régime permanent est atteint pour t   où l'on a
i(t) ---
t

E
R

et

uL (t) --- 0
t

Les pentes des tangentes à l'origine sont, pour i(t) et uL (t),
di(t)
E
E
(t = 0) =
=
dt
R
L

et

duL (t)
E
(t = 0) = -
dt