ENAC Physique toutes filières 2006

Thème de l'épreuve Mécanique du point, électrocinétique, électrostatique, thermodynamique, électromagnétisme, optique géométrique
Principaux outils utilisés mécanique du point, montage linéaire à AO, champ et potentiel électrostatiques, lentilles minces, mouvement des particules chargées, thermodynamique du gaz parfait

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2006

CONCÇURS DE RECRUTEMENT
D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Ce sujet comporte :
o 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page d'avertissement
. 7 pages de texte numérotées de 1 à 7.

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE PHYSIQUE

A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT

L'épreuve de physique de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui 
sera corrigé
automatiquement par une machine à lecture optique.

1)

ATTENTION, u. NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à--dire épreuve de physique (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUEfiES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

XXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXX

6flL99'bffiël--G
Xxxxxxxxx .xxxxx
xxxxxxxx

UU UU UU
>< >< ><
<£ * <[ <:

Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POlNTE FEUTRE de 
couleur
NOIRE.

Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques-

tions est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 24 ques-

tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la 
feuille--réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,

C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 a 36, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Exemple l : Question 1 :
Pour une mole de gaz réel :

A) l)ing(PV) : RT , quelle que soit la nature du gaz.

B) PV : RT quelles que soient les conditions de pression et température.

C) Le rapport des chaleurs massiques dépend de l'atomicité.
D) L'énergie interne ne dépend que de la température.

Exemple ll : Question 2 : .
Pour un conducteur ohmique de conductivité électrique 0' , la forme locale de 
la loi d'OHM est :

_ É .. .. _ _ __ _
A) J'=g 8) j=aE C) E=o%' D) j=sz

Exemple lll : Question 3 :

A) Le travail lors d'un cycle monotherme peut être négatif.
B) Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source chaude et en restitue 
à la source froide.

T
C) Le rendement du cycle de CARNOT est 1 + --7--_--2--
1

D) Le phénomène de diffusion moléculaire est un phénomène réversible.

Vous marquerez sur la feuille réponse :

_ E:] _ E:] E:]
A B C D E
1 E:] [:::] :::! [:::i [:::1
:: _ :: t:: E::
A B C D E
2 :: [:::] t:: l::i ::
:: ::::i :: :: -
A B C D E
3 E:: t:: :: [::: ::::

AVERTISSEMEN TS

Dans certaines questions, les candidats doivent choisir entre plusieurs valeurs 
numériques.
Nous attirons leur attention sur les points suivants:

1 - Les résultats sont arrondis en respectant les règles habituelles (il est 
prudent d'éviter les
arrondis -- ou des arrondis peu précis - sur les résultats intermédiaires).

2 - Les valeurs fausses qui sont proposées sont suffisamment différentes de la 
valeur exacte
pour que d'éventuelles différences d'arrondi n'entraînent aucune ambiguïté sur 
la réponse.

Conformément aux notations internationales, les vecteurs sont représentés en 
caractères gras.

QUESTIONS LIEES

[1,2,3,4,5,6]
[7,8,9,10,11412]
[13,14,15,16,17,18]
[19,20,21,22,23,24]
{25,26,27,28,29,30]
[31,32,33,34,35,36]

1. Deux corps assimilés à des points matériels A, et A2 , de masses respectives 
ml et 1712 , évoluent
isolément du reste de l'univers sous la seule action des forces de gravitation 
qu'elles exercent l'une

sur l'autre. On note C le centre de masse du système, r, : CA, et r2 : CA;_ les 
rayons vecteurs
des deux corps et ÿ % 6,67 >< 10"11 8.1 la constante de gravitation 
universelle. Ce problème, a

deux corps, se réduit dans le référentiel galiléen R* du centre de masse, à 
l'étude du mouvement
d'un point matérielfictif A de masse ,a, de rayon vecteur r = CA : rl ---- r2 
(Fig. ci-dessous),

soumis àla force Fg : ----Çmlmzr/HrH3 .

Exprimer ,u en fonction de mi et mz.

A) ,u : ml + mz C) ,a : (mlmz)'/2

1 1 "" 1 1 "'
B)n=(----+------) Dlu=(--------)
1711 [712 7711 1712

2. Quelles sont, au cours du mouvement de A , les grandeurs conservatives?

A) L'énergie mécanique de A C) L'énergie cinétique de A
B) L'énergie potentielle de A ' D) Le moment cinétique de A en C

3. Le référentiel R* est mum du repère cartésien {C, ex, e,,, e }. Le mouvement 
de A s'effectue dans
le plan (C, ex, ,e,). On désigne respectivement par 7 -- --]]r}] et cp- - e,,r 
,la coordonnée radiale et
l'angle orienté, du système de coordonnées polaires. Exprimer l'énergie 
mécanique EUR,,, de A .

l _ , _ Çm m 1 2 Qm m
A) g... : î"("2 + r"902) -- I}, ' C) 6... = îu-- ,} '

1 . .. Qm m 1 m m
B) 5... = îM(r2 +r?ço) -- ; ' D) & = 5Mr'" +f @ + 9 ,À. 2

4. Donner l'expression de l'énergie cinétique &, de A en fonction de r(ço), 
dr/dcp, [L et L, la
composante sur l'axe (C, ez) du moment cinétique de A en C :

#L2 1d2'" L2 12 dr 2
A 5: Z 1 " __ 2 __
2
LL2 ld2r D)S=MLZ 1+_l_(dr)2
B) 5k= 2--72 <1+ l--"îdç02 " 2,,2 dçD

5. En introduisant la fonction u(ça ); ---- l/r(ço ) dansl es expressions 
précédentes, on établitl' équation
différentielle suivante: d2 u/ d ç02 + u- -- l/p. Expliciter p.

7
,uL; (] m , 1732 L_2 Çm; m 2

A = C :
)'D 2Çm;mz + 25... )'D 2,uÿnan + 25,,,
L2 lemz
B = _____z___ =
) [? ,uÿmmaz D) }? 25...

6. Le système à deux corps constitué par une sonde interplanétaire et la Terre, 
que l'on assimile a
des points matériels, est supposé isolé du reste de l'univers. La sonde, de 
masse ml négligeable
devant celle de la Terre, se confond avec le point matériel fictif A 
précédemment étudié, tandis
que la Terre, se confond avec le centre de masse C du système. Calculer la 
vitesse de libération v,
de la sonde dans R* à une altitude de 400 km pour une masse m2 = 5,98 >< 1024 
kg de la Terre,

supposée sphérique, de rayon R7 = 6 470 km.

A) U;: 10,8 km.s--' C) v,==10800km.s'l
B) v;=341km.s"1 D) v,...--=38800km.5"l
7. Sur le circuit représenté ci--dessous, les résistors ont des résistances de 
valeurs R, = 4,7 kQ,

R2 = 5,6 M), R3 = 2 kQ, et le condensateur, une capacité de valeur C = 15 nF. 
L'amplificateur
opérationnel est supposé parfait et fonctionne en régime linéaire.

Déterminer le facteur d'amplification en tension AO : u,/u, , en régime continu 
établi.
A) Ag : --0,84 B) AO = --l,2 C) AO : 0,84 D) AO : 1,2

8. Quelle est la fréquence de coupure fo à --3 dB du système?

A)f,=1895Hz B...=2258Hz C)fi,=11900Hz D)f,=i4200Hz

9. La tension d'entrée u, est sinusoi'dale d'amplitude 8 V et de fréquence 5,2 
kHz. Déterminer
l'amplitude u... de la tension de sortie.

A) u,... = 0,78 v B) M... = 1,1 v C) u,... = 23 v D) u,... = 3,3 v

10. Quel est alors, en degrés, le déphasage de la tension de sortie par rapport 
à la tension d'entrée?

A) La sortie est en avance de 70° sur l'entrée
B) La sortie est en retard de 70° sur l'entrée
C) La sortie est en avance de 1 10° sur l'entrée
D) La sortie est en retard de 1 10° sur l'entrée
ll. Calculer l'amplitude i... du courant de sortie i, de l'amplificateur 
opérationnel.

,A)5W=æuA l®gw=19mA ng=2flmA on...=sAmA

La tension d'entrée est maintenant une tension créneau de fréquence 50 kHz. 
Quelle est la forme

de la tension de sortie u, ?

A) La tension de sortie est de forme sinusoi'dale

B) La tension de sortie est de forme triangulaire

C) La tension de sortie est une succession d'arcs de parabole

D) La tension de sortie est une succession d'impulsions

13. Le noyau d'un atome d'hydrogène, supposé ponctuel, de charge électrique @ % 
l,6 >< 10"19 C,
est localisé en O, origine du système de coordonnées sphérique. La charge 
électrique ----e de
l'électron de cet atome est, elle, répartie dans tout l'espace, avec une charge 
volumique
p(r) == po exp(--2r/ao) où 7" désigne la coordonnée radiale du système de 
coordonnées sphé-
riques, cm est une constante positive et po une constante que l'on déterminera 
plus loin. Sachant
que la fonction g(x) : x2 exp(--x) admet pour primitive G(x) = ----(x2 + 2x + 
2) exp(--x) + C où
C est une constante, calculer la charge électrique totale Q'ÇR) contenue dans 
une sphère de centre
O et de rayon R :

, 4 R
A) Q(R) = e + ---7raâpo {l --- exp <--2----)}
3 d0
... R
B) Q(R) : e + 277aâ,00 ---- 27ra3p0 exp (--2---->
a0
3 3 R R
C) Q(R) : e + 477a0p0 ---- 7raopo l + 2---- exp --2----
620 610
R R ' R'
D) Q(R) = e + vraâpo -- 7raâp0 {l + 2---- + 2 (----) } exp (--2------)
a0 a() 610
14. Calculer la charge totale contenue dans tout l'espace et en déduire po :
3 e e e
A) po -- 6477aâ ) p0 27TÜâ , ) p0 7TCZâ ) pO 7TClâ

15. Exprimer la composante radiale E,,(r) du champ électrique créé par l'atome 
(EQ désignant la
permittivité du vide) :

2
-A)EUfi= EUR i+2£+2-£ OEp--QL
- 477607"2 ao ao ao

EUR 7" "'

B E,. ' = 1 2__ _2__
) (?> 47760!"2 ( + 610) exp ( do)
C) E,(r) : EUR exp (--2--£-)

27760r2 ao

EUR ?"

D E,, " == , --2------
) (,) 47760615 EURXp ( 610)

16. Le potentiel électrostatique créé par l'atome s'exprime sous la forme 
suivante:

6 1 r
V ' == -- K ---2----
(I) 47760 (r + ) exp ( ao)

Déterminer K :

- 1 1
AlK---O B)K=------ - C)/<=------ D)K=----

(10 2610 610

17. On suppose désormais que l'électron est assimilable à un point matériel M, 
de charge ----e loca--
lisée en M, que sa trajectoire est un cercle de rayon (... et de centre () fixe 
dans le référentiel 72
du laboratoire supposé galiléen, et que l'atome est isolé du reste de 
l'univers. Calculer l'énergie
mécanique 5... de l'électron dans R. On négligera les forces d'intéraction 
gravitationnelles entre
les deux particules.

_ e2 C 92
A) É< 10° SI.

A) a... = 53 pm B) a... = 53 nm ' C) a... = 0.11 nm D) a, '= 0,21 pm

19. Une enceinte cylindrique fermée par un piston, mobile sans frottement (Fig. 
ci-dessous), contient
500 g d'hélium gazeux, monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol """" ' . Dans 
l'état (1)
initial, le volume de l'enceinte est V1 = 100 L, et le gaz, supposé parfait, 
est a la température
T, = 600 K. On rappelle que l'énergie interne de n moles de gaz parfait 
monoatomique à la
température T s'écrit U = (3/2)nRT, où R a: 8,31 J.mol'"l . K"' désigne la 
constante des gaz
parfaits.

Calculer la capacité thermique massique à volume constant c,, de l'hélium.

A) Cz; : 138 kJ . K ...... i . kg...l C) Ct.) ___: 3'12 kJ . [<%] . kng
B) c,,-- = 2,91 kJ . K"' .l< 106 Pa C) pz = 9,97 >< 106 Pa
B) 123 = 2.49 >< 103 Pa D) p2 : 9,97 >< 103 Pa

21. Quel est le travail W... reçu par le gaz au cours de cette évolution 
isotherme?

A) l'Vp3 : --2 280 k.l C) W122 : 571 k.i
B) W1_2 : ----571 k] D) W... = 22801 (2)

A) W13332 : "'"287 k.] _ C) W1'3,2 : 4l4 l(.l
B) W13332 : --427 k] D) W173,2 : 787 l(.l

24. Déterminer la variation d'entr0pie AS du gaz entre l'état (1) et l'état (2) 
:

A) AS= ----3807J.K"' C) AS=952J.K"'
B) AS=----952J.K"' D) AS=OJ.K"'

25. Un électron de charge 51 oe--l,6 >< 10'19 C et de masse m s 9,l >< 10"31 
kg, assimilé à un point
matériel M , évolue dans le référentiel du laboratoire 7% supposé galiléen et 
muni d'un repère
cartésien {O, ex, e,,, e,}, sous l'action d'un champ électrique E = Ee,C et 
magnétique B = Bey
tous deux uniformes et stationnaires. On désigne par x, y et 2 les coordonnées 
cartésiennes de
M dans R, et par vo = 0er la vitesse initiale de M telle que 00 = 500 kms--' 
(Fig. ci-
dessous). On place en 20 = 10 cm un écran d'observation 5 parallèle au plan (0, 
ex, e,.) , destiné

à intercepter M .

Dans le cas particulier où B = 0, et E = 10 V . m" , déterminer l'abscisse xe 
de M sur 5.
A) xEUR = 7,2 mm B) xe = 3,5 mm C) xe = ----3,5 cm D) xe = --7 cm

26. Dans le cas particulier où E = 0 , et B = lO_5 T, la trajectoire est un 
cercle de rayon R . Calculer
R.

A) R= 10,9 cm B) R= l3,8 cm C) R= lS,lcm D) R=28,4 cm
27. Que vaut alors l'abscisse x... de M sur 5 ?
A) x... = 1,8 cm B) x... = 3,8 cm C) x... = ---4,3 cm . D) x,,, = --6,6 cm

28. En supposant E = l kV . m", déterminer 8 afin que le mouvement de M soit 
rectiligne et
uniforme.

A)B=2T B)B=2mT C)B=--4mT D)B=--ZOOmT

29. On suppose E et 8 non nuls et on pose wc : qB/m. L'équation différentielle 
d'évolution de
l'abscisse x de M s'écrit sous la forme 3% + wËx = et, où a est une constante 
indépendante du

temps. Déterminer a .

A)a=î(E+BUO) C)a=ÎÏ--(Bvo--E>
171 771

B)a=--ÎÏ--(E+Bvo) D)a=ÎÏ--(E--Bvo)
172 771

30. On suppose B : 2E/oo. Exprimer x(t) :

A) x(f) : ----â%Ê [l + cos(wJ)] C) x(t) : % [l ----- cos(wct)]
B) x(t) : % jcos(wcz) -- 1] D) x(t) : % [l + cos(wJ)]

3 1. On assimile l'objectif d'un appareil photographique à une lentille mince 
convergente de distance
focale image ; = 135 mm. On désire photographier une toile de maitre située à 3 
m en avant de

l'objectif. A quelle distance p' > 0, en arrière de l'objectif, faut--il placer 
la pellicule photogra--
phique pour obtenir une image nette de la toile?

A) p' = 93 mm B) p' = 129 mm C) p' = 141 mm D) p' = 245 mm

32. Cet appareil photographique est utilisé pour photographier le'ciel 
nocturne. Son format est le
' 24 >< 36, ce qui signifie que la pellicule photographique mesure 24 mm de 
hauteur et 36 mm de

largeur. Quel est le champ du ciel photographié?
A) lO°>< 150 B) 20°><30° C) 320 ><48O D) 64°><48°

33. Calculer, en minute d'arc ('), le diamètre apparent 6 du disque lunaire vu 
par l'objectif de l'ap--
pareil photographique. On supposera la Lune sphérique, de rayon 1 740 km, et de 
centre situé à

384000 km de l'objectif.
A)6=0,086' B)6=16' C)H=3l' D)Û=l800'

34. Avec cet appareil, on photographie la pleine Lune, l'axe optique de 
l'objectif étant dirigé vers le
centre du disque lunaire. On effectue un tirage de la pellicule sur du papier 
de format lO >< 15 cm2 .
Quel est le diamètre d du disque lunaire sur le papier?

A)d=l,4mm B)d=5,lmm C)d=2,6mm D)d=3l,0mm

35. L'objectif d'un projecteur de diapositive est assimilé à une lentille mince 
convergente qui donne,
d'un objet réel, une image inversée et de même dimension, sur un écran placé à 
0,2 m de l'objet.

Calculer la distance focale image ]; de cet objectif:

A)Æ=2cm B)Æ=Scm C)Æ=20cm D)Æ=SOcm

2

36. Le projecteur précédent forme l'image d'une diapositive de format 24 >< 36 
mm sur un écran

situé à 4,5 m de distance. Quelle est la taille de l'image sur l'écran?

A) 1 >< 1,5 m2 B) 1,7 >< 2,6 m2 C) 2,1 >< 3,2 m2 D) 5,4 >< 8,1 m2

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Physique toutes filières 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Aurélien Fraisse (Université de Princeton) ; il a 
été relu
par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de six parties totalement indépendantes proposant tour à
tour de courts problèmes en mécanique du point, électrocinétique, 
électrostatique,
électromagnétisme, thermodynamique et optique géométrique.
· La première partie propose d'étudier un système à deux corps, interagissant
seulement par l'intermédiaire de l'attraction gravitationnelle, dans le 
référentiel du centre de masse. Il s'agit de retrouver quelques résultats de 
cours puis
de les appliquer pour effectuer une étude énergétique et établir l'équation du
mouvement du système étudié.
· L'énoncé considère ensuite l'étude du montage pseudo-intégrateur à 
amplificateur opérationnel. Cette partie propose pour l'essentiel des calculs 
d'application
directe du cours fondés sur l'utilisation de la fonction de transfert du 
montage.
· Dans la troisième partie, on étudie deux modèles de l'atome d'hydrogène d'un
point de vue électrostatique. Cette étude met en oeuvre des calculs simples de
charges, de champs électriques et d'énergies.
· Un problème de thermodynamique constitue la quatrième partie de ce sujet.
On s'intéresse principalement à des calculs de travaux et de variations 
d'entropie
dans le cas de la détente d'un gaz parfait monoatomique.
· La cinquième partie propose l'étude du mouvement d'un électron dans des
champs électromagnétiques. Bien qu'elle ne présente pas de difficulté majeure,
cette partie est assez longue et répétitive.
· Enfin, dans la dernière partie, on étudie deux systèmes optiques, chacun 
faisant
intervenir une seule lentille mince convergente. Il s'agit de savoir utiliser 
les
formules de conjugaison et de grandissement d'une lentille mince, et de calculer
des diamètres angulaires.
Au final, ce sujet est une suite d'applications directes du cours abordant six 
parties
distinctes du programme de première année. Il s'agit donc d'un excellent 
problème
de révision permettant de s'assurer que les connaissances de base 
correspondantes
sont maîtrisées. Le jour du concours, il est ainsi profitable de s'attarder sur 
les parties dans lesquelles on se sent le plus à l'aise, tout en ne se bloquant 
pas sur une
question particulière. Rappelons qu'il est en effet demandé de répondre au 
maximum
à 24 questions alors que 36 sont proposées par l'énoncé.

Indications
Mécanique du point
4 Se souvenir que r peut être exprimé en fonction de  et utiliser alors 
l'expression
de Lz pour réécrire E k en utilisant le résultat de la question 3.

5 Calculer la dérivée temporelle de E k en utilisant, d'une part, l'expression 
établie
à la question 4 et, d'autre part, le lien entre E k et E m .

6 La vitesse de libération de la sonde est la vitesse minimale qu'il faut lui 
donner
afin qu'elle puisse s'échapper de l'attraction gravitationnelle terrestre.
Électrocinétique
7 Calculer la fonction de transfert A = us /ue , qui sera utilisée dans toute 
la suite,
et étudier alors le cas f = 0, où f est la fréquence de la tension d'entrée.

8 f0 est définie par |A(f0 )| = |A| max / 2.

10 Utiliser le fait que, par définition de A, le déphasage de la tension de 
sortie par
rapport à la tension d'entrée est  = Arg A.
11 Appliquer la loi d'Ohm aux bornes de R1 et R3 et en déduire is en fonction 
des
résistances, de A et de ue .
12 En comparant la fréquence du signal d'entrée et la fréquence de coupure du 
circuit,
montrer que le montage étudié est un intégrateur de tension.
Électrostatique
16 Calculer Er (r) à partir de V(r) et comparer l'expression obtenue au 
résultat de
la question 15.
Thermodynamique
20 Appliquer la loi des gaz parfaits entre les états (1) et (2).
22 Appliquer la loi de Laplace entre les états (1) et (3).
Électromagnétisme
25 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron et intégrer 
les
équations différentielles obtenues pour établir l'équation du mouvement.
26 En utilisant une méthode similaire à celle de la question précédente, établir
d'abord l'équation du mouvement suivant (Oz), puis utiliser l'expression 
démontrée pour résoudre l'équation du mouvement selon (Ox).
Optique géométrique
32 L'angle sous lequel est vu le ciel depuis le centre optique est l'angle sous 
lequel
est vue la pellicule depuis ce même point.
35 Combiner la relation de conjugaison d'une lentille mince avec le fait que le 
grandissement  de la lentille vaut -1.
36 La distance de la lentille à l'image peut être assimilée à celle de l'objet 
à l'écran
pour calculer .

I. Mécanique du point
1 Choisissons le point C comme origine du repère associé au référentiel 
barycentrique R . Comme ce dernier est isolé du reste de l'univers, il s'agit 
d'un référentiel
galiléen. Le principe fondamental de la dynamique appliqué aux points A1 et A2 
dans
ce référentiel donne alors
---
---
A2 A1
A2 A1

-

-
m1 r1 = -G m1 m2
et
m2 r2 = G m1 m2
3
A2 A1
A2 A1 3

où -
r1 et -
r2 sont les vecteurs accélération respectivement de A1 et A2 . Ces équations

peuvent se réécrire, en introduisant le rayon vecteur -
r =-
r1 - -
r2 ,

-

-
r
r

-

-
r1 = -G m2 3
et
r2 = G m1 3
r
r
En soustrayant la seconde équation ci-dessus de la première, on obtient

-

-
r
r m1 + m2

-

r1 - -
r2 = -
r = -G (m1 + m2 ) 3 = -G m1 m2 3
r
r m1 m2
-

-
soit
µ r = -Fg
avec

µ=

m1 m2
=
m1 + m2

1
1
+
m1
m2

-1

-

On obtient ainsi l'équation du mouvement d'un point de masse µ soumis à la 
force Fg
dans le référentiel galiléen R . Néanmoins, on ne peut en déduire les 
trajectoires
de A1 et A2 , qui sont les quantités physiques qui nous intéressent, car cette 
équation
ne fait intervenir que la différence des vecteurs position des deux points 
considérés.
Afin d'avoir autant d'équations que d'inconnues, on a donc besoin d'une relation
supplémentaire, pour laquelle la définition du centre de masse convient, ce qui 
s'écrit
-- -
--

m1 CA1 + m2 CA2 = 0
--  --
En utilisant CA1 = -
r + CA2 , on trouve
-- -

m1 -
r + (m1 + m2 ) CA2 = 0
--
µ -

CA2 = -
r
m2

soit

-- -- 
La relation CA2 = CA1 - -
r donne de même
--
µ -

r
CA1 =
m1

Ainsi, l'évolution de -
r en fonction du temps donne accès aux trajectoires des points
A1 et A2 et l'étude du point fictif décrit précédemment est donc bien 
équivalente à
celle du système à deux corps proposé par l'énoncé.
A

B

C

D

E

Notons que la proposition D peut être éliminée sans calcul. En effet, il est
toujours possible de définir le système considéré de telle sorte que la masse
donnée par cette proposition soit négative, ce qui n'a pas de sens physique.

2 Pour un système quelconque, le théorème de la puissance mécanique donne
dE m
= P nc
dt
où E m est l'énergie mécanique du système et P nc la somme des puissances des 
forces
extérieures et intérieures à ce système qui sont de plus non conservatives. 
Dans le
cas présent, le système étudié se réduit à un point matériel A. Il n'y a donc 
pas de
forces intérieures et la seule force extérieure présente est conservative. P nc 
est donc
nulle et l'énergie mécanique de A est ainsi une grandeur conservative.
L'énergie potentielle E p de A s'écrit, en choisissant E p = 0 pour r tendant 
vers +,

G m1 m2
r
Si l'énergie potentielle de A est conservative, alors r ne peut dépendre du 
temps et
le mouvement est donc circulaire. Ceci est un cas particulier du mouvement d'un
point matériel soumis à une force centrale, non le cas général dans lequel 
l'énergie
potentielle de A n'est donc pas conservée.
Ainsi, E m est conservative et E p ne l'est a priori pas. Or E m = E p + E k , 
où E k
est l'énergie cinétique de A. Cette dernière ne peut donc être conservative si 
E p ne
l'est pas. Dans le cas général l'énergie cinétique de A n'est donc pas 
conservée.
Ep = -

Ce résultat peut aussi être trouvé en appliquant le théorème de la puissance
cinétique à A. Celui-ci s'écrit

-
  -
dE k
r · -
r
= Fg · -
r 
dt
r3
E k n'est donc conservative que pour un mouvement circulaire où r = 0.
Enfin, dans le cas d'un mouvement à force centrale, le moment cinétique est
conservé. Le moment cinétique de A en C est donc conservatif.
A

B

C

D

E

Lors du concours, on peut répondre à cette question sans (presque) aucune 
réflexion. En effet, A étant soumis à une seule force conservative, on sait
immédiatement que E m est également conservative. De plus, le fait que le
moment cinétique soit conservatif dans le cas d'un mouvement à force centrale 
est une question de cours. L'énoncé précisant qu'il y a au maximum
deux bonnes réponses possibles par question, on peut donc répondre par les
choix A et D.

-
Rappelons que le fait que le moment cinétique L de A en C soit conservatif se 
retrouve immédiatement en écrivant sa définition. En effet,

-

L = µ-
r  -
r
dont la dérivée temporelle vaut

-

-
dL

= µ (-
r  -
r +-
r  -
r)= 0
dt
-
  3

car, comme montré à la question 1, -
r F -
r /r .
g