ENAC Physique toutes filières 2001

Thème de l'épreuve Circuit bouchon. Mouvement d'une particule chargée. Calcul du champ magnétique dans une cavité. Association lentille-miroir plan. Analyse cinématique d'un mouvement.
Principaux outils utilisés électrocinétique, électrostatique, magnétostatique, optique géométrique, cinématique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


J. 4697

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2001

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE PHYSIQUE

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
. 1 page de garde,
0 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 12 pages numérotées de 1 à 12.

CALCULATRICE AUTORISEE

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S

ÉPREUVE DE PHYSIQUE

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de physique de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui 
sera corrigé automatiquement
par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
" vous passez, c'est--à--dire épreuve de physique (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

X
X
X
X
X
X
X
X

xxxxxxxxxxxxxxxx
6 8 L9 9 I? 8 EUR I 0

AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retYanscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre OCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques-
tions est donnée au début du texte du sujet. _
Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses a 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui

porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.

Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

0 soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

) soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

) soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

» soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Exemple ! :Question 1 :
Pour une mole de gaz réel :

A) lim (PV) : RT , quelle que soit la nature du gaz.

P---->o

B) PV : FlT quelles que soient les conditions de pression et température.
C) Le rapport des chaleurs massiques dépend de l'atomicité.
D) L'énergie interne ne dépend que de la température.

Exem le il :Question 2 :

Pour un conducteur ohmique de conductivité électrique 6, la forme locale de la 
loi d'OHM est :

Ë'Ê ? '> .' ? 29
A) ]=8 B)j=GE C)E=GJ D)]=GE

Exemple Ill : Question 3 :

l

A) Le travail lors d'un cycle monotherme peut être négatif.
B) Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source chaude et en restitue 
à la source froide.

T
C) Le rendement du cycle de CARNOT est 1 + 'I--'2 .
1

D) Le phénomène de diffusion moléculaire est un phénomène réversible.

Vous marquerez sur la feuille réponse :

_ [I:] _ [:::] .::]
l A B C D E

== E:] E:] [::] [:::]
[=] _ [:::] E: [::]
2 A B C D E
E:] E:] [==] E: E:
E:] E: [:=] E: _
3 A B C D E
C:] [::] E:] :] [:]

QUESTIONS LIÉES

[l, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8,]
[9,10,11,12,13,14]
[15,16,l7,18,l9]
[20,21,22,23,24,25]

[26, 27, 28, 29, 30]

Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par un générateur idéal de 
tension con--
tinu, dont la force électromotfice est E = 2OV. Les bobines, de résistance 
négligeable,

ont la même inductance propre L : 2mH et les condensateurs la même capacité
C = O, 2 uF .

A l'instant t = 0 où l'on applique entre A et B la tension E , les bobines et 
les condensa-
teurs ne possèdent aucune énergie.

uc( t)

i(t) Q(Û C

L

H.".
4... C N Figurel

mîlb

Déterminer la loi de variation de la charge q d'un condensateur en fonction du 
temps t.

a) q(t) = 4- 10"6(1--exp--2,5. 104t)
b) q(t) = 2-- 10_6(1+exp--5-104t)
c) q(t) = 4-- 10_6(1--c085-- 104t)

d) QU") = 4- 10--6(1--%cos 104t)

En déduire la valeur maximale u M de la différence de potentiel u C(t) (fig. 1).

a) uM : 4OV
b) uM = 20V
c) uM : 15V
d) uM : 10V

Établir l'expression de la différence de potentiel v(M ) --- v(N ) en fonction 
du temps.

a) v(M)--v(N) : 20(1--exp-5-- 10%)
b) v(M) --v(N) = 20(1-- 2cosS- 10%)

c) v(M)--v(N) : 10(1 --21--cos10%)

d) v(M) --v(N) = 40(1 + exp--2, 5 - 10%)

En déduire la valeur maximale U M de la différence de potentiel v(M ) -- v( N ) 
.

a) UM =15V
b) UM : 20V
c) UM : 4OV
d) UM = 60V
L1
M C
HHH ] 1
A B
L2
HHH
C2 M2 Figure2

e( t)

Le circuit fonctionne maintenant en régime sinusoïdal ; l'amplitude de la force 
électromo--

trice e(t) du générateur idéal de tension est de 20 V. De plus, les bobines 
sont différentes
et il en est de même des condensateurs (fig. 2).

Indiquer si le circuit laisse passer un courant de pulsation 0)1 telle que L1 
C1 (0512 = 1 .

Répondre àla même question pour la pulsation 002 telle que L2 C2oeâ : 1 .

a) Le circuit laisse passer le courant de pulsation 001

b) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation (01
c) Le circuit laisse passer le courant de pulsation (02

d) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation (02

Montrer qu'il existe une pulsation (03 pour laquelle le circuit ne laisse pas 
passer le cou-
rant (circuit "bouchon").

2 1 1
: -------+--------
a) (03 L1C1 L2C2
b) (02 : ....ÊlÏf3_
3 C1C2(L1+L2)
L L
o) mg = __.1_+ 2

2 2
(L1+L2) C1 (L1+L2) (:2

d) 002 = -1-( 1 +----1----)
3 2 L1C1 L2C2

Calculer en kilohertz la fréquence N 3 correspondant àla pulsation 003 pour:
L1= 2mH ; C1= 1uF ; L2 =1mH ; C2 : 0,02uF.

La comparer aux fréquences N1 et N 2 associées respectivement aux pulsations 
(01 et

(02.
_b) N3 : 21kHz

c) N30,0) du

---> -a
repère plan (O;ex, ey) (fig. 3).

Calculer les composantes E x et E ), du vec---

_)
teur champ électrostatique E (P) créé au
point P du plan, de coordonnées x et y.

&) Ex : 41Îæ--:0[zx--2--ÇÎ-2Y--Æil.[(gç---x2aa)2 +y 23] m]
b) Ex : £le _ [(x + aî+------Î------y213/ZJ
°) Ey : 416530[(::--::yy--ï'_)ïñ+[(x--2ya)2+yzB]B/ZJ
'" Ey : 4Ïeo[ÇÎÊÎÇY--ux+an +y ] 3/2]

.)
Indiquer sur quelle droite A du plan, E (P) est parallèle en tout point à l'axe 
Oy .

.)
Donner l'expression correspondante de E (P) .

a) A :droitex : a/2

b) A :droitex : y
-> _ q 1 ">
c) E(P) -- 411380 y2 «?y
'> ' -- q )) _)
d) E(P) " 2,æÛ 2 a2 3/2 ey
(y +:r)

11.

12.

13.

Une charge électrique ponctuelle q' de masse m et de signe contraire à celui de 
q se
déplace sans frottement sur la droite A à proximité immédiate de l'axe Ox (|yI 
« a)
sous l'action de la force électrostatique due au champ des deux charges q et de 
son poids.
Oy est la verticale ascendante et g est l'accélération de la pesanteur supposée 
uniforme.

On pose k = ----5-- Q_ÇL

1tEUR0 a3

Constater qu'il existe une position d'équilibre P e et calculer l'ordonnée y e 
de P e.

a) ye : mg/k
b) ye : --mg/3k
c) ye : --mg/k
d) ye : --mg/4k

Calculer la période To des oscillations qu'effectue la charge q' écartée de sa 
position

d'équilibre.

a) TO = 271".../m/4k

b) To : 2n./m/2k
0) To : 2m/2m/k
d) To : 2n./m/k

La charge q' est maintenant fixée au point B(O, a) . Calculer l'énergie 
électrostatique Ue

de la famille des trois charges q en 0 , q en A et q' en B. L'origine des 
potentiels est à
l'infini. On rappelle que dans le cas d'une famille de population n :

où V,- est le potentiel créé au point où se trouve la charge q ,- par les (n 
--- 1) autres charges

de lafamille.
21) U = 1 È[q'2+2qq'+q2fi]
e 41t80a
2
_ 1 !. £I.'. '
b) Ue _ 81t80a [[+2qq]

d)U-

1 2 . 1
c) Ue 47t805 [q +qq(l+fl)]
1 _1_
a

t--f+fl+fi

Ji

14. Donner l'expression de q' en fonction de q pour que l'énergie Ue soit nulle.

&) q' --qJî

b '=--
)q q./ä+1
C)q'=--q
oq=woefl+o

15. Un cylindre de révolution autour de l'axe Oz
a pour rayon !) et une longueur "infinie" (très

grande devant b ).
Il est parcouru dans la direction et dans le

sens de Oz par un courant continu de densité

uniforme de courant ].
Déterminer le vecteur champ magnétique

--> _ ,
B(P) créé par ce courant en un pomt P exte--

rieur au cylindre, situé à la distance p de

"> "> , . Fi ure 4
Oz. @p et ee des1gnent les vecteurs de la g

base polaire de P (fig. 4).

--> --->
a) B(P) : qu p ee

-> u J 172 -->
b) B(P) = -â- -'5- ce

-> p2 ->
c) B(P) = M 57}- ee

--> 11 J b2-- 2 --->
d)B(P) : --2- pp ep

16. Même question lorsque P est à l'intérieur du cylindre.

J
a)È(P)="--ä-bÎa
--> p.] --->
b)B(P)=--â-- pe9
2
--> b -->
c) B(P) = uÛJ Î5 ep

17. Donner une expression vectorielle intrinsèque du vecteur champ calculé dans 
la question

18.

précédente.

-> ---)
a) B(P) = --uo[JA OP]
.--+
b) B(P) = qu()P
c) B(P) = 2u0(OP)Î

1 » ---9
d) B(P) : îuo[J/\ OP]

Un cylindre "de longueur infinie" et de révolu-
tion autour de l'axe Oz est creux ; la partie

pleine est comprise entre les rayons b1 et

b2(b1 > b2). Elle est parcourue dans la direc-

tion et dans le sens de Oz par un courant con-

tinu de densité uniforme de courant J (fig. 5).

..+
Déterminer les vecteurs champs B1 (P) et

_9
BZ(P) au point P à la distance p de O,

lorsqu'on a respectivement p EUR [b1, 192] et

p _ po] 172 --->
b) B](P) - 2 (P"È)£9
_) ->
c) BZ(P) : 0

---> H ] 1-->
d) Bz(P) = --â----(bÎ--bâ)ôee

19.

20.

-Un cylindre de longueur "infinie" et de

révolution autour de l'axe 01z a pour

rayon !)1 . On creuse dans le cylindre un

autre cylindre de "longueur infinie" et de
révolution autour de l'axe 02Z parallèle

à 012 et de même sens ; son rayon est
192(b2 < bl). On désigne par 2a la dis--
tance 0102 (fig. 6).

Dans la partie pleine circule dans la
direction et le sens de 01z un courant

continu de densité uniforme ].
Après avoir constaté qu'à l'intérieur de la

. '> o o o o .
cavité, le champ magnétique de vecteur B' est uniforme, 1nd1querla direction et 
la norme

.>
de B'.

a) axe 01y

b) axe le
c) llË'll = 2u.,Ja

d) llÊ'll = u.Ja

Une lentille mince convergente L a pour centre 0 , pour foyer objet F et pour 
foyer
image F ' ; sa distance focale image est f' > 0. Un miroir plan M centré en S 
sur l'axe
Oz de la lentille, est disposé parallèlement à celle--ci àla distance d = 2 f ' 
(fig. 7).

L M

Figure 7

Toutes les abscisses des points de l'axe seront comptées positivement dans le 
sens de
l'axe Oz (sens de la lumière incidente).

Un objet AB perpendiculaire à l'axe Oz est disposé de telle sorte que p = 5Â. 
Soit

AlB1 son image après traversée de L et réflexion sur M . Calculer OA1 , en 
fonction

dep.

a)5ÀÎ

b)ô'Â]

c) OA1

d)ô"Â]

___ (3p+4f')f
p+f' -
: (3p--2f')f'
p--f'
: (4f--p)f'
p+3f
: (p--f')f'
p+f'

21. Soit A282 l'image définitive de AB après retraversée de la lentille L. 
Calculer OA2 en

fonction de p.

a)Ô__AZ

b)ô"'"'A2

c)ÜÆ

d)Ô--AZ

___ pf'(--3p+f')
p2+4pf'--3f'2
_ f'(3p+4f')
2p+3f'
fï--p+f>
p'--4pf'+f2
f"(2p+f')
--p' + 5pf' + f"

22. Trouver--la condition à laquelle satisfait p lorsqu'il correspond à deux 
points de l'axe, dits

points de Bravais, pour lesquels l'image A2B2 est dans le même plan que l'objet 
AB.

a) 3p'+4f'p--f' = 0

2 , ,2
b) 3]? --fp+f

:O
2

c) 2p2+2f'p+f' = 0
d) p2+3f'p+2f'2 = 0

23. En déduire les valeurs numériques p1 et p2(p1 < p2) de p qui satisfont à 
cette condition,

sachant que f' : lOcm.

3) P1
b) P1
C) p;
(1) P2

--30cm
--20cm
--20cm

--10cm

10

24. Déterminer en fonction de p , dans le cas d'une position quelconque de 
l'objet AB , le
grandissement transversal 7 du système.

2
a)Y= 2 41m 2
!) --4f'p+f'
_ f"
b)Y--3p+8f
_ f'
C)Y---- 2p+3f'
2
d)v=---------------------2 41" 2
p +4f'p+8f'

25. Calculer les valeurs numériques 71 et 72 du grandissement transversal y 
correspondant

respectivement aux abscisses p1 et 192 des points de Bravais.

a)yl=+l
b)Yl="2
c)'yZ=--l
d)72=1/2

--> --> -->
26. Par rapport au référentiel R (O;e x, ey, ez) , un mobile "ponctuel" P a 
pour coordonnées à
la date t :
x : bsinkt y : bsin(kt+%) z = bsin(kt+%£)

où k et b sont deux constantes positives.
Etablir l'équation du plan passant par l'origine 0 des coordonnées et contenant 
la trajec-

toire de P.

a) x+2y--22 = 0
b) x+y--z = 0
c) x--y+z : 0
d) 2x+y+z = 0

11

27. Déterminer le rayon A de la surface de la sphère de centre 0 sur laquelle 
est inscrite la
trajectoire de P.

a)A=bJä
mA=bfi
c)A=bJÎ

_ 3
d)A-bJà

28. Calculer la norme v du vecteur vitesse de P.

a) v : 2kb
b) v : kblsinkt/2I

c) v : kâlcoskt/2l
3
%

29. Calculer le temps T mis par P pour décrire complètement une fois sa 
trajectoire.

d)v

a) T = 21t/k
MT=mÆÆ
c) T = n/2k
d) T = 3n/kJâ

30. Indiquer dans ces conditions le type de mouvement qu'effectue P.

a) circulaire sinusoïdal
b) circulaire uniforme
c) elliptique uniforme
d) elliptique sinusoïdal

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Physique toutes filières 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par 
JeanJulien Fleck (ENS Ulm) et Arnaud Gossart (professeur en CPGE).

Ce problème se compose de cinq parties totalement indépendantes qui permettent
de tester les candidats sur une large part du programme de première année. Les
thèmes abordés sont variés : électrocinétique, électrostatique, 
magnétostatique, optique géométrique et cinématique. À part quelques questions 
un peu calculatoires,
l'ensemble ne présente pas de grosse difficulté et un certain nombre de 
questions sont
suivies d'une application numérique.
Dans la première partie, consacrée à l'électrocinétique, on aborde des régimes
transitoires et des régimes forcés. Cette partie, assez classique pour le 
début, présente, pour les trois dernières questions, un point plus original : 
on étudie en effet
une réalisation possible d'un « circuit-bouchon ». Les deux parties 
d'électromagnétisme se traitent assez facilement si l'on sait utiliser les 
symétries du problème. Seule
la dernière question de la troisième partie (la question 19) est plus délicate. 
La partie
d'optique géométrique fait surtout appel à la relation de conjugaison d'une 
lentille
mince : les calculs n'y sont pas très compliqués mais ils nécessitent du soin. 
La cinquième partie est relativement « mathématique » mais ne présente 
véritablement
aucune difficulté ni aucun piège.
Un QCM étant une épreuve d'un type particulier, nous préciserons, aussi souvent
que possible, des « astuces » permettant d'aboutir à la solution ou au moins 
d'éliminer
les réponses fausses. On rappelle que, le jour de l'épreuve, le candidat n'a 
pas à
justifier son choix : l'objectif est donc d'aboutir au bon résultat le plus 
rapidement
possible.

Indications
Électrocinétique
1 Le circuit étant symétrique, la charge de chaque condensateur est identique. 
Faire
un schéma simplifié ne présentant que les éléments utiles et précisant bien les
orientations choisies (chaque branche qui comporte une bobine et un condensateur
« voit » E). Il reste ensuite à exprimer la loi des mailles et toutes les 
tensions
inconnues en fonction de q.
3 Utiliser un point intermédiaire, A par exemple, pour faire apparaître des 
différences de potentiel dont on connaît l'expression.
5 Utiliser la notation complexe pour traiter toutes les questions en régime 
sinusoïdal
forcé. Pour cette question, raisonner sur les impédances complexes de chaque
branche de circuit.
6 Si le circuit est dit « bouchon », c'est que l'intensité qui traverse le 
générateur
est nulle. En revanche l'intensité qui traverse les bobines et les 
condensateurs n'est
pas nulle.
Électrostatique
9 Le champ cherché est simplement la somme des champs créés par chaque 
particule.
10 Chercher un axe de symétrie du système.
11 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la particule de charge 
q  .
13 On peut calculer le potentiel créé par une charge au niveau des deux autres 
points
du triangle et regrouper ces résultats dans un tableau.
Magnétostatique
15 Utiliser les symétries des sources puis appliquer le théorème d'Ampère.

17 Partir de -
e = -
ez  -
e et distribuer les différents facteurs scalaires qui composent

-
B pour aboutir au résultat.
19 Appliquer le théorème de superposition en considérant un premier cylindre de

-
rayon b1 parcouru par une densité J et un deuxième de rayon b2 parcouru par

-
une densité - J . Pour calculer les deux champs magnétiques correspondants, on
utilise l'expression intrinsèque trouvée à la question 17.
Optique géométrique
20 Utiliser un point intermédiaire : le point A , image de A par la lentille.
21 Attention à l'orientation choisie pour les grandeurs algébriques lors de 
l'écriture
de la relation de conjugaison de la lentille !
24 Décomposer le grandissement en trois en utilisant les images intermédiaires.
Cinématique
26 Développer y et z et trouver une combinaison simple pour faire apparaître x.

I.

Électrocinétique

1 On peut simplifier le schéma électrique pour ne conserver que les éléments qui
nous intéressent pour cette question :

C

L

uC

uL

i
q

E
La charge q du condensateur est liée à sa capacité C par q = C uC .
On rappelle que cette écriture n'est vraie que pour cette orientation 
particulière où l'on appelle q la charge de l'armature sur laquelle « arrive » 
l'intensité
i. C'est pourquoi, avant d'écrire la moindre relation dans un problème 
d'électrocinétique, il faut faire un schéma qui précise clairement les 
conventions
retenues.
On a

E = uC + uL

L'intensité s'écrit

i=

dq
dt

Et la tension aux bornes de la bobine uL = L

di
d2 q
=L 2 .
dt
dt

1
d2 q
q+L 2
C
dt

Donc

E=

Ce qui se réécrit

d2 q
1
E
+
q=
dt2
LC
L

1
LC
la solution de l'équation homogène sans second membre s'écrit
Si on pose

02 =

q = A cos (0 t) + B sin (0 t)
Une solution particulière constante q = C E pour l'équation avec second membre
convient. La solution générale de cette équation différentielle du second ordre 
avec
second membre est donc :
q = A cos (0 t) + B sin (0 t) + C E
Pour déterminer complètement q(t), il reste à traduire les conditions 
initiales. Initialement, le condensateur n'est pas chargé, donc
q(0) = 0
Par ailleurs, la bobine ne stocke initialement aucune énergie donc
1 2
L i (0) = 0
2

soit

i(0) =

dq
(0) = 0
dt

 q(0) = A + C E = 0
 dq (0) = B = 0
dt

Ce qui donne

Finalement

q(t) = C E (1 - cos (0 t))

Application numérique :

A

B

C E = 4.10-6 C
0 = 5.104 rad.s-1

C

D

E

Les propositions B et D doivent être écartées immédiatement puisqu'elles
ne satisfont pas la condition initiale sur q. A, qui ne satisfait pas la 
condition initiale sur l'intensité, doit aussi être écartée : on voit donc 
qu'en ayant
simplement traduit les conditions initiales, on sait que la réponse est C ou E.
2 La charge maximale que peut emmagasiner le condensateur est
qM = 2 C E = 8.10-6 C
Comme

uC =

il vient

uM =

A

B

q
C

8.10-6
= 40 V
2.10-7

C

D

E

3 On introduit un point intermédiaire, A par exemple :
v(M) - v(N) = (v(M) - v(A)) + (v(A) - v(N))
di
q
+
dt C
d2 q
q
= -L 2 +
dt
C
= -LC E 02 cos (0 t) + E (1 - cos (0 t))
= -L

v(M) - v(N) = -E cos (0 t) + E (1 - cos (0 t))
d'où

v(M) - v(N) = E (1 - 2 cos (0 t))

A

B

C

D

E